西谷昇二Part3

1 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2019/12/17(火) 15:21:49.38 ID:g6jm/pnG0.net

ゲロ吐かせる富田といい予備校に宗教感与えた西谷万里子と紫巧人質に取ろうと一向に逮捕されない三億円詐欺の犯人とみられる男

954 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/22(木) 19:09:40.56 ID:Z0VDYHcz0.net

既約剰余類

955 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/22(木) 19:09:58.64 ID:Z0VDYHcz0.net

既約剰余系

956 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/22(木) 19:20:28.55 ID:Z0VDYHcz0.net

Eulerの定理の時も互いに素は使う

957 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/22(木) 19:28:03.26 ID:Z0VDYHcz0.net

pˢ
1p、2p、…、pˢ⁻¹pのpˢ⁻¹個
∴pˢ-pˢ⁻¹=(p-1)pˢ⁻¹
(p-1)倍して次数が下がる
微分ならpˢ→spˢ⁻¹、s倍して次数が下がる

958 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/22(木) 19:28:32.01 ID:Z0VDYHcz0.net

互いに素⇒乗法的

959 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/22(木) 19:29:30.16 ID:Z0VDYHcz0.net

(m, n)=1⇒φ(mn)=φ(m)φ(n)

960 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 11:36:08.95 ID:GtMdeRbq0.net

完全剰余系をR、S、Tとする

961 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 11:38:30.33 ID:GtMdeRbq0.net

既約剰余系をR*、S*、T*とする
これらはφである。

962 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 11:50:35.66 ID:GtMdeRbq0.net

(R*, S*)→T*

1、3、5、7
1、2、4、5、7、8
24個

1、5、7、11、13、17、
19、23、25、29、31、35、
37、41、43、47、49、53、
55、59、61、65、67、71

963 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 11:59:07.12 ID:GtMdeRbq0.net

f: T*→R*×S*は写像である
x∈T、x≡r、x≡s
(x, mn)=1⇔(x, m)=(x, n)=1

964 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:00:53.78 ID:GtMdeRbq0.net

fは全射である。中国の剰余定理

965 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:03:02.48 ID:GtMdeRbq0.net

fは単射である。中国の剰余定理により一意性

966 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:11:35.89 ID:GtMdeRbq0.net

1、3、5、7
1、2、4、5、7、8
24個
合う

967 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:19:46.78 ID:GtMdeRbq0.net

量と順番

968 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:21:08.12 ID:GtMdeRbq0.net

基数と順序数

969 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:25:54.71 ID:GtMdeRbq0.net

m, n∈ℕ⇒m+n∈ℕ, mn∈ℕ、m-n∈ℤ、n≠0⇒m/n∈ℚ

970 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:28:23.63 ID:GtMdeRbq0.net

非負整数、ℕ₀、0、1、2、…
正整数、ℕ、1、2、3、…

971 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:44:05.29 ID:GtMdeRbq0.net

負整数

972 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:51:22.89 ID:GtMdeRbq0.net

和+に関して閉じている
結合律
交換律
単位元
逆元

積×に関して閉じている
結合律
交換律
単位元
逆元

加法群、乗法群、Abel群、可換群
分配律
(a+b)x=ax+bx、a(x+y)=ax+ay
a, b∈V、x, y∈W
可換環

973 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 12:57:10.41 ID:GtMdeRbq0.net

整域
ab=0⇒a=0またはb=0

a×b=a･b=ab

974 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:10:41.80 ID:GtMdeRbq0.net

最小値a
a∈A∧∀x∈A: a≤x

最大値
a∈A∧∀x∈A: a≥x

975 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:12:49.94 ID:GtMdeRbq0.net

∀部分集合A⊂ℕ、A≠∅
整列集合Aは最小値を必ず持つ

976 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:14:35.57 ID:GtMdeRbq0.net

∅でない。∅だと最小値は無い

977 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:18:23.53 ID:GtMdeRbq0.net

ℕは整列集合である
ℕ₀は整列集合である
正整数ℕ、非負整数ℕ₀
ℤ≥0、ℤ>0

978 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:19:33.12 ID:GtMdeRbq0.net

