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平昌オリンピックは日本人税を徴収すべき
- 1 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/13(火) 18:43:07.46 .net
- 加害者である日本人と、それ以外の善良な国家の人間が、現地でかかるお金が同じ金額だと、善良な国家に失礼でしょ。
正直者がバカを見ることのないよう、加害者日本人からはしっかり税金を上乗せすべきだろう。
- 2 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/13(火) 21:57:28.92 .net
- >>1
死ねレイシスト糞ブサヨチョン
- 3 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/13(火) 21:58:18.69 .net
- >>1
死ねレイシスト糞ブサヨチョンのゴキブリ野郎
- 4 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/14(水) 13:33:54.67 .net
- 図星つかれて罵倒でしか返せないネトウヨ哀れwww
- 5 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 20:59:56.97 .net
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- 6 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:00:12.15 .net
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- 7 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:00:47.94 .net
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- 8 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:01:28.95 .net
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- 9 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:01:44.63 .net
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- 10 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:02:01.88 .net
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- 11 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:02:16.34 .net
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- 12 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:02:29.54 .net
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- 13 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:02:43.22 .net
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- 14 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:03:22.35 .net
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- 22 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:05:35.35 .net
- ユニクロは経済的に貧しい層を狙ってるというよりも、心が貧しい層を狙ってるからな
中学高校と垢抜けないグループに所属していて当然女子にもモテなかった連中は
オシャレをすることが恥ずかしいことだと勘違いしている ワックスをつけるのさえも嫌がる
なぜかというと彼らの認知だとナルシストのようで高い服を買ったりワックスをつけることがダサいと思い込んでるから
他にも理由は思いつく限りであって今20～30だと父親がファッションに全く気を使わなくても結婚できたから自分の息子が服に拘るのを由としない雰囲気の家庭もある
そんな終わってる青春時代を過ごした連中は大人になってもやっぱり卑屈に生きることしかできない
運良く大学時代に低スペックな彼女ができたりカネ目当ての女が寄ってきたことはあっただろうが子どもの頃からモテる訓練をしたことのないやつらだからな
当然髪の毛を切るのだって美容院では切らずに床屋で切るから待ってる間にボーッとファッション誌を読むこともない
暇な時間ができてもすぐ直帰したり本屋で立ち読みがせいぜいだろう 決してフラッと服屋に入ることはない
そんな奴らが服を買うときに買える店っていうのはグッと狭まる
服屋がいくつも並んでる百貨店は無理だし、服に金をかけるのはおかしいという無根拠の思い込みがあるからちょっと値段見て5桁だったらすぐに逃げる
店員が寄ってきて「今年のジレは～このブルゾンオススメなんですよー」と言ってきてもジレやブルゾンが何を表してるのかすら理解できない
そしたらウルトラライトダウンみたいな在日のつけたような糞ダサい名前でもついてたほうが分かりやすいし買いやすいよな ちゃんと商品名にダウンって書いてあるんだから
当然店舗は入りやすくてどんな奴でも入ってもおかしくないところしか選ばない
でもそんな屑でも人並みの羞恥心は持っているみたいでイオンや西友の衣料品売り場は定年すぎのジジイの着るものだっていう思い込みはあるみたいだけど
悪いこと言わないから勝手な思い込みはやめろよ
自分で稼いだ金を使って自分の買いたい服を着るんだ 後ろめたいことなんて何ひとつとしてないしナルシストなわけない
世間にいる普通の大人だって大事なときにはそれなりの服を着て人と会ってるのに気付こうぜ
- 23 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:05:50.03 .net
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- 24 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:06:12.35 .net
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- 25 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:06:28.40 .net
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- 26 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:06:44.28 .net
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: : : : : : : : : : : : : : : : . 〈::::/ ‐-ミ, -┴… ﾆ二三｜`￢. | : : |
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: : : . ｀ユヱ ├ Ｔﾆﾆﾆ⊥ﾆニ二｜ ||_| : : |
: . |[ 「 ／|ｉ |三工工工三 | ||` ｰ- L_
ヾ, |｜ :|ｉ |三｜［亙］｜ | |ト . _＿_厂＼_
《/|/ . :|ｉ |三｜［亙］｜ |ｉ__/||: : : : : :|: : : : |
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- 27 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:07:08.44 .net
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- 29 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:07:22.92 .net
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- 30 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:07:35.54 .net
- ￣ヽ、 _ノ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
｀'ｰ '´
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_,,t-‐‐-､,-‐‐-､
三'::::::............... .....::::::`,.
ナ::::::::::::::::::::: :::::: :::: :::::::::::::ヾ
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| | | | i {t）テ" ﾍ' '___,ｲ ヽ＿/ 介'
| | | | _,rﾍ_,ｊ|!' /ｰ--''! |'
|,.ｨ―''''￣ ／| | ／二ｸ !
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i／ |'::;;;;''| 三 ―''" !''::;;;;| /ヽ
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/ ＼{'';;;::''} ￣二ニ＝ !::;;| |
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/ i |:::;;;''! ー ! / |
/ l |;;'';ｲ ｝ {、
〉、 ∧ﾃ{ ヽ ＿ ＿,,,,;;;;;:::-==ﾆ;;;_ ﾉ __,イ´
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/ ｀ｰ::v'´／ | i i |
i /￣ | | i、 |
i / ｜｜ ヽ |
- 31 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:07:52.95 .net
- | お う 今 お |
| ぼ .ど ま ま | | 使 そ 水 .い き
| え ん. で え.. | | い の 道 っ さ
| て .の. 茹 .は ..| | 捨 玉 水 .た ま
| い. 玉 .で ...| | て. の を .い ┃
| る 数 .た . | | た. た 何 ┃
| の を .| | !? め ㍑ ┃
| か | | に の
| ？ | |＼＿＿＿ ＿＿／
＼＿＿＿ ＿＿／ | ∨
∨ ､ ＿二ニミﾞ.| /＿/＿/＿/／ ,..''´ __,,,
ミ / / ! ＼､ヾシ;;;／ ﾞ.| /＿/＿/_.／ ,,. '´ ,. イ)））
ヽ. !､ ＼ ヽ､._,,,;';;／ ,.,.ﾚ | /＿/＿／ ,. '´ ,. イ l))））
l. l lﾞヽﾘ .,;;;;;;／__,ｨｲ/ﾐﾞ .| __/_／ / ／ l､)ノ
. ,､/ l l/ !,,,;;;;／r'´iﾍﾂ .| _.／ ／ ／ ,,. ',
!!ﾞ丶,,,,..ヽ,';;;／/ ',.-‐'" ＿ ..| ／ ／ ヽ! f ,,;;;ｨ
ヽミﾆ=;;ヽ ‐- ､ ￣￣ .| ／ ,.ィ...,,,,,,＿ ＼ i,,;∠/
. ヽヽ-ﾂ/ ', .| ' ／_¨二_ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ´ lｆｧフ
ヽ ', !./.: | ''"テｲｧﾌ ,.ヽ ヽ＝､',¨´i
ヽ', / .j ,.._ | "￣¨´ '¨丶:､ .', l
',ヽ¨´::::ﾉ .| _,,..-‐ ''": : : : i .i/
', ｀¨__,.. __,. | : : : : l l
', ､.ﾆﾌ'´ | : ;-=､ ',
. ', ヽ_,.-‐-' .| ,.,.ﾄ -ｪ､ __ﾉ
/ミヽ､ , ,.. -...| ,;;;''',.ﾆﾐヾ_＞'"
. /--' !ヽ i ／:::::;::ﾞ | ,,;;;' ヽニﾆ!､
. /=､ / ', ヽ _,.!::::::'::::::: .| ヽ--‐'
/ i ヽ、 _/:::::;::::::／....|
- 32 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:10:10.23 .net
- _,.｡ -ー- ､,_
- ' ^´￣ ｀^ヽ､ _,,_ ,．'^ ヽ、
ヽ-､..._ ,ｨ≠‐デ^' .j' | ヽ ＼
) / ,| .j、.i ､. ﾍ N、
_.ノ l! | ,ィ^]^l, .j../丁l'ﾄ}. 1 .1ヽ _,...､..ィ^￣ ｀'ー＝
- ､＿,..｡-ー '^￣ | .W=r:‐:rﾍ/'ﾚxr‐;r‐! l | ／
r ''^ ￣｀`'‐､ l .,} |''^j {'^'7 j :| 、.} (
ヽ.__, _,ﾉ __,ﾉ {.:::.｀¨ ｀ﾞ::/ノ j_,>∨ ,、 ` ー ､.. ..､._ _,..r-
￣ ヽ.ィ ﾍ、 _ ./ ./ ￣ﾉ ｀~ ￣
>､ ヽ^'＞tェt=/ ,ノ ｀'ィ
／ .｀>.Y:/ .:∥:.:.{ 之、 . ヽ
/ 7'^/:.:.∥:.:.:.｀F'::ﾍ . . i 1
ｲ ｉ ./ :^く:.:.∥:.:.:;_.ノ'^: Y . . | ｝
V { .ヾ.,j{:.:.:∥:.:.:.:'kr'.,.ノ’. . . j/
｀' ヽ__ (:{、:.《:.:.:.:.:.:j}´_:〉 . . . ∠.,
＜.､ :L!ﾞT'l{''''T^.丁_}. .r{. j--'’ /::.::.:^L_,.、
,.n､ V'＾l｀⌒T^{ﾞ￣ }`'ゝj／ r'^::.V::.::.::.::.;;^:ん
{:;::i:} ﾟ, .| 'l | {｀::.::.::.::.:,.､::.:__;r:;:、
:ﾍ::ij､__ ,ｨ:.、 1 } | } ,.._ __ `;ﾍ::.::,.､::::>::｀:::;:::::;::
- 33 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:10:27.12 .net
- 105万5き万かりらやな兆兆きんんイハ円ルなベかベとかころんいこ誰誰といいろだも民3貧0貧民0万0円円100民ーーベレ万金持の3の万30か0の円、、万覚覚とだ俺円ﾜ兆ﾀ兆レﾀwルハェベババレトトすでフ
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るわて て. _（,Д_ﾟﾟ.）） .,（,Д（ ）ﾟ,ﾟ Д..（__ Дﾟ）ﾟ ） _?_ ﾟ.） ﾟ狽ﾟの狽ﾈ者どえ業、、のささよい教婦で主。主こ。闇で金みと？？こににキも含
)│派 派└ │1 3─11└間間能も.ないもらもなら平績均字成御御なよよ丸(の派)げ げ1 2├て.買買1値値下をしのがるいるoいよo(│m派派o │)─1├2├似2.ョ1最シトト似だだ(よが
もスれポれ1ポを0日し0円円1なな1ぁ欲4日月ワ月 ワポ 表 ドド円ル ユ ロ ロ円Z N 数手 ネパマ マ1 6 65--1 1 1/-5351308 54--1 1
、 は所は平所得1税月成年年平ららり減１ 住 税 1税は年平ら9月月1ええ るかとなとまと税ますの。え金しし税のの、で替税と得民得合民税せと担わ税税合変変るわ負は基と的とま的にんあ考せ（（ま国国庁税参
2万日か日あか普た通様っ。。あｗｗ日一俺0円0ょ0スょっッとうワももスにに々日ら金が拠万拠動万近るく。すけけ動0000だもら円ん円らんだ一っら、いいら拠拠が金くかわくるく増るだるろはえ向向増いい基、で
レーは見はせ見て今い、んたたせワワプッらまあはあは、あ順イ調^デ((、どどどき^てＬしメし待メーまル。ちょょ待ドドスルう.2151枚50ンで2ロ11枚55で0.ロン枚の枚だの間た違スっドドだははっもル
、シコガコドガポユーのルロロドイイラスでクロドネド・ネな半どは・後後・00円5にいにらるらdるぞju8/yyd円円けつがあのたにたスにタッししスガガーポて行や旅車旅で車のな購UはててでDD買を
切っりるり？るの>か> > 44？88342お願非ユしま／す1ロででユ33あ6も。プよイよタいだいいルででいいろカラど壊どで壊しらてうやいいでねねみ、よえっな、なひ、業わ者ンまメメひ幹幹アペイ
高金の定のX定期余でをのぐぐに年金ナスー回ーい回分るぐ政な本本い金金が利の７５．な．少なっ定たにし預預少入入るれ金利子。ょ。けょっまと一う株株けややたっはだ
- 34 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:10:43.72 .net
- |￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
| !ニニ'' ﾌ iニi _＿__ /二/ __/''Z＿＿ /二/ ,iく￣7 ７ │
| __ / / ─ｯｯ ﾑZ7/7 iニi / --// / / / ､‐Ｊ / / ´ ｀７ / /二二/ |
| ヽ‘ﾆ'ノ iﾆ√ iﾆしシ iニヽ_ノ iﾆしｿ !二二し' {__`_‐'_ラ !二二し' !二し' ノ │
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- 35 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:10:57.44 .net
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┃ 妖怪あすきぃあーと ☆ バスターズ ┃
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┃ ＰＵＳＨ ＳＴＡＲＴ ┃
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- 36 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:11:20.06 .net
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- 38 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 21:11:34.40 .net
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/ 厂l ／ ／/ └;‐'’/ /‐┘ └┐
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三三三三三三 l三三三}／ } .:.::. |/ く(^Y^ﾊ[三三 l} ｲ .:.:: |三三三三三三三三三三 l三三三}／ }
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三三三三 l三三三}／／ .:. ／ ／／ ￣￣／} / .::.::. |三三三三三三三三三三 l三三三}／／
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- 42 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 22:14:07.67 .net
- 次回(予定)作のあらすじ貼ります。
場合によっては次々回(予定)作(フォース～モナイン相当)が先になるかもしれません。
スターオーシャンモナードライブ あらすじ
第3話「1000年後のハイパーマーケット」 モナード達はあのスーパーマーケットを超えるハイパーマーケットへ行った。だがしかしそこには敵が！
混沌アイランド編
第4話「1000年後の混沌アイランド」 モナード達は再び現れたガナーとの戦いで、巨大テーマパーク「混沌アイランド」に飛ばされてしまう。はたして…
第5話「1000年後の星の戦士」 遂に貞子が加わり完全になった星の戦士パーティ。しかしそこに三度ガナーが！
第6話「1000年後のスター」 ガナーが三度現れ、混沌アイランドに敵が押し寄せる果たして星の戦士の運命は！！
第7話「1000年後のオーシャン」 雑魚を一掃し、残るはガナーのみ。しかしガナーには奥の手が…
真希子編
第8話「1000年後のスタオ」 パーティの一人、しぃ。しかし彼女にはある秘密が…
第9話「1000年後の愛」 しぃとの愛に目覚めたモナード。しかし…
第10話「1000年後の友情」 「しぃとの愛」より「仲間との友情」の方が大切だと気付いたモナードしかしもう遅かった。
第11話「1000年後の優しさ」 しぃは真の姿を現す。だがしかし…
第12話「1000年後のその過去」 モナード。彼にも過去が有った。そして…
第13話「1000年後のこころのかたち」 スターオーシャンギコに取り込まれてしまったモナード。仲間は救出を試みる。
第14話「1000年後の希望」 「希望。そう。私にもあるのね。」
決着編
第15話「1000年後の星の海」 「魔王様の命により、貴方達を倒します。」
第16話「1000年後の決着(前編)」 真希子を埋葬しに、地球に戻る一行。しかし手荒い歓迎が彼らを待ち受けていた。
第17話「1000年後の決着{中編}」 魔王の本拠地、大西洋の海底に行く一行。しかし魔王は強力すぎた…
最終話「1000年後の決着[後編]」 もはやモナード達に打つ手がないと思われたその時！奇跡が起こった！！！
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- ( ﾟДﾟ)⊃旦 < 茶飲め （ ´∀｀）つt[] 飲み物どーぞー （･∀･)つ⑩ (・∀・)つ∴ ﾆｸｺﾌﾟｰﾝｸｴ!