∅でない部分集合A

979 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:40:08.66 ID:GtMdeRbq0.net

∅≠A⊂ℤとする
∃t, ∀x∈A: t<x
x-t∈B⊂ℕ
よってBは整列集合であり最小数が存在する。それをyとすると
x-t=y、x=y+tが最小数である

980 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:42:06.22 ID:GtMdeRbq0.net

B≠∅である

981 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 15:53:29.00 ID:GtMdeRbq0.net

C⊂ℤ、C≠∅とする。
∃s, ∀x∈C: x<sとなる
s-x∈DとするとD⊂ℕより
Dは整列集合。よって最小数を持つ。それをyとするとy=s-x、
x=s-yがCの最大数である

982 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 16:22:09.31 ID:GtMdeRbq0.net

4n-1≡1-1=0 mod3
(3+1)n-1=1-1=0
3(4(n-1)+1)
4n、4
-4(n-1)-1

983 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 16:48:34.92 ID:GtMdeRbq0.net

t(k)=k×t(k-1)-t(k-2)
n=1, 2は確かめた
1≤n≤k-1、k≥3である∀kについて成り立つと仮定する
t(k-1)、t(k-2)は題意を満たす多項式である。
∀n、∃k、n=1～k-1、⇒n=k
n=k、⇒n=k+1
n=1、
n=k, k+1、⇒n=k+2
n=1, 2
f(t, k+2)=t×f(t, k+1)-f(t, k)
f(t, n)=tⁿ+1/tⁿ

984 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 16:52:25.74 ID:GtMdeRbq0.net

1変数多項式環

985 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 18:33:41.95 ID:GtMdeRbq0.net

Bₙのうち、角が1個欠けている盤をCₙとする。n=1の時、L字=B1=C₁より成り立つ
n=kの時、成り立つと仮定すると
∀Bₖ1個とCₖ3個は全て被覆可能である。Cₖ3個を角が接するように置けて、L字1個で覆うことが出来る
Bₖ1個は帰納法の仮定より成り立つので、n=k+1の時も成り立つ、

986 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 19:00:48.37 ID:GtMdeRbq0.net

S+T=ℕとする。
T⊂ℕよりSは整列集合である
最小数t∈T⊂ℕ
S≠∅∧T≠∅とする
T∩S=∅とする
1∈Sより1∉T
t>1である
よってc-1>0、∈ℕ、
t∈Tよりt-1∈Sである
よってt-1+1=t∈Sよりt∉T隣矛盾する

987 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 19:13:54.10 ID:GtMdeRbq0.net

ℕは整列集合でその部分集合も整列集合
S⊂ℕよりSは整列集合
S≠∅、
1∈S、
∀k: k∈S⇒k+1∈S

S+T=ℕ
T≠∅
T⊂ℕよりTは整列集合

Tは最小数 t を持つ
1∈Sより1∉T。よってt>1
t-1=uとおくとt=u+1
u<tよりu∉T、u∈S。
Sの性質よりu∈Sよりu+1=t∈S
これはT∈T∧S∩T=∅に反する。よってT=∅でありS=ℕ-T=ℕ-∅=ℕが示された。

988 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 19:27:23.94 ID:GtMdeRbq0.net

t∈Tを最小数とする。
1∈Sよりt>1
従って1≤k<tとなるkが存在しtの最小性によりk=1～t-1∈S
しかしSの性質により1≤k≤t-1∈S⇒t∈Sとなる
これはt∈T∧S∩T≠∅に反する。よってT=∅であり、Tに最小数は存在しない。S=ℕ-T=ℕ-∅=ℕである。

989 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/23(金) 19:36:18.76 ID:GtMdeRbq0.net

1∈S、k∈S⇒k+1∈S

1∈S、1～k∈S⇒k+1∈S

990 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 01:26:37.29 ID:AADCf2p80.net

除法定理

991 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 01:37:05.75 ID:AADCf2p80.net

割られる数、割る数、商、余り、剰余

992 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 01:37:56.84 ID:AADCf2p80.net