ｶﾞ━━━(ﾟДﾟ;)━( ﾟД)━( ﾟ)━( )━(ﾟ; )━(Дﾟ; )━(ﾟДﾟ;)━━━ﾝ!!!!!
ｶﾞ━━ΣΣ(ﾟДﾟ;)━━ﾝ Σ(ﾟДﾟ)ｶﾞｰﾝ Σ（ﾟдﾟlll）ｶﾞｰﾝ ｶﾞ━━(ﾟДﾟ;)━━━ﾝ!!!!!
⊂（ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡ ⊂⌒~⊃｡Д｡)⊃ （ﾟДﾟ)y─┛~~ (´ー｀)y─┛~~
(´-`).｡ｏO(・・・・・・・・・) ;y=ｰ( ﾟдﾟ)･∵. ﾀｰﾝ （・∀・）ｽﾝｽﾝｽ-ﾝ♪ ( ﾟДﾟ)ﾊｯ m(_ _)m
ﾀｲ━━━━||Φ|(|ﾟ|∀|ﾟ|)|Φ||━━━━ﾎ!!! タイ━━━━||Φ|(|´|Д|`|)|Φ||━━━━ホ
ヽ（ﾟ∀ﾟ）メ（ﾟ∀ﾟ）メ（ﾟ∀ﾟ）ノ ｱｯﾋｬｯﾋｬ!ヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉ ㌧㌦! ㌧㌦! （・∀・）人（・∀・）
（ ´_ゝ`）ﾌｰﾝ （ ´,_ゝ`）ﾌﾟｯ （・∀・）ｲｲ!! （・Ａ・）ｲｸﾅｲ!! (´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ (｀･ω･´) ｼｬｷｰﾝ （´･∀･`）ﾍｰ
(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ (ﾟдﾟ)ﾏｽﾞｰ ( ﾟдﾟ)､ﾍﾟｯ ( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ (ﾟДﾟ)ﾊｧ? (ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!! (^Д^)ｷﾞｬﾊ (ﾉ∀`) ｱﾁｬｰ
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!! ヽ(`Д´)ﾉﾎﾞｯｷｱｹﾞ (=ﾟωﾟ)ﾉぃょぅ (ﾟ⊿ﾟ)ｲﾗﾈ щ(ﾟДﾟщ)ｶﾓｫｫｫﾝ (*^ーﾟ)b ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
( ´д)ﾋｿ(´д｀)ﾋｿ(д｀ ) ヽ(´ー｀)ノ (￣ー￣)ﾆﾔﾘ (-＿-) （ ＾∀＾）ｹﾞﾗｹﾞﾗ ∩( ・ω・)∩ ばんじゃーい
（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ （・∀・）ｿﾚﾀﾞ!! m9（・∀・）ﾋﾞｼｯ!! （・∀・）ｲｲﾖｲｲﾖｰ ヽ( ･∀･)ﾉ● ｳﾝｺｰ （・∀・）人（・∀・）ﾅｶｰﾏ
┐(´ー｀)┌ ┐(ﾟ～ﾟ)┌ ( ´∀｀)σ)∀`) ( ´∀｀)σ)Д｀) ('A`)ﾏﾝﾄﾞｸｾ 工エエェェ(´д｀)ェェエエ工
'`,、('∀`) '`,、 '`,､'`,､'`,､'`,､'`,､(ﾉ∀`)'`,､'`,､'`,､'`,､'`,､ ( ﾟ∀ﾟ)ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ / ＼/ ＼
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(σ･∀･)σｹﾞｯﾂ!! ( ･∀･)つ〃∩ ﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰ ＿|￣|○ ﾏﾀﾞｧ-? （･∀･ ）っ/凵⌒☆ﾁﾝﾁﾝ
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- 70 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/27(火) 23:20:57.64 .net
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- 71 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:18:34.37 .net
- （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>2 再録
１．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/～の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
- 72 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:19:26.33 .net
- （引用開始）
「(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
・・・
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
（引用終了）
これは、(1)無限を直接扱う を否定している。だから、残る選択肢は、(2)有限の極限として間接に扱う だ
ところが、上記で見たように、(2)有限の極限として間接に扱う と、無限数列のしっぽによる同値類分類は、相性がよくない
果たして、(2)有限の極限として間接に扱う で、無限数列のしっぽによる同値類分類が完遂できるのか？ 大きな問題だろう
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０～９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや
- 73 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:20:06.34 .net
- (抜粋)
新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。
現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は アレフ 0 と表される。
（引用おわり）
>無限級数に対してよくある誤解
tps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87% E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。
ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。
- 74 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:20:36.91 .net
- 507 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:29.04 ID:q7Skbg74 [7/14]
>>506 つづき
上記のように解析においては、有限と無限はあまり混乱しないが
代数においては、有限と無限の言葉使いがよく混乱する
例えば、有限単純群の理論がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 単純群 - Wikipedia
有限単純群の中に、いくつかの無限系列の族がある。簡単な例では、Zp ? 素数位数の巡回群。素数pは考えている範囲では有限だが、取り得るp値の範囲としては無限だ
有限と無限の言葉使いの混乱の例はさておいて
いま確率が問題になっているのだから、決定番号d(s)の値域dom(d(s))がどうなっていて、dom(d(s))の範囲がどうかとか、d(s)の平均値や分散、標準偏差・・・
そういう確率分布を特徴づける値がどうかと
その場合には、dom(d(s))の範囲は無限大まで考えるべし、正規分布同様にだ
hp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1416621784
量子系について - 量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょう... - Yahoo!知恵袋: 2008/5/19
量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょうか？
ヒルベルト空間は内積(ノルム)が定義され要素の列がコーシー列となる空間のことだと思いますがなぜこれらの性質が必要となるのですか？
ベストアンサーに選ばれた回答 phd_ninoさん 2008/5/20
なぜ、ヒルベルト空間が必要かはお答えできませんが、
少なくとも交換関係を導くためにはヒルベルト空間が必要です。
ノルムが定義されないと、交換関係が導かれません。
完備性が物理的になぜ必要かは、私ははっきりは知りませんが、
量子力学の固有値をヒルベルト空間内のベクトルとして扱うことと関連しているのではないでしょうか？
- 75 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:21:25.35 .net
- a
- 76 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:21:55.73 .net
- c
- 77 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:22:11.44 .net
- 前スレの書き込みに対して
> 「正の無限大に発散する」場合も、極限は存在するよ・・、おい
スレ主は元々
> Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、数列の有限の数列の長さに
> 上限はなく、無限大の極限を考える必要がある
と書いているでしょう
それでたとえΔrの極限が存在しても極限をとる前に存在していた0[n]の開始番号がΔrの極限をとると無くなるので
Δrの極限から決定番号を求めることができないと言っている
> 決定番号がlim →∞ になっても、∞－∞＝０に限られないんだよ
> ∞－∞＝１も可能だな
これは間違いで決定番号の極限に関しては∞－∞＝０になる
自然数全体の集合の順序数をωと書くことにして任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると
n + ω = ω ≠ ω + n であってこれを用いれば
[An_{1}{?}, 0[n]_{?+1}{∞}]のように無限数列を書いた場合
An_{1}{?}が有限数列であれば0[n]_{?+1}{∞}は無限数列となり (n + ω = ωに対応)
An_{1}{?}が無限数列であれば0[n]_{?+1}{∞}は長さが0(つまり∞－∞＝０)にならなければならない (ω ≠ ω + nに対応)
決定番号の極限に関して∞－∞＝１ならばω = ω + 1となって矛盾する
>>11
Whittaker-WatsonのA Course of Modern Analysis
正直、この本はいままで見てないな
訳は下記か・・、記憶がない・・
- 78 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:22:33.16 .net
- ｎ→∞
(抜粋)
「無限大を記号で表すと∞になる。可能無限の立場では、この記号は認められていない。これは実無限の記号さ」
「でも、魅力的な記号だわ。うっとりするほど、引き込まれる記号よ」
「８を横にしただけだろう？。それだけで、これほど魅了されるのか？」
「サクくん、あなたにはこの記号の魅力がまだわかっていないのよ。これは、数学を超えた神聖な記号なのよ」
「超えすぎているさ」
数学を超えた記号が数学内で使用されていることに、サクくんはすでに気がついていました。
「でも、便利よ」
「確かに∞は便利な記号であることは認めるよ。だからこそ、可能無限でも使用しているのさ。たとえば、ｎ→∞という記号は、可能無限では『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない」
「読み方に規定があるのね」
「もちろんだ。誤解を招かない読み方を守ることは、とても大切さ。ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、決して埋めることのできない概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ」
「ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。でも、無限先で自然数ｎは∞という非自然数に変化できると考えたほうがかっこ良くないかしら？」
「かっこ良いか悪いかの問題ではない。俺たちが問題にしているのは、記号が実無限で、意味は可能無限だということだ。ここにも、実無限と可能無限の混在が認められるのさ。でも、可能無限と実無限の違いをしっかり理解しながら使う限りは、あまり混乱しないですむ。この２つを見分ける力がないと、パラドックスが発生して頭の中が混乱するだけさ」
ロマンチックな気分に浸っているミサさんを現実に引き戻したサクくんは、女性の心理をあまり理解していないようでした。
「∞は無限大を表す記号さ。ｎ→∞は記号の組み合わせで、これ自体も立派な記号さ」
∞は、記号である。ｎ→∞も、記号である。
つづく
- 79 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:23:27.71 .net
- 「∞は記号といっても、実無限の記号だ」
「すると、ｎ→∞も実無限の記号なの？」
「いいや、違う」
「ええ？」
ミサさんはびっくりしました。
「∞を言葉に直すと、『無限大』になる。しかし、ｎ→∞を言葉に直すと、『ｎを無限大に近づける』にならずに、『ｎを無限に大きくする』になる」
「ｎ→∞は∞を含んでいるのに、これを言葉になおすと∞が消えてしまうの？」
「そうさ。記号では無限大を含んでいるのに、それを言葉に変換すると無限大が消えるのさ。つまり、実無限が可能無限に変化したのさ」
∞は、実無限の記号である。
ｎ→∞は、可能無限の記号である。
「なるほど、実無限の記号を一部だけ使いながら、思考からは実無限をみごとに消し去ったのね」
「昔の人は、このような巧みな技を使っていたのさ。たぶん、無意識的だと思うよ」
何という巧妙な思考でしょう。ミサさんは改めて、昔の人たちの数学の技を見直しました。
「ちなみに、ｎ→∞という記号の組み合わせが分解できないことは知っているか？」
「分解できるわよ。ｎと→と∞にね」
「ｎは自然数で、∞は無限大だ。では→はどんな論理記号なのだ？」
「Ａ→Ｂという論理式と違うわね」
「もちろん違う。ｎ→∞を『ｎならば∞である』と読む人はいないだろう。これは∞を含んでいるけれども、分解できない記号さ」
「つまり、記号の組み合わせの形をしているけれども、形式上の組み合わせにすぎないのね」
「そうさ」
「それならば、サクくん。limから切り離すこともおかしいわ」
「どうしてだ？」
「lim という記号は、これ１個だけで意味上の最小単位
ｎ→∞
でしょう。これを分解することはできないはずよ」
- 80 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:24:12.44 .net
- 「確かに∞は便利な記号であることは認めるよ。だからこそ、可能無限でも使用しているのさ。たとえば、ｎ→∞という記号は、可能無限では
『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない」
「誤解を招かない読み方を守ることは、とても大切さ。ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、
決して埋めることのできない概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ」
「ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。」
「俺たちが問題にしているのは、記号が実無限で、意味は可能無限だということだ。ここにも、実無限と可能無限の混在が認められるのさ。でも、
可能無限と実無限の違いをしっかり理解しながら使う限りは、あまり混乱しないですむ。この２つを見分ける力がないと、パラドックスが発生して
頭の中が混乱するだけさ」
「∞は無限大を表す記号さ。ｎ→∞は記号の組み合わせで、これ自体も立派な記号さ」
∞は、記号である。ｎ→∞も、記号である。
「∞は記号といっても、実無限の記号だ」
「すると、ｎ→∞も実無限の記号なの？」
「いいや、違う」
「∞を言葉にすと、『無限大』になる。しかし、ｎ→∞を言葉に直すと、『ｎを無限大に近づける』にならずに、『ｎを無限に大きくする』になる」
「ｎ→∞は∞を含んでいるのに、これを言葉になおすと∞が消えてしまうの？」
「そうさ。記号では無限大を含んでいるのに、それを言葉に変換すると無限大が消えるのさ。つまり、実無限が可能無限に変化したのさ」
∞は、実無限の記号である。
ｎ→∞は、可能無限の記号である。
「なるほど、実無限の記号を一部だけ使いながら、思考からは実無限をみごとに消し去ったのね」
「昔の人は、このような巧みな技を使っていたのさ。たぶん、無意識的だと思うよ」
何という巧妙な思考でしょう。ミサさんは改めて、昔の人たちの数学の技を見直しました。
- 81 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:24:58.25 .net
- 前スレより
> ”lim_{m→∞}[An_{1}{m}, 0n_{m+1}{∞}]=An_{1}{∞}”が言えるかも知れないが、別のことも言えるよ
> 拡張実数では、普通の実数に対してm+1≠m だが、∞＋１＝∞ 成立だよ。ここらが分かってないと見た・・
スレ主は0[n]_{∞+1}{∞}だと数列の始まりと終りが逆転して困るから自分で「∞＋１＝∞」
つまり年齢差をなくしているじゃないか
どうも。スレ主です。
あなたが言いたいことがよく分からないが
実無限とかlim_{m→∞}（可能無限）とか
無限がからむと、いろんなことが、言えるってことさ
でも、決定番号で、lim_{m→∞}（可能無限）が考えられるよというわけ
もちろん、∞とか、ωを考えることも可能さ
それは人が考えることだから、なんでも可能だよ（選択公理を使う使わないと同じことさ）
だが、今回の時枝記事に限っていえば、その前提は
>>2
１．可算無限個の箱
２．実数列の集合 R^N s = (s1，s2，s3 ，・・・)
３．決定番号は、任意の実数列Sと同値な代表r= r(s)とで、sとrとがそこから先ずっと一致する番号という定義（もちろん s,r ∈R^N ）
この３つは押さえておこうね
で、「可算無限個の箱」だから、これは実無限だよ
それから、問題は、これらの前提から
「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けるかの問題だというゴールも意識しておこう
決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
- 82 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:26:00.46 .net
- l
- 83 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:26:09.35 .net
- t
- 84 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:26:20.34 .net
- のため言っておくと、ここでいう数列は普通の実数列、すなわち自然数から実数への写像、つまりインデックスは自然数だ。
自然数でないωや∞を（自分で何らかの定義をしなければ）インデックスにとることはできない。
All he can do is run away.
>>32
スレ主の引用では
> 可能無限では『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』
> と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない
> ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、決して埋めることのできない
> 概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ
> ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。
時枝記事に出てくる極限
> (2)有限の極限として間接に扱う
を上の引用の言葉を使って書き換えると可能無限と実無限の間には埋めることのできない概念上の大きな隔たり
があるから実無限を上限のない有限(つまり可能無限)の極限として間接的に扱うということになる
よって時枝記事に出てくる数列に対しての極限は上の引用とは逆に「nを無限大にする」と読まなければいけない
> Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、
> 数列の有限の数列の長さに上限はなく、無限大の極限を考える必要がある
スレ主も「無限大の極限を考える必要がある」と実際に書いていてそのことに対して前スレで最初はlim記号を
用いずに書き込んだら
> lim記号（下記）を使って、(略)書いていることを表現してほしい。
とスレ主が要求してきたのだから
> 決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
> lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
というのは言っていることがまるで正反対ですよ
> ゴールも意識しておこう
スレ主は時枝記事に出てくる数列に対しての極限の定義を理解していないようだからまだスタートすらしていないよ
- 85 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:27:17.88 .net
- しっぽの”・・・)”の部分は、同値類なので同じ（後述の差を取ると、なくなる部分）
いま、簡単に n<mとしよう
そうして、数列の差を考える
r'-r = (s'1-s1，s'2-s2，s'3-s3 ，・・・，s'n-sn ，・・・，s'm-sm ，0,0,0・・・)
しっぽの”0,0,0・・・)”の部分は、しっぽの同値類なので、差を取ると0になる。そこで、これをなくなると見なす
Δr= r'-r = (s'1-s1，s'2-s2，s'3-s3 ，・・・，s'n-sn ，・・・，s'm-sm ) として
Δrは、個別には、有限の長さの数列になり、ロバートソンの方法類似の表現で
r'= Δr +r
とできる
Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、数列の有限の数列の長さに上限はなく、無限大の極限を考える
必要がある
それは>>188と同じだ
かつ、大きな違いは、
循環小数では、箱の数字は０～９の１０通りだが、時枝やSergiu Hart氏では、箱の中は任意の実数だから、card(R)つまり（非加算）無限大通りになる
>>37に引用頂いている通りだが
時枝>>4-5に従って
無限を扱うには，(2)有限の極限として間接に扱う，を実行してみよう
１．時枝>>2により
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
これを、一度有限に落とす。数列の長さL＝nを考えよう
「ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版)」は、そのままでいい
３．「任意の実数列S に対し，同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)」を、r =（=r(s)）= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)と表現しよう
同値の定義より、sn=r n だ。そして
「sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す」も、そのままでいい。とすると、決定番号d = d(s)=nとなることに注
意をうながしておく
５．そうすると、明らかにd = d(s) = nだ
７．ここで、極限を考える。n→∞だ。d = d(s) = nだった
lim (n→∞)d で、d→∞。そして、極限を考えても、同値s ～ r は不変だ
- 86 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:28:07.37 .net
- >決定番号で、∞とか、ωを考える必要は無いんじゃないかな？
>lim_{m→∞}（可能無限）を考えれば十分だろ
この話は、もともとは前スレから引用した>>42の「小さい数は出ない」
「ｎ→無限大を考えると、一様分布とは比べられないくらい、裾が重いことがわかる」から発しているのだった
だから、ｎ→無限大を考えると、”「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けないだろ”というのが私のゴール
>釣り師も釣られ師もお疲れさん
以前、”哀れな素人さん”が、2016/05/21(土) に、
「スレ主はこういうチンピラではない。
だからたとえ時枝問題に関してスレ主が間違っていようと、
私はスレ主の味方だ。
スレ主は、あなたに味方している人間もいることを知って、
他の連中の罵倒嘲笑にめげないで書いてほしい。」と励ましてくれたが・・・
最近、見るところ、理系の連中は、「時枝記事不成立」でご理解頂いたようだ
残っているのは、”いわゆる文系の数学で終わって、いま趣味で大学レベルの数学の勉強をしている”(>>15)連中と見た
まあ、複素関数論（１変数）とか、量子力学をやると、無限に対する理解が自然に深まる
その素養がないなら仕方がないが・・
”釣られ師”というか、いまだ覚醒できない人たちだな
釣り針は、すでに時枝問題から離れている・・。が、時枝問題から離れられない覚醒できない人たちがいる
思うに、数学科の人たちは、かなり早く離れたと思う。例えば、バリバリの数学科はそうそうに引いた。のぞきに来たおそらく数学科の
修士クラスは、「時枝は与太話」と言ってさった
その後、多くの理系が覚醒していった
さすがにTさんも悟ったようだな
おっちゃんも、前スレの最後で分かったのかな？
残った、文系の君たちも、「釣り針は、すでに時枝問題から離れている」ということを早く理解するように
もう一度強調しておくが、数学セミナーの時枝記事は不成立だよ。それを早く理解することだ
- 87 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:29:24.81 .net
- 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
キマラ数列について補足しておくと、簡単な話で、自然数を辞書式順序集合と見るというだけのこと
順序集合
(抜粋)
直積集合上の順序
ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類が考えられる。
辞書式順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a < c ∨ ( a = c １∧ b ≦ d )
a1<b1<a2<b2<a3<b3<・・・<an<bn<・・・
この順序は、まず1<2<3<・・・<n<・・・を考えて、同じ1の中なら次にa<bという順序を考えるということ
対して、a1,a2,a3,・・・,an,・・・、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・
この順序は、まずa<bを考えて、同じaの中なら次に1<2<3<・・・<n<・・・という順序を考えるということ
直積( a , b )に対するこの二つの順序の入れ方は、現代数学では普通だ
ところで、人間の集合で、男女を考えて
男性は、a1,a2,a3,・・・,an,・・・という番号を付ける
似たようなことは、現代数学でなくとも日常茶飯事だ
が、現代数学で考えると、無限集合の扱いで間違いをすることが少ない
奇数偶数で
奇数に、a1,a2,a3,・・・,an,・・・という番号を付ける
偶数に、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・という番号を付ける
大学以上の数学では、添え字集合の自由度が高いから、これは可能だ
奇数の集合∪偶数の集合＝自然数の集合
a1,a2,a3,・・・,an,・・・、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・を、キマイラ数列と商業宣伝風に名付けただけで、特別なことはしていない
>>40 訂正
６．= (r1，r2，r3 ，・・・，r n)= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)として、>>38の引用に当てはめてみよう
以上、はやく、文系連中が覚醒して、時枝問題を離れられるように、まとめて書いておいた
- 88 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:30:40.54 .net
- 数学において、ガロワコホモロジー (Galois cohomology) はガロワ加群の群コホモロジー（英語版）の研究、つまり、ホモロジー代数学のガロワ群に
対する加群への応用である。
体拡大 L/K と結びついたガロワ群 G はあるアーベル群、例えば L から直接に構成されたアーベル群、に自然に作用するが、より抽象的
手段によって導き出される他のガロワ表現を通して構成されたアーベル群もである。ガロワコホモロジーはガロワ不変元をとることが完全関手
でなくなる理由を説明する。
ガロワコホモロジーの現在の理論は代数的整数論においてイデアル類群のガロワコホモロジーが自身を L-関数とのつながりから取り除く
過程の時に類体論を定式化する1つの方法であることが実現されたときに1950年頃一体となった。
ガロワコホモロジーはガロワ群がアーベル群であるという仮定を全くしないので、これは非アーベルコホモロジー論（英語版）であった。それは
類構造（英語版）の理論として抽象的に定式化された。1960年代の2つの発展は position を turn around した。
1つ目に、ガロワコホモロジーはエタールコホモロジー（大雑把に言うと 0 次元スキームに適用するときの理論）の基本的な layer として現れた。2
つ目に、非可換類体論がラングランズ哲学の一端として着手された。
ガロワコホモロジーと同一視できる初期の結果は代数的整数論と楕円曲線の数論においてかなり前から知られていた。正規基底定理は L
加法群の一次コホモロジー群が消えることを意味している。
これは一般の体拡大についての結果であるが、リヒャルト・デデキントにある形で知られていた。乗法群に対する対応する結果はヒルベルトの
定理90として知られており、1900年以前に知られていた。クンマー理論は理論の別のそのような早期の部分であった。これは m 次冪写像から
数学では、ガロアコホモロジは、ガロアモジュールの群コホモロジー、すなわちガロア群のモジュールに同型代数を適用する研究です。
フィールド拡張L / Kに関連するガロア・群Gは、例えばLから直接構築されたもののようないくつかのアーベル・群上で自然なやり方で作用するが、
より抽象的な手段によって導かれる他のガロア表現を介して作用する。
ガロアコホモロジーは、ガロア不変要素を取ることが正確な函手ではない方法を説明します。
- 89 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:31:36.72 .net
- t
- 90 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:32:20.37 .net
- g
- 91 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:32:39.95 .net
- 数学を何だと思うかは「その人それぞれ」ですが、私の場合には構造と
いう考え方を重視するので、従って『数学の完成形はブルバキの形式』
という思想ですね。そもそも数学の価値とか意味は：
『人間の都合とか恣意性を完全に排除する理性の象徴としての絶対神』
であり、従ってある特定の数学に応用がアルか否かに関しては客観的な
判定基準なんて当然に存在しません。だから一見して応用がなさそうに
見えるものが後日に有用になったりします。但し甚大な応用がアル理論
は（その妥当性から）「ソコから豊かな構造が取り出せる場合がアル」
というだけの事でしょうね。
でもこれは人間に更に近い物理でさえそうであり、例えば黎明期の電磁
気学に膨大な応用がアルなんて事をFaradayやMaxwellが具体的に予想し
たとはとても思えない。そして「点接触型トランジスタ」を最初に発見
したShockley-Bardeen-Brattainが現代社会に於ける膨大な応用（とい
うかもはや社会構造の一部でさえある半導体集積回路）を予想した筈は
ないでしょう。
初代インテルチップの設計者のおひとりであられる嶋正利先生でさえも、
ご自分の貢献が（生きてるうちに！）神戸の京速計算機の基本構成要素
に使われるなんて、まさかお考えにはなられなかったのではないかと。
だから理学と工学の間の線引きなんて、そもそもナンセンスでしかない。
そういう目先の恣意的な違いに拘泥している場合ではないと、ノーベル
賞の大隅さんも警告なさったのでは？
学問とは、そして特に数学の場合は：
『非力で無能な人間が、全能の神を前にして平伏して苦悩するその姿そのもの』
という風に私は思って居ます。
- 92 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:33:46.99 .net
- ニュートン、ライプニッツによる微分積分の発明のあと、
微分積分ほか、自然現象や身の回りに、数学の力を適用してみようと
当時の数学は未熟だったから、巨人オイラーは手作りで、オイラー流の数学を作った
オイラー流の数学は、現代数学にも多く継承されてい
ヨハン・ベルヌーイによって才能を見出されたことと、オイラー自身が数学に興味を抱いていたことから、数学者になる道を選んだ。オ
イラーの父も数学の教育を受けた人物であったが、オイラーには自分の後を継いで牧師になることを望んでいた[1]。
1727年、オイラーはサンクトペテルブルクの科学学士院に赴任した[1]。この地でダニエル・ベルヌーイの同僚となり、バーゼル問題を
解決したことで有名になった。しかし、エカチェリーナ1世の突然の死でロシアは政情不安となり、視力の悪化も伴って、研究生活は不安定になった。
1741年、プロイセン王国のフリードリヒ2世の依頼でベルリン・アカデミーの会員となり、ドイツへ移住した[1]。
その業績からフリードリヒ2世に「数学のサイクロプス（単眼の巨人）」と賞賛される（右目を失明していたため）。彼は『無限解析入門』
数理物理学では、ニュートン力学の幾何学的表現を解析学的に修正して、現代的なスタイルに変更した。 彼は1736年に初めて力を
はっきり定義し、解析的な形で運動方程式を与えた。
それ以後、この定式化に基づいて振動弦の問題を論じ、また地球の章動の研究において運動方程式による3体問題の定式化を行った。
そして1755年には流体力学の基礎方程式（連続方程式と運動方程式）を導いて体系化した。
さらに1760年には剛体の力学を論じ、剛体に固定した運動座標系を導入してオイラーの運動方程式を得、これを発展させた。剛体の方位
を規定する3つの角は「オイラーの角」と呼ばれている。 だが、彼は1760年代までニュートンの重力理論を容認できず、デカルトの充満理論・
エーテル理論に固執した。 その他、変分法に関する業績も多い。
関数概念の導入
ライプニッツによって定義された関数を初めてy=f(x)の形で表したのもオイラーである。 このような近代的関数の概念は1748年に導入され、
物理学など応用方面でも使いやすいものとなった[1]。
- 93 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:34:33.45 .net
- 場の量子論の数学と二次元四次元対応
立川裕二(東大・Kavli IPMU)
講演では、場の量子論は数学的に如何に捉えるべきか、また、その立場から、二次元四次元対応
はどのように理解されるか、ということをお話いたします。以下、講演では触れないと思いますが、
折角なので日記と電子メールを辿って二次元四次元対応が見つかった経緯を再構成してみます。
僕がアメリカでポスドクをしていた2009 年の1 月のある寒い日ダヴィデ・ガイオット(以下ダ
ヴィデ) がザイバーグ先生に彼の最新の研究を説明していたところに巡り合ったので、僕もそこで
それについて教えてもらいました1。それが今では四次元のクラスS 理論と呼ばれているものとの
僕のはじめての遭遇です。その後、ダヴィデはルイス・フェルナンド・アルダイ(以下フェルナン
ド) と共同研究をはじめたようなのですが、その共同研究に、僕が以前修論でやっていたインスタ
ントン分配関数の計算が使えそうだと判ったそうで、2 月中旬になって僕も共同研究に加わること
になりました。
そこからしばらくは良く判らない闇雲な計算を三人でしていましたが、5 月のある日の夕方、僕
が近くの運河脇の小径を自転車で散歩していると、携帯にダヴィデから「1 ループの寄与はリュー
ビル理論の三点関数の積だ」と短いメールが届きます。家に戻ってから「じゃあインスタントン分
配関数の寄与は?」と返事を書くと、すかさず「それは共形ブロックであるはずだ」と返信があり
ました。
リュービル理論も共形ブロックも、二次元の場の理論の話題で、それまで四次元の場の理論一辺
倒だった僕にはちんぷんかんぷんで、彼が何のことを言っているのかさっぱりでした。しばらく
は、修士の頃に書いたマセマティカのプログラムに手を入れて、ダヴィデが計算してくれと言うイ
ンスタントン分配関数を、闇雲に計算すると、ダヴィデが別に計算した共形ブロックと答えが一致
する、というのの繰り返しです。これは魔法にかけられたような経験でした。彼はその度「ほらそ
うだろう」と言うのですが、僕は何故これらが一致しないといけないのか、そもそも何故彼がこの
パラメタでインスタントン分配関数を計算してくれといったのか、全く判らなかった記憶があり
ます。
- 94 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:35:34.22 .net
- 遠い未来の論文誌が手に入り,問いの数々への解答が垣間見れたならば,と夢想された事のある方は少なくないのではないだろうか?
もちろんこのような事は不可能だが,双対性という不思議な性質は,しばしば「未来の知識を垣間見る」ような感覚を引き起こす.
二つの異なる理論が同じ物理を記述しているとき,それらの間には「双対性」(duality)がある,という.ひとたび非自明な双対性が発見されれば,
実際AdS/CFTに代表されるような様々な双対性の発見が,近年の弦理論の発展を牽引してきた.
そして2009年,Alday,Gaiottoおよび立川は,超対称ゲージ理論に関する,全く新しいタイプの双対性を発見する.
それが本稿の主題「AGT予想(AGT対応)」である.
この予想における主役は4次元時空中のN=2超対称理論と,それに付随して定まる2次元の共形場理論であり,それらの分配関数と相関関数が
厳密に一致するというのが,彼らの予想である.