被除数=除数×商+余り

993 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 01:40:02.09 ID:AADCf2p80.net

a=bq+r
(a, b)=(b, r)
被除数と除数、除数と剰余
商は関係無い

994 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 06:21:12.48 ID:AADCf2p80.net

a-bx、b>0とする
b>0で割る
a≥0の時、x=0とするとa∈S⊂ℕ₀となる。
a<0の時、x=aとする a(1-b)≥0より∈S
よってS≠∅
0≤r<b⇒OK。r≥b>0⇒r-bなど、r-nbを作る事によって0≤r<bとする。
S=r, r+b, r+2b, …,

a∈ℤ、b∈ℕが与えられて
a=bq+r=bs+tと2通りに表されたとする
b(q-s)+r=t
q-s≥1よりt≥r+b≥bとなり
0≤r<bに反する

995 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 06:43:13.11 ID:AADCf2p80.net

b>0の時、存在と一意性は示された
b=0は考えない
b<0の時、c=-b>0として
a=cq+rとして題意を満たすq, rの組が唯一つ存在するから
a=b(-q)+rが題意を満たす
r≥0の制限を外すとどうなるか
とおくと
b(-q)+r=b(-q+1)+tとすると
t=r-bとなりr=0⇒t=-bとなり一意性は満たされるがr>0の時は、
0<r<bより-b<t<0
これは0<|t|<bとなるからこれも剰余の定義を満たす, 。よって一意性は満たされない。

5=-3×(-1)+2=-3×(-2)--1となり確かに一意性が満たされない例がある。

0以外の余りは普通の余り以外に|b|を引くと負の余りが作れる。

996 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 07:18:49.74 ID:AADCf2p80.net

1次以上の多項式で割る
定数≠0⇒次数は0
定数=0⇒次数は-∞とする
ℝ[x]
0∈Aの時、0=f-qgとなるqが存在する。割り切れる場合。a, b)→(f, g)
被除数、除数、商、剰余
次元Degで考える
0∉Aの時、
r=f-gq≠0が存在する。割り切れない場合。
r=f-gq≠0
0≤Deg rとなる
r≥gの時、r=gs+tとなる商s∈ℝ[x]と剰余t∈ℝ[X]が存在する
これはrの最小性に反する。
f=gq+gs+t=(q
+s)g+t
Deg r>Deg t
m≥n⇒まだgで割れるので余りではない。よってm<n
ℕ₀の整列性を用いるので0と0以外で場合を分ける

997 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 07:20:17.88 ID:AADCf2p80.net

n次式、n≥1⇒n
定数≠0⇒0
定数=0⇒-∞または定義されない

998 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 07:43:38.55 ID:AADCf2p80.net

f=gq+r=gs+tと2通りに表せると仮定する
t=g(q-s)+r
q-s≠0よりDeg 右辺≥n
左辺の次数<nで矛盾する。
次数∈ℕ₀で比べる。整列性。
r=0でも成り立つ。
q=s⇔r=t
t=0⇒g≠0よりq=s∧r=t=0となる
fg、qr、ab、cd

999 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 07:53:14.62 ID:AADCf2p80.net

0∈Aの時、f=gq+0となるqが存在し、r=0である。割り切れる
0∉Aの時、割り切れない。
r=f-qg≠0が存在する。
Deg r∈A⊂ℕ₀
Aの整列性より最小数mが存在する

0≤m<n⇒題意を満たす
m≥n⇒r=ga+bとなり
r≥g>bとなる。これはrの次数の最小性に反する。よってm<nである。

1000 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 08:05:55.82 ID:AADCf2p80.net

一意性の証明
f=gq+r=ga+bと仮定する
g(q-a)=b-r

1001 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 08:06:25.98 ID:AADCf2p80.net

次数を比べてq=a∧r=bが必要
b=0∨r=0でも成り立つ
f=0の時、0=0g+0

1002 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2024/02/24(土) 08:06:44.66 ID:AADCf2p80.net

f≠0とする。
q≠aと仮定するとDeg(q-a)≥0より
Deg(g(q-a))≥n、
Deg(b-r)<nであり、矛盾する。

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