この数十年の研究により,どちらの理論も,量子効果と対称性による拘束が競合した結果,とても非自明な形で解けてしまう理論である事がわかっている.
そこで次に理解すべきは,このような現象の起こる物理的なメカニズムである.完全では無いものの,有望なシナリオがいくつかある.
その一つは,超弦理論の親玉であるM理論に起源を求める考え方である.M理論には,M5ブレインという6次元的な広がりを持つ高次元の膜的な
物体が存在する.
このブレインの広がりを2次元と4次元時空に分け,一方をつぶしてしまうと,残された空間にのみ住む理論が得られる.
これによりゲージ理論と共形場理論が結びつくという説明法がそれである.M5ブレイン上に励起する物理的自由度に関してはよくわかっていない
事が多く,この「導出」は完全ではないが,いくつもの傍証が見つかっている.
また興味深い事に,AGT予想を理解する事でM5ブレインに関する理解が進展する可能性もある.
AGT予想に関する数学的な理解にも進展がみられる.特にMaulikとOkounkovは,ゲージ理論側を記述するインスタントン解のモジュライ空間の
コホモロジーに,2次元共形対称性の表現空間としての構造が入る事を示し,予想の一部の証明に成功した.
また逆にAlbaらは,2次元共形対称性の表現の上に,インスタントンモジュライ空間と類似の組み合わせ論的な構造が隠れている事を示す事で,
予想の一部を証明した.
- 95 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:37:01.04 .net
- 理論物理学では、6次元 (2,0)-超共形場理論 (six-dimensional superconformal field theory) は、超共形場理論（
英語版）(superconformal field theories)の分類により存在が予言されている場の理論である。
作用汎函数の項として理論が記述できていないので、いまだ良く理解されていない。この理論の固有の難しさにもかかわらず、
物理学と数学の双方から、様々な理由で興味が持たれている対象と考えられている[1][2]。
(2,0)-理論は、場の量子論の一般的性質の研究にとって重要であることが証明されている。実際、この理論は有効場理論への数学的興味を
多く呼び起こし、これらの理論に関連する新しい双対性を指摘する。
たとえば、ルイス・アルダイ、ダヴィデ・ガイオット、立川祐二は、この理論を曲面へコンパクト化することにより、4次元の場の量子論を得て、
この理論の物理と曲面自身に付帯するある物理的概念に関係付ける双対性が存在することを示した。
この双対性はAGT対応として知られている[3]。さらに詳しくは、理論家たちはこのアイデアを拡張し、3次元へコンパクト化すると得られる
理論を研究している
この場の量子論への応用に加え、(2,0)-理論は、純粋数学での多くの重要な結果をもたらしている。たとえば、(2,0)-理論の存在は、
ウィッテン(Witten)により幾何学的ラングランズ対応と呼ばれる数学の関係性の予想を「物理学的」に説明することに使われた[5]。
その仕事の結果、ウィッテンは、(2,0)-理論がコバノフホモロジーと呼ばれる数学の概念とも近いことを示すことにも使った[6]。
ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により2000年ころに開発されたコバノフホモロジーは、結び目の異なった形を研究し
分類する数学の一分野である結び目理論へツールを提供した[7]。
数学への (2,0)-理論の他の応用では、ダヴィデ・ガイオット、グレゴリー・ムーア(Greg Moore)、アンドリュー・ナイツケ(Andrew Neitzke)
の仕事があり、そこでは物理的アイデアが超ケーラー幾何学(hyperkahler geometry)における新しい結果を導いている[8]。
- 96 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:37:49.94 .net
- > ｎ→無限大を考えると、”「100列で確率99/100」が数学的に厳密に導けないだろ”というのが私のゴール
スレ主は決定番号にこだわって時枝戦略を何とか不成立にしようとしているが無限数列の出題にも決定番号は
関わっていることを理解しないといけないよ
出題する数列をSn(= s1, s2, ... sn, ... )また代表元をRn(= r1, r2, ... , rn, ... )で表すとして前スレの記号も
そのまま用いる
ある自然数mがあってSn-Rn = [(Sn-Rn)_{1}{m}, 0[n]_{m+1}{∞}] ---(1)と書けたとすると
m < nとなる全ての自然数nに対して |sn - rn| = 0となっていてこれは前スレにも書いたが
時枝記事ではこれが代表元との比較による極限の定義になりこの式を変形すると
有限数列Sn_{1}{n}のnを無限大にした極限はSn_{1}{∞} = [Sn_{1}{d-1}, Rn_{d}{∞}]と書ける
ここでdはある自然数であって決定番号である(式(1)においてd=m+1)
> (2)有限の極限として間接に扱う
[Sn_{1}{d-1}, Rn_{d}{∞}]においてはSn_{1}{d-1}が有限の部分であり極限によって扱われるのが
Rn_{d}{∞}である
これは出題する前にあらかじめ完全代表系を決めておけば出題者は有限個の数字を決めて極限値を1つ選べば
間接的に可算無限個の数字を全て選んで箱に入れたとみなせるということを意味する
決定番号が出題にも関わっているのは極限値がRn_{d}{∞}でありdを含んでいることから明らかであるが
決定番号がdであるときには出題者は最低でもd-1番目までのd-1個の数字を極限とは関係なく自分で
選ばないと出題する数列の数字全てを選んだとはみなせない
この関係は超弦理論から現れる双対性の一種であり、この2つの理論は6次元 (2,0)-超共形場理論をそれぞれ別の
曲面上へコンパクト化することで得られる。
この関係は、アルダイ、ガイオット、立川裕二により2009年に発見された[1]。
またこの関係は、W代数を対称性にもつ A N ? 1 {\displaystyle A_{N-1}} A_{N-1}型戸田場理論と4次元SU(N)ゲージ
理論との間の関係や、変形Virasoro/W代数を対称性にもつ理論と5次元ゲージ理論との間の関係にも拡張され、ま
たAGT対応が発見されて以来、そのアイデアは、3-次元理論の間の関係性の記
- 97 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:39:17.44 .net
- g
- 98 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:39:25.89 .net
- v
- 99 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:39:38.63 .net
- 幼い頃から私は天文学に魅せられていました。もっとも当時これはさほど珍しい
ことではありません。と言いますのも、1950年代後半に宇宙開発競争が始まり、誰
もが宇宙に胸を躍らせていたからです。それ以前から天文学に興味があったかど
うかはあまりよく覚えていません。ただ、9 歳か10歳の頃に、3 インチ反射望遠鏡
を贈られて、それで土星の環を見ることが、少年時代の私には無上の楽しみの1 つ
でありました。
子供の頃は天文学者になりたかったのですが、自分が大人になる頃には、天文学
者は宇宙で暮らし、宇宙で仕事をしなければならなくなると子供心に思い込んでい
ました。私にはそれがとても危険なことのように思えました。
その仕事の結果、ウィッテンは、(2,0)-理論がコバノフホモロジーと呼ばれる数学の
概念とも近いことを示すことにも使った[6]
11歳の頃、その年齢にしては高度な数学の本をプレゼントされました。理論物
理学者だった父は、私に微積分の手ほどきをしてくれました。そのため、しばらく
の間は数学に熱中しました。ただし両親は、数学（と両親が考えるもの）に私が急激
にのめり込んでしまうことをよしとせず、ですから、私が初歩的な微積分よりもは
るかに本格的な数学に触れることになるのは、それからずいぶん先のことになりま
す。当時の両親の方針が良かったのかどうか、今の私にはわかりません。ただ、そ
のため長い間、私が教わるたぐいの数学が、抜本的に新しいものであるとか手ごた
えがあるものというふうには思われませんでした。それがどの程度影響したのかは
わかりませんが、いずれにせよ私は長い間、数学に興味を感じなくなったのです。
つづく
しかし最終的に、私が最も才能に恵まれているのは数学と理論物理学であって、
自分にはそうした分野に進む以外の道はないと思い至りました。21歳の頃、私は、
数学と理論物理学のどちらを選択するかを決めたのですが、当時の私には、どちら
の分野についても乏しい知識しか持ち合わせていませんでした。その知識をもとに
理論物理学を選んだわけですが、その大きな理由は素粒子に魅せられたからです。
- 100 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:40:13.37 .net
- 1970年代中頃に大学院生だった私が何
に興味を持っていたのかをわかっていただくためです。簡単に言うと、私の大学院
時代、素粒子物理学の分野では、果てしない革命の時代が全盛期を迎えていまし
た。その時代がずっと続くと思っていた私は、自分もその一翼を担いたいと考えて
いました。ただ、今にして思えば、ジェイプサイ中間子を理解することから、科学
全体に変化が起きつつあることを察知できていればよかったのかもしれませんが。
事実、この新しい粒子の持つ驚くべき特性は、標準模型によって完全な説明が可能
であり、しかもそれについては、すでにいくつかの論文で予想されていたことが明
らかになったのです。もっとも、そうした予想を行った論文がどれほど知られてい
たのかはわかりません。実際私はそれらの存在を知らなかったのです。
つづく
その一方で、大学院生の私にはもう1 つ興味を引かれることがありました。そ
して、ある意味、それがその後の私の研究につながっていくところもあったので
す。ところで、物理学が専門でない皆さんのために、ここで少しご説明しておかな
ければなりません。それは、理論物理学者は自然の法則を理解しようとする一方
で、様々な状況で方程式を解き、今後何が起こるのかを予想しようとしているとい
うことです。理論物理学のこの2 つの側面は、必ずしもはっきりと区別できるわ
けではありません。たとえば、自然の法則を解き明かし、その法則による予測を明
らかにできなければ、どれが正しい法則なのかを理解することはできません。とこ
ろが実際に物理学者が行っているのは、ほとんどの場合、少なくとも原理的には適
切な方程式が明らかな状況で、物質の振る舞いを理解しようとすることです。この
2 つの側面を同時に実践するのは、口で言うほど簡単なことではありません。一例
を挙げれば、電子や原子核の振る舞いを説明するシュレーディンガー方程式につい
て知っているということと、そうした方程式をいくつも解いて一本の銅線の振る舞
いについて理解することとは、別問題だからです。
- 101 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:40:44.49 .net
- 素粒子物理学者として、基本的に私の目標とするところは、そうした基礎方程式
が何なのかを理解することでした。ところが、標準模型の登場によって新たな状況
が生まれたのです。私が大学院で研究を始めたちょうどその頃、全く新しい基礎方
程式がいくつか確立されつつあり、中には理解することがきわめて難しいものもあ
りました。特に、標準模型では、陽子、中性子、パイ中間子、そしてそれ以外の相
互作用を行う粒子はクォークで形成されているものの、どのクォークも観察できな
いとされていました。この矛盾を解消するためには、クォークが「閉じ込められて
いる」、つまり、どんなにエネルギーを費やしてもクォークを取り出すことはでき
ないと考えざるをえませんでした。クォークの閉じ込めを説明しうると思われてい
た標準模型の方程式には、わかりにくく、しかも解くのが難しいという問題点があ
りました。そのため、クォークの閉じ込めが本当に起こるのかどうかは、なかなか
解明することができなかったのです。
大学院時代とその後も長きにわたって、私はクォークの閉じ込めを解明すること
に情熱を燃やしました。しかし、これはきわめて困難な問題であり、私はあまり成
果を上げることはできませんでした。実際、標準模型の方程式を用いてクォークの
閉じ込めを説明するということは現在にいたるまで未解決のままです。もっと正確
に言うなら、コンピュータによる大規模なシミュレーションによって結論が正しい
ことはわかっているのですが、それがなぜかということは、私たち人間の理解を超
えているのです。
この問題を解きたいという願いは叶わなかったものの、この経験からいくつか得
るところもありました。1 つは苦い教訓です。そこでつくづくと思い知らされたこ
とが、現在私が研究を行う際にもっとも重視することの1 つとなっています。す
なわち、研究者は現実に即した態度で臨まなければならないということです。解明
しようとする問題について先入観の持ちすぎは禁物です。チャンスが巡ってきた時
に、そのチャンスを活かせるように準備しておく必要があるのです。
- 102 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:41:05.79 .net
- 残念ながら私は、クォークの閉じ込めという問題の解明が、自分には難しすぎる
ということを認めざるを得ませんでした。何らかの成果を出すためには、もっと目
標を低く設定して、もっと限定された問題に取り組む必要がありました（後で詳し
くお話ししますが、結局私は、クォークの閉じ込めという問題に少しばかりの貢献
をすることになります。ただし、20年近く経ってからの話ですが）。
しかし、もっとプラスの面についても言うなら、この現実を受け入れ、より限定
的な問題で何らかの成果を出そうとすることで、私は相対論的量子系の強結合での
振る舞いと物理学者が呼ぶ現象――標準的な方法で方程式を解くことが難しい場合
の相対論的量子系の振る舞い――について考察することで、ある程度の経験を積ん
でいくようになりました。そしてこの経験が、のちの私の研究に大きな意味を持つ
ことになるのです。
ここでももう1 つ、物理学が専門でない皆さんのために、少し説明しておかな
ければならないことがあります。大学院で物理学を専攻する学生は、弱結合の場合
にどうすべきかを学ぶにすぎません。強結合の場合には、様々な疑問や方法が入り
乱れて浮かび上がってくるのです。ですから、強結合の場合に量子系がどのような
振る舞いを示すのかについての専門家のような存在はいないはずですし、少なくと
も私自身は決してそのような専門家ではありません。かなりのことを研究してきま
したが、いつでも初学者のような気がしているのです。
1976年、プリンストン大学で博士号を取得した私はハーバード大学に移り、そ
の後の4 年間をそこでポスドク生活を送ることになります。その間、私生活では
いろいろなことがありました。私と同じ時期にポスドク研究員としてハーバードに
やってきたキアラ・ナッピとは1979年に結婚しました。彼女と出会ったのは、1975
年にフランス・アルプスで開催された物理学のサマースクールでした。彼女は、著
名な数理物理学者のアーサー・ジャフィーに誘われてハーバードにやってきたので
す。最初の子供を授かったのも、ハーバードにいた時でした。
- 103 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:41:32.85 .net
- ハーバードでは、多くの先生方に様々なことを教えていただきました。専門を同
じくする物理学の先生方ばかりでなく、数学が専門の先生方からもです。専門的な
話は控えたいと思いますが、少しだけ、当時の様子をお話ししたいと思います。
ハーバードでの先輩の1 人にスティーブン・ワインバーグがいました。彼は標
準模型の先駆者であり、1979年にノーベル賞を受賞しました。大学院の頃の私に
は、物理学の基本的なテーマでなかなか理解できないものがありました。おそらく
スティーブンは、他の多くの物理学者も私と同じような困難に悩まされていると
思ったのでしょう。そうしたテーマがセミナーで取り上げられるたびに、彼は自分
が理解していることを手短に説明してくれました。こうして何度も彼の説明を聞い
たおかげで、よりはっきりしたイメージが得られるようになったのです。
シェルドン・グラショーとハワード・ジョージからも多くのことを学びました。
教授であったグラショーも標準模型の先駆者であり、1979年のノーベル賞受賞者で
す。ジョージは若手の教員で、私よりも少し年上でした。実は、ハーバードでは研
究室のスペースが不足していたので、私たちは一緒の研究室を共有していたのです。
当時の私は全く気づいていなかったのですが、科学に根底的な変化が生じるとい
うことは、私にとってそれまでとは少し違う方向にもっとチャンスが生まれるかも
しれないということでもありました。だからこそ、ハーバードでのもう1 人の先輩
物理学者、シドニー・コールマンとの交流が、私には大きな意味を持ちました。彼
は、場の量子論に関する優れた洞察で伝説的な人物であり、私の見るところ、強結
合な場の量子論に大きな関心を寄せた唯一の物理学者でもあります。他の物理学者
は、この問題をブラックボックス、つまり考える価値がない代物と見なしていたよ
うに思われます。
- 104 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:42:00.90 .net
- 私はたびたび、コールマンの優れた洞察に興味を引かれました。そうした洞察
は、彼から聞かされなければ耳にすることもなかったでしょうし、よしんば耳にす
ることがあったとしても、もっとずっと後になっていたでしょう。多くの場合、彼
の洞察は、相対論的量子物理学に関する数学の基本的概念や、他の数学の分野と相
対論的量子物理学の関係に関するものでした。私のその後の研究に重要な意味を持
つテーマも多くあったのですが、コールマンから教えてもらうまでまったく思いも
よらないことでした。初めて聞いた時はそれほどよくわかったとは言えない状態で
したが、幸いにも、後に役立つ程度には覚えていました。ここで、コールマンが私
に教えてくれた洞察の一例をご紹介しましょう。それはもともと、旧ソビエトの数
学者、アルベルト・シュワルツが述べたことなのですが、標準模型について物理学
者がもたらした驚くべき成果には、実は、マイケル・アティヤとイサドール・シン
ガーが発表した「指数定理」に由来するものがあるということです。実はこの定理
は、20世紀の数学におけるきわめて重要な定理なのですが、私には初耳でしたし、
指数という概念も、さらにはアティヤやシンガーという名前も聞いたことがありま
せんでした。
ここでお話ししておかなければならないのは、17世紀、18世紀、それに19世紀の
大半でさえ、数学者は同時に物理学者でもあるのが普通だったのに、ところが20
世紀になると、数学と物理学という2 つの学問は別々の道を歩むようになったよ
うです。その原因は、数学の分野における数々の進歩により、物理学との距離が離
れていったからだと思われます。しかしそれ以外にも、1930年頃から、物理学の研
私が大学院で物理学を研究していた当時は、最先端の数学と物理学の間にあまり
交流がない時期でした。まわりの他の物理学専攻の大学院生と同じく、私も当代の
数学の問題に取り組まんとする者が知っておきたいたぐいのことなどは学んでいま
せんでした。私はアティヤ・シンガーの指数定理や、その他の多くのことをコール
マンの話から知ったのですが、そうしたことをそれまで全く聞いたこともなかった
というのは、当時大学院で物理学を学ぶ者であればごく当然のことであったので
す。
- 105 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:42:32.35 .net
- 1994年、私はネイサン・サイバーグと共同で、数学者からも物理学者からもサ
イバーグ・ウィッテン理論と呼ばれる理論を発表しました。ただし、この名前の持
つ意味合いは、数学者と物理学者で異なります。この点については少し詳しくお話
ししようと思います。と言いますのも、それによって、物理学者と数学者のものの
見方が今も違うことがわかるからです。
物理学者にとってこの理論は、量子効果が大きい場合に、特定の場の量子論がど
のような振る舞いを示すかを理解するための新しい方法です。
研究を行う場合の秘訣とは、解くことができる程度には明快であり、しかも解く
ことに価値がある程度には興味深い問題を見つけることです。サイバーグと私も、
場の量子理論という、解くことができる程度には明快であり、しかも解くことで有
益な教訓が得られる程度に込み入った問題を見つけることができました。特に私
は、サイバーグ・ウィッテン理論によって、学生の頃の夢だったクォークの閉じ込
めの理解に、少し貢献することができたのです。考えてみれば、初めてこの問題に
取り組んだあの頃の私なら、こうした貢献などとても手の届くものではなかったで
しょう。すでにお話ししたことですが、研究に関するもう1 つの秘訣とは、ある時
点で自分が成し得るかもしれないことについて、あまり先入観を抱くべきではない
ということです。
サイバーグとの共同研究は、4 次元空間の研究に数学的に関係する部分もありま
した。それを、数学者は一般にサイバーグ・ウィッテン理論と呼びます。実は、こ
のことからある興味深い事実が明らかになります。それは、私が研究生活を始めて
から現在に至るまでの間に、数学と物理学の距離が非常に近くなった部分もあれ
ば、依然として大きく離れている部分もあるということです。この2 つの学問は、
目指すゴールも頼りにするツールも全く異なります。数学者は、いわゆるサイバー
グ・ウィッテン方程式を（他のツールと共に）用いて、幾何学上の素晴らしい発見を
してきましたが、サイバーグ・ウィッテン理論の量子論としての側面に着目するこ
とは、通常ありません。
- 106 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:44:02.73 .net
- s
- 107 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:44:14.97 .net
- d
- 108 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:44:25.13 .net
- 修論 AGT予想の漸化式を用いた証明と一般化されたJack多項式による証明 大久保勇輔 名大 多元数理 2013
(抜粋)
概要
本論文は２次元共形場理論の相関関数と４次元ゲージ理論の分配関数が一致する
というAGT 予想に関するサーベイ論文である.
1 序文
2009 年, Alday-Gaiotto-立川によって４次元N = 2 超対称SU(2) ゲージ理論のインスタ
ントン分配関数と, ２次元共形場理論の共形ブロックが一致するという驚くべき関係（AGT
予想）が, 素粒子物理学の超弦理論による立場から発見された[2].
ゲージ理論は長い歴史を持ち, 数学者や物理学者によって精力的に研究された魅力的な
理論である. この理論の分配関数を一般に計算することは困難であるが, 簡単化して計算
できるようにしたインスタントン分配関数は, 2004 年にNekrasov によって明示的な公式
（Nekrasov 公式）が与えられている[26].
共形場理論は1984 年に, Belavin-Polyakov-Zamolodchikov（BPZ）の３人によってその
基礎がほぼ完成され, 強磁性体をモデル化した２次元Ising 模型の臨界現象などを記述し
た[9].
BPZ の行った研究は, プライマリー場が特殊な共形次元を持つときに限定して行
われたもので, 相関関数を一般的な形で調べることはされていなかった. また相関関数の
満たす微分方程式を導いても, その解を綺麗に表すことは難しい. 実はプライマリー場の
相関関数を少し変形したものが共形ブロックであるのだが, このような共形場理論の立場
からみると, Nekrasov 公式と共形ブロックの一致を述べたAGT 予想の研究は, プライマ
リー場の相関関数に一般的な公式を与えられるという期待の下に行われている.
リウヴィル場理論は、共形場理論で、ワイル対称性（英語版） (Weyl symmetry) を特別な方法で体現している
この理論の中心電荷 c {\displaystyle c} c 作用の中に現れるパラメータの項で与えられる。
リウヴィル理論は、経路積分のアプローチの中で理論の非臨界バージョンを定式化しようとするときに
弦理論の脈絡では、ボゾンの自由場と結合している場合は、リウヴィル理論は、2次元空間（時空）の
記述する理論と考えることができる。
- 109 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:45:06.57 .net
- > 乱数やランダム現象を利用して、箱に数を入れていくとする
> それが、その箱を開けずに他の箱の情報で、確率99/100で当たる？？
> それは、正にタテとホコ！（矛盾だ）
このような意見を持つということはスレ主は時枝問題に関しては(スレ主自身が区別すべきと言った)
可能無限と実無限の区別をあいまいにしているということを示している
>>37より
> スレ主の引用では
> 可能無限では『ｎという自然数を無限に大きくして行く』という意味さ。これを『ｎを無限大に近づける』
> と読んではいけないし、『ｎを無限大にする』と読んでもいけない
> ｎをいくら大きくしても、ｎは無限大にはまったく近づかない。ｎと∞の間には、決して埋めることのできない
> 概念上の大きな隔たりがあるからさ。この隔たりを埋める作業は、拡張と呼ばれている論理の飛躍だけだ
> ｎはどこまで大きくしても自然数であって、無限大という名前の非自然数には変化しないのね。
>
> (2)有限の極限として間接に扱う
> を上の引用の言葉を使って書き換えると可能無限と実無限の間には埋めることのできない概念上の大きな隔たり
> があるから実無限を上限のない有限(つまり可能無限)の極限として間接的に扱うということになる
> よって時枝記事に出てくる数列に対しての極限は上の引用とは逆に「nを無限大にする」と読まなければいけない
スレ主はおそらく実無限に対しての極限でも実無限に向かって「ｎという自然数を無限に大きくして行く」という考え方を
しているはずでこれは「可能無限と実無限の間には埋めることのできない概念上の大きな隔たりがある」
ことを全く無視していることになる
> 勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた
という時枝の言葉は「可能無限と実無限の間の隔たり」を無視しているスレ主にもあてはまる
- 110 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:46:21.22 .net
- 『ガロアを読む』にあるガロア自身による証明を何度も読んでたら気がついた。
ガロアは、有理数体上の多項式環の商環、
Q[X]/(g(X))
と同型写像と、ほとんど同じことを頭の中ではイメージしてたのではないか。倉田先生は、このことを認めないから、
不自然な証明を書いて、変なことを言ってるのではないのか。
数の環と多項式環の類似、代数体と関数体の類似、良い発想だが
各々違いがあるみたい（下記 斎藤 毅先生 ）
だいたい、関数体とか多項式環の方が易しいと言われている
倉田先生先生のガロア理論の記述も、多項式環だけでは完全ではないように思う
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/j-index.html
斎藤 毅のホームページ
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd.html
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/i1.pdf
「数学の現在」 全三巻 はじめに， 「リーマン予想からエタール・コホモロジーへ」i巻第1講 東京大学出版会
河東泰之、小林俊行と共編
2. 代数体と関数体の類似
古典的な代数的整数論は，代数体とよばれる有理数体の有限次拡大の理論
です．有限体上の1 変数有理関数体の有限次拡大は，有限体上の1 変数関数
体とよばれますが，このような体と代数体はとてもよく似ています．これを
代数体と関数体の類似といいます．数学ではこのようによく似たものをみつ
けてその類似を調べることで，両方のものがもっとわかるようになることが
よくあります．
選択公理に拘っているが、そこは本質じゃない
本質は、決定番号の確率分布が、すその超重い分布なるということ。つまり、数列の長さを有限にしたミニモデルで、
決定番号の確率分布を考えることができるよ。
そこから考察していけば分かる。その話は過去にも書いた。まあ、貴方たちは理解できなかったらしいから、
また時間があるときに書こう
- 111 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:47:41.48 .net
- 歴史的研究は問題を提供し、それに対していろいろな手法が採用可能だ。私の関心は代数トポロジーの歴史を含み、
代数トポロジーの発展は20世紀の間、その数学に大きく影響した。
第二次大戦に続く年々が、この物語の頂点を表現し、ブルバキの多くの重要なメンバーが発展に貢献した。
しかし、代数トポロジーはElementsが扱うトピックの中に出現していない(一般的に認識されているように、他の多くの
重要なトピックとともに)。私が大学院生だった間、カルタン、Koszul、Eilenberg、シュヴァレーによって代数トポロジーを扱った
200ページ長の原稿がElementsのために用意されていたという噂を聞いた。
私が聞いた話によれば、ジャン・ピエール・セール(1926? )とArmand Borel(1923?2003)の学位論文が刊行された時に、その原稿は
破棄された。セールとBorelの次の論文は焦点をトポロジーに変え、微分幾何学的手法から離れ、より代数的手法、すなわち主として
スペクトル列とSteenrod代数に移したので、原稿は陳腐化した。
私の疑問: それでは、この原稿の中は何だったのか。私が閲覧出来るのだろうか? 歴史家はキーとなる出来事の前後の状況を
見ることに垂涎する。
さて、その原稿は実際に存在するなら、そこには無かった。しかし、私が出来た保管作業はブルバキの働きと精神に多くの洞察を
与えたから、この報告でいくつかの発見を詳しく詳述しよう。私の物語を展開しながら、ブルバキ前後の公理的手法(彼等の解説の
特徴の一つが批判を受けて来た)の魅力を考えたい。
このプロジェクトの定めは、ブルバキ又はたぶんElements de mathematique(現代数学の基礎概念の影響力のある解説書のシリーズ)の著者
である登場人物ニコラ・ブルバキの物語だろう。
この講演は、フランスのあらゆる研究に資金を提供するヴァッサー大学のGabriel Snyder Beck基金に援助されているプロジェクトに基づく。
2000年の始めにOberwolfachでの会議で、ブルバキの論文と内部資料の公文書館がパリで間もなく開かれると聞き、Beck基金は私がその
公文書館に訪問出来るよう資金を出した。この公文書館の管理者Liliane BeaulieuとChristian Houzelは、2003年7月の私のパリ訪問期間中、
親切に歓待し、私がブルバキ論文の中をかき回すことを許してくれた。
- 112 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:48:30.86 .net
- パリでの会合はアンドレ・ヴェイユによって10.XII.1934と呼ばれた。ヴェイユは当時アンリ・カルタンとともにストラスブール大学の教員だった。
数学免許のための3つの標準コース(一般物理学と標準力学と並んで)の一つ、微積分コースに彼等は責任があった。
標準テキストは第一次大戦前に書かれたエドゥアルド・グルサ(1858?1936)によるCours d'Analyse mathematiqueだった。カルタンはそれを
一般論を欠き、不完全だと思った。明確な例(それ自体も物語を持つ)はストークスの定理の体系化である。それは以下のように書かれる。
∫∂Xω＝∫Xdω
ここでωは微分形式、dωは外微分、Xは積分領域、∂XはXの境界である。
目前のすべてが滑らかな時には証明は明らかだが、積分領域がもっと一般的な場合、この公式の重要性はGeorges
有名な定理(1931年に証明され、そのような多様体のトポロジーにリー群上の不変積分を関連付けるというエリ・カルタンの問題を
解決した)の内容である。
カルタンのしつこいねだりはヴェイユに自分達が満足するテキストを書こうという案を出させた。ヴェイユはカルタンに"何故僕等が
集結して、そのような問題をきっぱり解決しないのか。そうすれば、もう君は僕を質問攻めで困らせないだろう"と言ったと書いている。
パリでの本を書くための計画を立てる最初の会合はジュリア・セミナーの会合の後だった。
ジュリア・セミナーは、アンドレ・ヴェイユの言葉で言えば、フランス人数学者の
フランス数学の断層を埋めるためのヴェイユとカルタンのもう一つの試みだった。
セミナーはこれらの急進分子によりドイツでのセミナーを真似て組織されたが、ソルボンヌでの教室を得るためにスポンサーを必要とした。
ガストン・ジュリア(1893?1978)はエコール・ノルマル・シュペリウールで彼等の最も若い先生で、進んで彼等のスポンサーとなった。
セミナーはー年に一トピックスをテーマとし、1933-34年に群と代数で始まり、そしてヒルベルト空間、トポロジーへと進んだ。セミナーは1
939年まで続いたが、ブルバキ・セミナーに取って変わられた。
- 113 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:49:57.90 .net
- r= (s1-r1，s2-r2，s3-r3 ，・・・，sn-1-r n-1 )として、数列の長さLを、n-1と考えることも可能
７．ここで、極限を考える。n→∞だ。d = d(s) = nだった
lim (n→∞)d で、d→∞。そして、極限を考えても、同値s ～ r は不変だ
任意の実数列S に対し，同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)」を、r =（=r(s)）= (r1，r2，r3 ，・・・，r n-1, r n)と表現しよう
同値の定義より、sn=r n だ。そして
「sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す」も、そのままでいい。とすると、決定番号
d = d(s)=nとなることに注意をうながしておく
最初のブルバキ会議はヴォージュ山脈にあるベス・アン・シャンデスで開かれた。このワークショップで、解析学をサポートするであろう
抽象的(新しく現代的な)概念を扱う抽象パッケージを加えるプロジェクトを発展させる提案があった。
これらは抽象的集合論、代数、特に微分形式、トポロジーを含み、存在定理は特に重視された(Leray)。
そのパッケージは結局、有能な数学者が欲しい結果の場所を見つけられ、必要なら結果自体を与えられるように編成された役立つ結果の
要約巻となった。もっとはっきり言えば、最後の刊行、第36巻、微分多様体と解析多様体の2部はそんな要約だ。ストークスの定理の記述が
あるのはここである。
最初の会議中に、位相空間に関する測度の新しい結果が証明され、ノートは書き上げられ、説明会に提出された。
グループのブルバキという名前は学校の物語から来た。1923年、デルサルト、カルタン、ヴェイユはエコール・ノルマル・シュペリウールで
新入学クラスにいた。
その時に、彼等はかすかにスカンジナビア人の名前の教授から講義紹介を受け、講義受講を強く勧められた。その話し手は悪戯者の
Raoul Hussonだが、偽髭を付けはっきりしないアクセントで話した。
古典的函数論から始まって、話は聴衆に"ものも言えない素晴らしい"と言ってから、ブルバキの定理でクライマックスを迎えた(この
ブルバキはナポレオンに帯同した将軍)。ヴェイユはこの話を思い出し、その名前が採択された。だが、何故ニコラなのか。論文の提出
に対して著者はファーストネームを必要とした。
- 114 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:50:55.43 .net
- ブルバキが採用した編集方法は、共同参加を維持する願いから発展した。テキストは会合の前に持込まれ、1ページ毎、1行毎にグループに発表され、
グループは何かを言うが、全く批判だった。
改訂はグループのもう一人のメンバーに渡され、新しい草稿が出来た時に、そのプロセスは繰り返された。満場一致が十分な回数を重ねた後に、
テキストの厳密さ、又はトピックに関してグループの疲労困憊のどちらかのために、
テキストはまとめられ(通常、デュドネによって)、出版者に送られた。
余話: 公理的手法
見習い期間中、ヴェイユは多方面に旅行したが、国家社会主義が台頭した間、主にドイツで過ごした。彼は数論に関心を持っていたので、
ドイツ学派の数学、特にダヴィド・ヒルベルト(1862?1943)とゲッティンゲン学派によって率いられた公理的アプローチを敬っていた。
19世紀から20世紀までフランス数学は解析学が有力だった。数論的性質の結果でさえ、解析的手法を通して証明された。多くの分野で
ヒルベルトのアイデアは他の所の数学者を惹き付け、ブルバキのメンバーが彼等のプロジェクトを形成するモデルを求めた時に
公理的手法に向かった。
この現象は先例があった。E.H. Moore(1862?1932)が1900年頃シカゴ大学数学部門を率いるために来た時、彼はヒルベルトの幾何学の
基礎のスタイルを現代的で厳密かつ真似るべき手本として意識的に採用した。
シカゴの初期の教え子の内でも(オズワルド・ヴェブレン(1880?1960)、Frederick Owens、R.L. Moore(1882?1974))、彼等の学位論文が
幾何学の基礎、公理体系、ヒルベルトの達成した記述の節約に関したものだと分かる。
この、いくつかの研究の目標は幾何学を記述する公理系を縮小(冗長を見つけ出し、ユークリッドの恵みに達成すると思う必要最小の
ものを示すこと)することだった。しかし、これらの目標は、賞賛に値するけれども、公理的手法の深刻さを使い果たさない。
受けていれば、極限の順序の交換に慎重になるはず。
この場合「有限数列を無限数列にする極限」と「無限数列列の極限」の交換。
交換できることを示さず、交換しているのはスレ主がスレ主が極限を分かって無いことの明らかな証拠。
- 115 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:52:03.87 .net
- y
- 116 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:52:13.37 .net
- d
- 117 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:52:21.97 .net
- ヒルベルトの試みの哲学的及び基本的方面ははっきりしている。
しかし、数学的方面は基礎の大部分の議論の中心ではない。独立した研究のうちでも、彼は新しいオブジェクトを導入して来た―特に
、非アルキメデス幾何学。
公理群の中の関係を離すことによって、一つ又はそれより多くの仮定の失敗がどのようにして新しい結果を生むか人は発見する
の活気性のモデルが非ユークリッド幾何学だ。彼の代数と数論での経験も、公理的手法が、新しい議論を作り、新しい事象を発見し、
おまけに過去を整然とした形で保持出来る手段を高めるという見解を立証した。
ブルバキにとって重要なもう一つのゲッティンゲンの成果も同じ考え方だ。B.L. ファン・デル・ヴェルデン(1903?1996)による現代代数学が1
930年に出現し、ある結果へのアプローチでの類似性を示す公理に基づいた代数学の系統だった解説を与えた。同型写像の概念は
代数学の中で重要な役割を果たし、後にブルバキの中心思想として浮上する。
実のところヒルベルトとファン・デル・ヴェルデンは、過去(理論の完璧な記述を取り戻すこと、が正式な表明となっているけれども)が
目的ではなく、前向き(多くの新しい結果を構築出来るスリムな足場を読者に与えること)な数学的目標を求めたと理解することが重要である。
この意見が現代数学のなされた来た方法の一部となった度合いを、私達がこの種のプレゼンテーションに対して持つ自然な感触に
よって測ることが出来る。いつもそうだとは限らなかった。
基礎はすぐに成功し、Henri Poincare(1858?1912)から次のような反応を引出した。
"論理的見地だけがヒルベルト教授の興味を掻き立てるらしい。命題の列があれば、彼は先ず第一にteh[訳注:英語の定冠詞theが
よくtehと書き間違い易いことを例にして皮肉っているのです]から論理的にすべてが成立すると分かっている。
この最初の命題とその心理的起源に彼は関心を持たない....公理は自明のことと仮定されている。それらがどこから来ているのか
私達は分からない。それはAをCと仮定するように安易だ....彼の研究は従って不完全だが、これは彼に対する批判ではない。
不完全なものは必ずや諦めて不完全を甘受するはずである。彼は数学哲学を一歩前進させたことで十分である
- 118 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:53:13.16 .net
- 実のところヒルベルトとファン・デル・ヴェルデンは、過去(理論の完璧な記述を取り戻すこと、が正式な表明となっているけれども)が
目的ではなく、前向き(多くの新しい結果を構築出来るスリムな足場を読者に与えること)な数学的目標を求めたと理解することが重要である。
この意見が現代数学のなされた来た方法の一部となった度合いを、私達がこの種のプレゼンテーションに対して持つ自然な感触に
よって測ることが出来る。いつもそうだとは限らなかった。
ブルバキでの代数トポロジー
現代的で厳密な万能テキストを造る目標は最もブルバキの特徴的な美点となった。"本質的要点に行き、数学をもっと包括的で概念的な
方法で再編するために数学を消化 [Borel]"しようと、トピックは何度も議論された。
この目標を達成しようとセッションは活発だった。戦後にもかかわらず、La Tribu[訳注:"連中"という意味ですが、これはブルバキの隠語で、
ブルバキ会議の報告書のことです]の中に、カルタンとデュドネの間に古典的と考えられる論争の再現の記録がある。
彼等の作業方法と明快な目標とともに、"是認されたものは何であれ作者へのクレジット無しに統合された。概して言えば、本当に無私、
匿名で、基礎数学の出来る限りベストな解説を与えようと奮闘している人達による要求の厳しい仕事は、彼等の信念によって一貫性と
極度な簡素性に近づいた [Borel]"。
トピックの最初期のリストは1935年の夏会議から始まる
トポロジーの議題がリストに登場し、1935年の春には、トポロジーの記述を含む予想されるテキストの議論があった。古典的教科書として
Kerekjarto、Seifert、ThrelfallによるものとKuratowskiによるものが言及された(フランス語では皆無)。
デルサルト編集によるJournal de Bourbaki(後にLa Tribuとなった)の創刊号には、新刊本のAlexandroffとHopfのTopologie Iをヴェイユが
読んでいることが報告された。このTopologie Iは彼等の記述が誤らないようにさせるものとして期待された。
トポロジー部門を書いているチーム(ヴェイユ、ド・ポッセル、アンリ・カルタン)は1936年に、読み上げている(ヴェイユ)、眠っている(ド・ポッセル)、
又は何も書かずに考えている(カルタン)と報告されている。
- 119 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:53:51.52 .net
- >このとき、すべての自然数nについて、s_nはs_1の同値類に属すのは明らか。
>では、lim[n→∞]s_n はs_1の同値類に属すか？
問題追加
lim[n→∞]s_n はどんな数列か？
つづき
報告書の中で、最初期の"代数トポロジー"への論及は、位相群での双対の議論に言及するための用語として使用しており、
後の議論では"位相的代数"となった。
1930年代には組合せトポロジーの要点がブルバキ内部でも議論された。既に1935年の夏カンファレンスで、ヴェイユによる
アウトラインは組合せ的トピックの中でも次元、交わり、繋ぎ、不動点の指数を持つ写像度を含んでいる。
基本群(ポアンカレ群)と被覆面も含んでいた。1938年までに、ヴェイユは写像度と組合せトポロジーについての報告を書いた。
1937年までに目標日とともに第1巻の計画がった。
すなわち、1.I.1938までに第1巻の完成だ。集合論、代数、集合論的トポロジー、抽象積分のトピックを含むため抽象パッケージは
大きくなってしまった。
いやそれどころか、数学者のためのツールボックスを書く目標を維持して、最初の刊行はテキスト本ではなく、集合論に関する結果
の一覧(証明の無い定理公式の巻)だった。解析学への行程に始まって、集合論が将来の巻に対する基礎を担うことで意見が一致した。
将来の巻の計画は1940年までJournal de Bourbaki(その年にLa Tribuに変わった)で議論された。
La Tribuの時までに、構造の概念の使用はプロジェクトを公にする理論付けを支配した。後にLe LionnaisのLes grands courants de
la pensee mathematique[訳注:"数学的思考の主な傾向"]のブルバキ項目で書かれたように、最も簡単で多くの数学的活動で
共有される"母なる構造"があった。
これ以上に、いくつかの母なる構造をブレンドする"多重構造"が存在することを知る。例えば、位相群は連続性を持つ群構造を
ブレンドし、一方で代数構造とともに順序構造はイデアルと整域の研究の要因となっている。
- 120 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:54:55.56 .net
- 構造の階層に基いて、Elements de mathematiqueは分割された。パートⅠは解析の基本構造を、パートⅡは線型解析を、
パートⅢは代数的解析(楕円関数、数論)を、パートⅣは微分トポロジーを扱った。この計画では代数トポロジー(すなわち、
組合せトポロジー)がパートⅠにあるのが分かる。
この計画において代数トポロジーの進行は殆ど無い。10?15.IV.1944のLa TribuNo. 10に"パリで1944年4月6日から8日まで
開かれた最近のブルバキ会議は、それでも重要な前進をした。編集者が長らく望んでいた、代数トポロジーの始まりだ"と報告されている。
しかし、その時の議題のコアな記述は、a) 曲線のメンガー理論、グラフ、ペアノ連続体、連続体は含むべきでない、b) ノット
についての一章、c) 高次ホモトピー群とファイバー空間、それらは興味を駆り立てるし、将来性もあるようであるが、現時点
では"幼虫"の状態である、と書かれていた。
このトピックの展開は戦争中、フランスではEhresmann、カルタン、ルレイ、米国ではスティンロッド、ホイットニー、スイスでは
Hopf、Eckmannの研究で占められた。
La TribuはパートⅠのトピックの依存関係の図を含み、再度代数トポロジーが基礎の近くに位置している。
1949年までにアイレンバーグとヴェイユによるファイバー空間のトポロジーの重要方面を取上げている82ページのドキュメント、
Rapport SEAW sur la topologie prehomologique[訳注:"プレホモロジー的トポロジーに関する緊急報告"]があった。
この細かく書かれたレポートはいくつかの新しいアイデアを含み、ファイバー空間の点集合の概念を発展させた。例えば、
彼等は空間の表皮(こうしてはいけないことがあろうか、と補足説明付きで)を定義した。この"皮"は良好な拡張概念を持つ空間被覆である。
馴染みのあるトピックを取上げているリストは1950年の総計画である。
パートⅡは可換代数を、パートⅢは代数トポロジーとその応用を、パートⅣは関数解析を扱った。
新しいトピック、幾何的トポロジーは被覆、ファイバー空間、ホモトピー、多面体、レトラクト、基本群のようなトピックを取上げるために
セールによって名付けられた。この術語は文献に載ったが、それを嘲り別の術語を考案したブルバキにはしっくり来なかった。
- 121 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:56:16.86 .net
- 代数トポロジーのテキストの出版にも影響を与える、もう一つの企てがこの時くらいに生まれた。1948/49年にア
ンリ・カルタンセミナーがパリで始まった。カルタンは1948年にちょうどハーバードから帰って、後に層となる
位相的概念について喋った。
はスペクトル列、層、群のホモロジー、アイレンバーグ-マクレーン空間となった。これらの講義の解説のレベルは、
ブルバキの期待と合致し、講義の多くは当時のブルバキのメンバーによって行われた。
Elements de mathematiqueの最初期計画における代数トポロジーの議論と、ブルバキの予想読者のための基本的
ツールでの実現は、そのトピックがグループにとってどういう位置かを明確にしている。
しかし、その分野の発展が戦後急激だったので、出版物の基準としてブルバキが課した方法(すなわち、本質的概念は
同一化され、公理的基礎は主要定理が最初の原理からスムーズに証明されるように表現されていること)とは一致しなかったであろう。
ホモロジー代数の傍系的な発展は代数トポロジーに一ツールを与え、最終的にブルバキに取上げられたが、つい最近
の時だ(1980年)。この発展の一部がブルバキ自身のメンバー、カルタン、アイレンバーグ、セール、Borelやその他の
人によって実現されたことは重要であり、ブルバキの他の貢献と同じ形で取上げるには余りにも新しかった。
ブルバキの出版物は読み易くない。その厳格なスタイルは、彼等の仕事に正確厳密に表現されている統一数学の
一枚岩的見解と結びついている。道標であり且つ目標として"構造"という哲学的枠組みは際立った仕事の説明に役立つ。
しかし、保管庫の記録は別のストーリーを物語る。厳格さは集団的検閲の結果だ。ドキュメントの経過は最初の発表から
最終的出版まで、一流の数学者の意見交換によって薬味が加えられ、驚くべき基準に則り、殆ど混沌だった。
一つの企ての観点から、ブルバキのElementsは、好結果を生むと
一つの企ての観点から、ブルバキのElementsは、好結果を生むと考えられた手法(公理的手法)に基いて、有能な数学者の
集まり(作品上では個人は匿名によって埋没されるが、そのプロセスが巻き込む活発性により埋め合わされている)による
数学的文化の再構築の試みとして際立っている。
- 122 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:57:16.39 .net
- 私は学生の時、独語を習っていなかったので、虎の巻として英語版か仏語版を使いながら独語原書を読んだことがありました。
すぐ独語に馴染めました。
では何故、私のみならず多くの人が原書を重視するかと言いますと、翻訳はどうしてもミスプリントやマイナーエラーが混入される
私は原書しか読まないのですが、翻訳のいい加減さを実感した実例があります。私は学生時代、函数論を故小平邦彦博士の名著"
複素解析"を読んで勉強しました(この場合、原書が日本語ですから問題ありません)。
ずっと後に、今から約5年ほど前、この本が英訳版"Complex Analysis"としてケンブリッジ大学出版から刊行されましたが、当時ケンブリッジ
にいた知人がこの本を購入して読んだのですが、どうも変だと感じ、私が日本語原書で勉強したことを知っている知人はわざわざ立派な
ハードカバーの英訳本を私に送り、原書と比べてくれないかと言って来ました。
そして英訳本を読んで私はショックを受けました。数学論文や専門書に書かれる文章は何語であろうが言い回しが殆ど決まっていますから、
英文自体に特に問題は無くて、説明文や証明の中にある数式や記号に非常に間違いが多かったのです。
例えば、極限を取る際の0と∞の混同、τとtの混同、不等号における等号成立の混同、不等号の向きの混同、2とzの混同、
曲線の記号と複素数体の記号の混同、その他もろもろ多数。一見して単純ミスと分かる場合はいいですが、そのまま意味が通じる時もあります。
これでは海外の初心者は安心して読めないし、もしかして"I don't think much of Kodaira."[小平は大したことないな]と思って
いるかも知れません。これらは結局翻訳者の原書からの書き写し間違いが原因です。遅くともゲラ刷りの段階でしっかり校正し
ていれば防げたはずです。
小平博士の本を翻訳することは世界的に見てどれ程の影響力があるかを考えれば、こんないい加減な仕事をしないはずだと私は
思います。そして、英訳本のお粗末さゆえ、結果的に小平博士の名誉を傷つけたことは翻訳者に大いなる罪があります。
知人には私の作った訂正一覧と証拠品として日本語原書を送りましたが、その返事には御礼とともにケンブリッジ大出版に
交渉すると書いてありましたが、その後改訂されたとは聞いていません。
- 123 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:58:53.17 .net
- t
- 124 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:59:03.73 .net
- c
- 125 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 00:59:13.11 .net
- ちくま学芸文庫から『ブルバキ数学史』が出ているのを今日本屋で発見して、「おお」とのけぞった。この『数学史』に限らず、ブルバキ
とおれとは浅からぬ付合いが
あるだけに、なかなかに感慨深い。
「ブルバキ」というのは、50歳定年制を布く数学者グループで、そのメンバにアンドレ・ヴェイユ（かのシモーヌのお兄さん）、
ジャン・デュウドネ、アレクサンドル・グロタンディークといった、一癖も二癖もあるような連中が含まれる。
その記述スタイルは「公理、命題、証明」というセリーがひたすら続き、例などの提示はほとんどないという「味気ない」をまさに
具体化したようなもの。初学者にやさしくないことこの上ない（ブルバキもその『数学原論』第一巻で「初学者向けではない」と自ら
宣言していたように記憶する）。
ただ、その一貫性、簡潔さ、そして一般性は他の追随を許すものではなく、いきおいそこにある種の凛とした美しさを感じることになる。
おれもそういう美しさにやられた口で、学部生のころは明倫館で何十冊にもなる『原論』をちょぼちょぼ買い集めてはページを繰り、定理
の証明を書き下したりして愉しんでいた。
さらには、そういうふうに「一人で愉しんでいる」のみならず、ブルバキネタで卒論まで書こうとかなり真剣に思いもしたが、それは何が
何ぼでもやりすぎだ、ということで見送った。
ただ、今となってみれば全然オッケーだったような気もする（おれがいたところはバリバリ文科系にもかかわらず、少なくとも学生に
友だちが集まっては数学の問題を出しっこして解いたりしたものだった）。
今日見かけた『数学史』は、各『原論』に載っていた「歴史的覚書」をコンパイルしたもので、単なる「歴史的事実の寄せ集め」というもの
ではなく、「数学的概念の発展史」とも言うべきもので、序に「大学一年程度の数学知識で読める」とは書いてあるものの、ちゃんと読もう
とするとかなり手ごわい。
手ごわいがちゃんと読めば、ある数学的概念が、いつごろ萌芽として潜在的に発生し、それがいつごろ顕在化したのか、という生態がと
てもよく分かり面白い。集合・論理や微積分など、高校で既習済みのところなんかは比較的読みやすいので、そういう分かりそうなとこ
ろを拾い読みするだけでもパースペクティヴが拡がると思う。
- 126 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:00:36.12 .net
- evvt
- 127 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:00:55.67 .net
- xz
bvt
- 128 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:01:07.12 .net
- ブルバキの旗印は「構造」であり、「形式論的経験主義」だといわれている。そしてこの「構造主義」は、当時の哲学と密接に関係し、
その影響下にあったといわれる。
「構造主義」とは、狭義には1960年代に登場して発展していった20世紀の現代思想のひとつであり、広義には、現代思想から
拡張されて、あらゆる現象に対して、その現象に潜在する構造を抽出し、その構造によって現象を理解し、場合によっては
制御するための方法論を指す言葉である。
構造とはその要素間の関係性を示すものである。今日では、方法論として普及・定着し、数学、言語学、精神分析学、
文芸批評、生物学、文化人類学などの分野で構造主義が応用されている。
数学において、ブルバキというグループが公理主義的な数学の体系化を進めているが、その中心人物であるアンドレ・
ヴェイユは言語学者エミール・バンヴェニストからの影響を認めている。
文化人類学において婚姻体系の「構造」を数学の群論で説明した。群論は代数学（抽象代数学）の一分野で、
クロード・レヴィ＝ストロースによるムルンギン族の婚姻体系の研究を聞いたアンドレ・ヴェイユが群論を活用して体系を解明した話は有名である。
現代思想としての構造主義は原則として要素還元主義を批判し、関係論的構造理解が特徴である。ロラン・バルト
（文芸批評）、ジュリア・クリステヴァ（文芸批評、言語学）、ジャック・ラカン（精神分析）、ミシェル・フーコー（哲学）、
ルイ・アルチュセール（構造主義的マルクス主義社会学）など人文系の諸分野でその発想を受け継ぐ者が多い。
ユングのアーキタイバル・イメージ（元型）を手がかりとしたアプローチも構造主義といえる。
今日見かけた『数学史』は、各『原論』に載っていた「歴史的覚書」をコンパイルしたもので、単なる「歴史的事実の寄せ集め」と
いうものではなく、「数学的概念の発展史」とも言うべきもので、序に「大学一年程度の数学知識で読める」とは書いてあるものの、ち
ゃんと読もうとするとかなり手ごわい。
という生態がとてもよく分かり面白い。集合・論理や微積分など、高校で既習済みのところなんかは比較的読みやすいので、
そういう分かりそうなところを拾い読みするだけでもパースペクティヴが拡がると思う。
- 129 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:02:05.26 .net
- いずれにせよ文化科学や社会科学においてそれぞれの歴史学が存在する（政治史、経済史、哲学史などなど）が、数学や自然科学には
歴史という見方が稀薄である。これには自然科学は
実学で現在でも立派に通用しているから、歴史的にしか存在しないものは乗越えられたという見方からきているようだ。
古代ギリシャの論証体系の確立に始まり、近代には記号論的演算力の切れ味が応用され、17世紀には科学革命の推進力となった。
今日では圧倒的な数理科学にまで成長した。この数学の驚異的発展の恩恵は測り知れない。
ところが数学の発展はいつも実学の要求に応じて開発されたものかというと、全くそうではない。20世紀においても数学は
理論数理物理学の欠かせない手段となったが、それが物理学が利用したまでの事であって、数学は自律的抽象化の道を歩んだにすぎない。
数学者の関心の的が「時代の子」として物理学に注がれることは事実だが、別にその請負仕事ではなかった。数学の歴史
には20世紀を分かれ目として、19世紀的な輝かしい具体的数学と、20世紀的現代抽象数学がある。ブルバキは当然現
代抽象数学の先端を行くものであろう。
ブルバキは論理の形式化、数学における真理の概念、対象、モデル・構造、集合論、集合論の逆理と基礎の危機、超数学と論を進める。
ギリシャの論証法から、ルネッサンスから近世を経て、非ユークリッド幾何学、ヒルベルトの「幾何学基礎論」に到流れのなかで、
数学的真理が経験の即しつつ形式化されてゆく過程を示している。数学構造論としては一番集合論が似合う。
ブルバキは論理の無矛盾性よりは、より構造的な決定（選択）のほうに重点が置かれている。ブルバキはユークリッドの数学の
特質を次の3つに整理している。
①論理学の形式化を導いたのはいつも数学であった。
②ギリシャ公理論は経験的起源を持つ。
③ギリシャ数学の数学的存在の特質を作図可能性であると云う。
この見解に対して訳者の村田全氏はサボーの見解を引いて、エレア学派の哲学が上位に立つと反論しているが、ここには
その詳細は議論できない。
ユウクリッドの原論以来、自然数（正の整数）という段階的な対象に関する理論が論理と一番なじむが、連続的数は対象として
論理となじまないようである。
- 130 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:03:17.79 .net
- ブルバキは連続を避けているように思われる。数学の真理性とは何だろう。記号論ー形式論理なのだろうか。そしてそれは純粋
に思惟的自律的なものだろうか。
ブルバキはその形式的理論なるものをあくまで現実的実在に対する１個の理論モデルと考え、その理論モデルを全体として理
解し、統一的な数学の存在を認めているようだ。
訳者の村田全氏はこれを「形式論的経験主義」と呼んでいる。数学の真理性が認識の原理の中にあるのか、それとも自然の
中に存在するのか、これは永遠の問いである。
「１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で
研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。
>私達は同じ事をするために動かされている違いない(そして、代数トポロジーに関して何の種類のレポートを今日作ったのかと思う)。
今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、
物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。
場の量子論に数学的基礎を与えることは数理物理学の長年の課題ですが、２次元の共形場の理論では確実な進歩が起きています。
前回の２００６年のICMでフィールズ賞を受賞されたウェンデリン・ウェルナーさんの業績も２次元の共形場の理論に関係するものでした。」
「もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への
移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
物理学の提起する問題は、依然として数学の新しい発展を触発し続けているようです。」
「サイバーグとの共同研究は、4 次元空間の研究に数学的に関係する部分もありま
した。それを、数学者は一般にサイバーグ・ウィッテン理論と呼びます。実は、こ
のことからある興味深い事実が明らかになります。それは、私が研究生活を始めて
から現在に至るまでの間に、数学と物理学の距離が非常に近くなった部分もあれ
ば、依然として大きく離れている部分もあるということです
- 131 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:04:55.36 .net
- フランス人が 他の国民より 巧みな事は何でしょう？ そんな世論調査をしたなら トップ３の答えは 愛､ワイン､ワイニング（泣き言）
かもしれませんが それに加えて もう１つ提案すると 数学です パリ程 数学者の多い街は 世界中どこを捜してもありません
これ程 数学者にちなんだ 名前の街路もありません 統計からすると 数学のノーベル賞とも言われ 40才以下の数学者に与えられる
数学の何が フランス人を そんなに魅惑するのでしょうか？ 数学なんて 抽象的でつまらないとか またはルールと数字を使っての計算
に 過ぎないように思えるでしょう
数学は抽象的かも知れませんが 退屈ではなく 計算が全てでもありません 数学とは論証と証明こそが 数学者の仕事の中核を成し 想
像力 すなわち 我々が最も称賛する能力を使う 真理の追求です
何ヶ月も思考を重ねた上 問題が解け やっと正しい証明が 論証し上がった時の喜び と言ったらありません 偉大なる数学者アンドレ・ヴ
ェイユが この喜びを? 冗談抜きに? 性的快感に例えています 違いは その感覚が何時間も 時には何日も継続するという事です
見返りが大きいのです 数学的真理は この物質世界全体に潜んでいます 我々は それを五感で 感じる事は出来なくとも 数学というレンズ
を通して 見る事が出来ます
では 暫く目を閉じて 身の回りで起きている事を 考えてみて下さい あなたの周りの空気中にある 見えない無数の粒子が 常にあなたの体
に ぶつかってきています それは まったく不規則です それでも 動きの統計的な値は 数理物理学で正確に予測できます では 目を開けて
その粒子の速度の統計に 目を向けてみましょう
この至高の女神を最もうまく 具現化したのがゴルトンボードです この中には 狭いトンネルがあり それを通り
へというように ランダムに落ちていきます 完全に無秩序な混沌とした動きです こんな無秩序な軌道が共に 何を起こすか見てみましょう
の有名な 釣り鐘形のガウス曲線? 誤差の法則? 平均的挙動に対する 偏差を表したものです この曲線は 粒子の速度を
人口統計が年齢分布を表すように 統計で表したもので 最も重要な曲線の１つです これは幾度となく 多くの理論や実験から現れる
普遍的な一大真理として 我々数学者には とても大切なものです
- 132 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:05:41.55 .net
- つづき
5:18
数学者が 我々の世界観を覆したのは これが初めてではありません ２千年以上前 古代ギリシャの時代には そのような事が既に起きていました
当時 世界のほんの一部しか 探検されておらず 地球は無限に広がっている かのようだったでしょう 知恵者のエラストテネスは 数学を使い
僅か２％の誤差という驚く程の正確さで 地球の周長を測ったのです
5:50
もう１つの例は 1673年に ジャン・リシェが カイエンヌでは振り子の動きがパリより 少し遅くなることに気がつきました この観察だけから 数学を
巧妙に使い ニュートンは 地球の両極が ほんの少し平坦なことを 正確に導き出しました その扁平率は0.3%と僅かで 地球全体を実際見た
としても 気がつかない程でしょう
6:25
これらの例が示しているのは 数学が我々に直観の世界を 超えさせてくれ 果てしなく見える地球の 大きさを測定させ 目には見えない原子や
我々が五感で感知できないものを 検知させてくれるということです
この私のトークから 覚えておく事があるとしたなら それは１つ 我々の直観を越えた所にある 知覚では理解し難いものを 数学は探索させて
くれるということです
6:58
皆さんも経験している 現代の例がこれです ネットでの検索です ワールド・ワイド・ウェブ 10億を超えるページ全部 調べ上げたいと思いますか？
それだけの計算能力があればですが データに潜む情報を見出すための 数学モデルがなければ 使い物にならないでしょう
7:19
分かり易い問題で考えてみましょう こう想像して下さい あなたは ある事件を扱っている刑事で １人１人異なった見解を 持った証人が多くい
たとします 誰を最初に事情聴取しますか 合理的に見ても 主要目撃者ですよね こうです 証人７が ある話をするとします
その情報の発信源を 証人７に尋ねると 証人３から聞いたと言うのです その次には 証人３は 証人１が その話の源だと 言うかも知れません
さあ 証人１が主要証人となり その人からの事情聴取を 絶対に最優先したいと思いますよね
でも このグラフから 証人４が主要目撃者だとも 見なされるので 彼の方を先に事情聴取した方が いいかもしれません 大勢の人の口から
彼の名が上がるからです
- 133 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:06:55.88 .net
- 数学者は 世界で最高の仕事です 理由は その応用の幅広さです コミュニケーション理論 情報理論 ゲーム理論 圧縮センシング 機
械学習 グラフ解析 調和解析に加え 確率過程 線形計画 流体シミュレーションもあり それぞれ 様々な産業界で 大いに応用されています
これらを通して 数学は大きな利益をもたらします そして 認めざるを得ないことは 数学を使い富を得る事に関しては
私の数学者としての人生で 最も印象深かった ある日のことを お話ししましょう 最も印象深い夜だったと 言うべきかも知れません 当
時 私はプリンストン高等研究所にいまし
アルベルト・アインシュタインが 何年も研究を続けた場所で 数学の研究には世界で最も聖なる地だと 言っても間違いがありません
その夜 私は 捕らえ所のない証明に 取り組んでいて それは不完全なままでした これは電子の集合体である プラズマの 矛盾する
完璧なプラズマの世界では 我々に馴染みの安定性を作り出す 衝突も摩擦もありません
しかし 少しでもプラズマの平衡が崩れると 電場は 結果として ひとりでに消え去る つまり 減衰することになります まるで何か
この矛盾する現象は 「ランダウ減衰」と呼ばれ プラズマ物理における 最も重要な事象の１つで その存在は数学で証明されました
とはいっても この現象は完全には 数学的に理解されていませんでした
かつての私の教え子であり 主要共同研究者のクレマン・ムーオと共に? その時パリにいたのですが? 何ヶ月もその証明に
取り組んでいました
実は 私は 解けたと勘違いして 公表してしまっていたのですが 実際には その証明は成り立っていなかったのです
百ページ以上の複雑な数学的論理 多くの発見や 膨大な計算にも拘らず うまく行きませんでした
プリンストンでの その夜は 証明を構築する過程の論理が うまく繋がらなく気がどうかなりそうでした エネルギーと経験 そし
てあらゆる手法を 駆使していたのに 何もうまく行きませんでした
夜中の１時 ２時 ３時になっても 同じ状態でした ４時頃になり 落ち込んだまま就寝し その数時間後 目覚め 「子供たちを学校
に連れて行く時間だ」 とその時 何だ これは？ 頭の中で こう言う声が 確かに聞こえたのです 「第２項目を 式の反対側に持っ
て行き フーリエ変換して L2空間で逆変換せよ」
- 134 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:08:23.80 .net
- どう思われますか その時の私の気持ちは？ プライド？ もちろん それに加え これを可能にしてくれた 協力者の方々ヘの感謝の念です
これは人々と共同の冒険だったからです
共同研究者以外の人々とも 共有すべき事なのです
誰でも数学研究のワクワク感を味わえ その陰に潜む人々の情熱的な物語を 共有出来ると信じています
フランスの天才数学者セドリック・ヴィラニさんが5月14日から16日まで、自著『定理が生まれる』日本語版刊行を記念して、
フランス大使館と早川書房の招きで来日しました。
『Theoreme vivant』の邦訳『定理が生まれる』の刊行を記念して、著者のセドリック・ヴィラニさん
を日本に招待しました。
しかし空間非一様の場合の解の存在定理は未だ満足のいくものではな
い。最近やっと古典解の時間局所的存在と平衡解の近傍での大域解の存
在が証明できるようになった。
若き天才数学者セドリック・ヴィラニさんは、航海日誌のようにつづられた著書の中で、フィールズ賞の受賞理由となった定理の誕生
について語っています。10年以上の歳月をかけてボルツマン方程式に取り組んできたヴィラニさんは、もっぱら運動理論と最適輸送問
題を研究しています。
『定理が生まれる』のPRの一環として早川書房が企画した数多くのインタヴュー（5月18日付の日経新聞など）に応えたほか、そのたび
に年齢層の異なる聴衆を前に3回の講演を行いました。
1回目は中高生を対象とした講演で、東京国際フランス学園で行なわれました。「世界がまだダーウィンを知らなかった頃」と題す
る講演を聴いた生徒たちは、複雑な理論を単純明快な言葉で語るヴィラニさんの講演に目を輝かせていました。
2回目は数学を専攻する学生と研究者を対象とした講演で、東京大学の数理科学研究科の招待で同大学駒場キャンパスで行
われました。「リッチ曲率」に関するこの講演には、150人以上の学生や研究者が集まりました。
3回目は数学以外を専攻する学生を対象とした講演で、欧州留学フェアの特別企画として明治大学で行われました。180人
以上の学生が会場に訪れ、サイン会など著者との交流も行われました。
今回の来日でセドリック・ヴィラニさんはまさに数学大使として大活躍しました。
- 135 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:09:24.15 .net
- nnbhby
- 136 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:09:37.80 .net
- bees t
y
- 137 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:09:58.73 .net
- Cedric Villaniの研究の出発点は、L.CarnotとR. Clausiusによる19世紀のエントロピーの導入に戻ります。
当時、エントロピーは漠然とした概念であり、その厳密な定義は、非平衡統計物理学と有名なH関数を導入したL.
Boltzmannの基本的な作業まで待たなければならなかった。
ボルツマンの仕事は、基本的な画期的な進歩であっても、問題を解決しなかった
エントロピーと時間の性質についてこの中心的な問題に関する議論は、今日まで1世紀にわたって続けられた。
J.フォン・ノイマンは、C. Shannonに不確実性関数のためにエントロピーを使用するよう勧告するにあたり、「誰もエ
ントロピーが本当に何であるかを知っているわけではないので、エントロピーは良い名前だ」と断言した。
Villaniの最初の結果は、エントロピーとその散逸の間の基本的な関係についての懸念を報告します。
この作業では、厳密な数学的分析は、強力な分析スキルの表示ではなく、自然に関する深い洞察につながることがわかります。
この作業に基づいて、Villaniは広範な方程式系に適用される一般的な理論である高保磁力を開発しました。
別の方向では、最適な輸送とメートル法空間における曲率の研究の基本的なツールとして、Villaniがエントロピーを使用しました。
最後に、Landanの減衰に関するVillaniの研究について説明します。これは、粒子衝突のないプラズマの電界の
非常に驚異的な減衰（したがって、減衰という単語）を予測し、したがってエントロピーが増加しないことを予測します。
これは、ボルツマンの写真とは対照的に、不可逆性の時間は衝突過程から来ているということです。
Villaniの研究では、マックスウェルとボルツマンの精神において、肉体的な振る舞いに深い洞察を与える厳密な数学的分析だけでなく、
自然現象の研究から生まれた重要な新しい数学も見てきました。 彼の研究論文に加えて、Villaniは広範な調査と書籍を書いている
[48、50、49、51]、そしてこれらを通して、彼の仕事の洞察を深く、豊かで、肉体的に動機づけられた数学的な質問を持つ若い数学者に鼓舞した。
私たちはVillaniの壮大なキャリアの始まりと、分析と数学の方向性を形作ることに目を向けています。
- 138 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:11:33.90 .net
- ボルツマン方程式はL.ボルツマンが1872年に導いた非平衡希薄気体の
運動方程式である．彼の目的は当時定式化が完成した熱力学をニュート
ン力学により基礎付けることにあった．
当時は既に全ての物理現象は単一の基本原理により記述されね
ばならないという信念(principle of the first principle)が広く受け入れら
れており、熱力学をニュートン力学に基づいて構築しようという試みは
ごく自然なものであった．
ボルツマンの出発点は気体分子運動論である．これは気体が互いに衝
突を繰り返している多数の粒子からなり，気体の巨視的性質はその相対
的な運動で説明が出来るとするものである．このアイデアは18世紀に既
に萌芽が見られるが，19世紀に入り原子の存在こそまだ実証されていな
かったが原子論が新しいパラダイムとして認知され，熱は粒子の運動に
他ならないという熱運動論が広く支持されるようになるに従い説得力を
持つようになっていた
このアイデアがニュートン力学と相性が良いのは明らかであろう。原
理的には全ての粒子の位置と速度をニュートンの運動方程式から求めれ
ば気体の微視的状態が分かる。しかし解くべき方程式の個数は膨大(アボ
ガドロ数)であり、解くことはおろか、それと同数の初期データを準備す
ることは実行不可能である。しかし多数の粒子が衝突を繰り返すと個々
の粒子は個性を失い、平均的・統計的な扱いが意味を持つようになる。
ボルツマンが着目した統計量は１粒子相空間（位置-速度空間) におけ
る気体粒子の密度（単位体積あたりの粒子質量の合計）である。
古典的な密度分布は実空間の統計量であるが、相空間では粒子速度と
いうミクロの情報を含めることができる。相空間の選び方はもちろん一
意でなく、２粒子相空間、３粒子相空間…も可能であるが、１粒子相空
間は古典的な実空間に次いで簡単な構造を持ち、しかもミクロ情報を扱
Villani has written extensive surveys and books
these, as well as the insights of his work, he has inspired a generation of
young mathematicians with deep, rich, physically motivated mathematical questions.
- 139 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:12:28.91 .net
- マクスウエル分布は，マクスウエルがボルツマン方程式に先立ち1859
年に統計的考察により導いたものである.明らかにQ(M) = 0が成り立つ
ので、ρ, u, T がt, xによらない定数ならばMはボルツマン方程式の定常
解である。すなわち
平衡状態はマクスウエル分布以外にあり得ない.
マクスウエル分布はボルツマン方程式に埋め込まれている.
これよりボルツマンは熱力学のニュートン力学的基礎を築いたと主張
した。しかしこれに対して多くの反論が提起され、ボルツマンとの間で
激しい論争が繰り広げられたことは科学史上の有名な挿話である.
W.トンプソン，J. ロシュミット，E. ツェルメロ，…H定理は時間に関して非可逆.ニュートン力学は時間に関して可逆.
最終的にボルツマンに軍配が上ったのは1970年代に入ってからである.
? ランフォードによるボルツマン-グラッド極限の存在証明。
ボルツマン方程式の統計力学的依存性.
? 多くの研究者によるボルツマン方程式の解の存在理論の整備．
ボルツマン方程式の数学解析
先駆的研究:ヒルベルト展開(1912)．（数学の問題，第６）チャップマンーエンスコグ展開(1916-17)
時間大域的解の存在定理
最初の存在証明はカーレマン(1932)に遡る．ただし、f が変数xに依存し
ない場合（空間一様）の，剛球気体についての結果．
(参考) ナヴィエ-ストークス方程式のルレイによる弱解の構成: 1934
しかしその後長い間殆ど研究の進展がなかった。その理由の１つのは衝
突断面積Bの持つ強い特異性である．グラッドのカットオフ近似
この困難を回避するため1963年にグラッドは特異点の近傍でB を有界関
数で置き換えることを提案した。このときQは積分作用素として適切に定義できる．
この近似の導入でその後のボルツマン方程式の解析が大きく進展し
た。現在この近似はグラッドのカットオフ近似と呼ばれている。この近
似は画期的で、ボルツマン方程式の解析に多くの成功をもたらした。
特に大域解の存在理論の研究は大きく進展した。実際、これまでに、
全く原理の異なる３つの理論的枠組みが開発された．
- 140 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:15:03.17 .net
- （google翻訳ベース微修正）
Bourbakiプロジェクトは、数学の非常に急速な進歩の期間に導入されました。論文の多くの書籍は出版の瞬間に時代遅れになった。
特に、関数解析は、（Bourbakiの）本「位相学的ベクトル空間（Topological Vector Spaces）」のイメージとは反対に発展していった。
しかし、Bourbakiの英雄的で野心的な計画は、ユークリッドの方法論的な線に沿って、一冊の論文で20世紀の数学全体の要素を提示
することに失敗しました。
数学は、Bourbakiの論文集よりもはるかに速く、傑出した優れた業績で更新し、豊かになった。
20世紀の数学を生み出す数学の英雄たちは、Bourbakiの欠点をはっきりと即座に味わいました。この論文は、多くの重要な話題を
省略しているため、深刻な批判や非難に遭った。
いつものように、この深刻な批判は、「準備」と「方法論」について、あらゆる種類の教育者や専門家を集めたが、彼らは実際の数学
で何が起こっているのかほとんど気づいていないのである。
ある項目が欠けていることを判断するのは奇妙なので、不完全さについて本を批判することは、弱い議論であることは誰もが知っています。
論文の内容に対する恨みは、必然的に形の批判に変わる。
表現様式の簡潔さ、コンパクトさ、そして磨き抜かれた表現の部分は、教育における悪意のある「ブルバキズム」の敵対者による批
判や追放の犠牲者になります。
選択公理を使わないバージョンで、有理数の無限小数展開を基本にした数当てgameだ。これは正に、上記の超重い分布が当てはまる。
game1も、時枝の記事とは微妙に違っている。Sergiu Hart 氏の方が記述がすっきりしている
There are no royal ways to mathematics; the road to mathematics was paved by Euclid. The style of Euclid not only lives in th
e books by Bourbaki but also proliferates in hundreds of thousands of students' notes throughout the world. This
（goog修正）
数学には王道はありません。 ユークリッドによって数学への道が舗装されました。 ユークリッドのスタイルは、Bourbakiの
本に収められているだけでなく、世界中の数十万の学生ノートにも広まっています。 このスタイルは、私たちの古代科学の誇り
である成果である。
- 141 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:16:08.00 .net
- a5 ≠ 0 なら、少数第６位から数列は一致する。整数部分の0を無視すると、決定番号d=6となる
さて確率を考えよう。ここで、場合の数を計算することで確率が求まることに注意しよう
a5 ＝ 0 の場合の数は、10^4通りある。一方、a1a2a3a4a5の全ての順列は、10^5通りある。
従って、a5 ＝ 0 の場合の確率は、10^4/10^5=1/10。 a5 ≠ 0の確率は、（10^5 - 10^4）/10^5=9/10。つまり、
決定番号d<=5の確率0.1,決定番号d=6の確率0.9。
さて、いま数列を２つ a+ b', a'+ b'' あるとして、b'≠b''で、b''は別の循環小数とする
a'=0.a'1a'2a'3a'4a'5 とする
同様に、a'5 ＝ 0 の場合の確率は、10^4/10^5=1/10。 a'5 ≠ 0の確率は、（10^5 - 10^4）/10^5=9/10。決
定番号d<=5の確率0.1,決定番号d=6の確率0.9。
a'+ b''の決定番号が他の列の決定番号よりも大きい確率は、
a定番号d=6で、かつa+ b'の決定番号d<=5を考えて、確率0.09 (=0.9*0.1) となる。この場合が、ほ
ぼ支配的だ。だから、a+ b'の決定番号が他の数列より大きくない確率は、ほぼ9割。
時枝記事>>3の類推からすれば、２列なので確率は1/2=0.5にすぎないというべきところなのだが・・
さて、３列で、a+ b'、a'+ b''、a''+ b''' を考える。
同様にして、a''+ b'''が、他の二つより大きい確率は、a''+ b'''の決定番号d=6で、かつ他の二つの決定番号d<=5を考えて
、確率0.009 (=0.9*0.1*0.1) となる。この場合が、ほぼ支配的だ。だから、a''+ b'''の決定番号が他の数列より大きくない確率は、ほぼ99％。
この場合、時枝記事>>3の類推からすれば、３列なので確率は1/3=0.33・・・にすぎないというべきところなのだが・・
ところで、a''+ b'''の決定番号が他の数列より大きくない確率は、ほぼ99％で、結構な話だが、決定番号d=6が問題で、
d+1=7 以降の箱を開けて、b'''の循環節は分かるが、d=6も循環節なのだ。
だから、真にランダムなa''の部分は当てられない。
ミニモデルとして、少数５位を考えたが、一般化して少数ｎ位を考えても同じ
まとめると
１．２列で1/2、３列で1/3、・・・という単純な確率計算には、ならない！
２．当てられるのは、循環節にすぎない
- 142 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:17:30.78 .net
- この矛盾する現象は 「ランダウ減衰」と呼ばれ プラズマ物理における 最も重要な事象の１つで その存在は数学で証明されました
とはいっても この現象は完全には 数学的に理解されていませんでした
かつての私の教え子であり 主要共同研究者のクレマン・ムーオと共に? その時パリにいたのですが? 何ヶ月もその証明に 取り組んでいました
実は 私は 解けたと勘違いして 公表してしまっていたのですが 実際には その証明は成り立っていなかったのです
百ページ以上の複雑な数学的論理 多くの発見や 膨大な計算にも拘らず うまく行きませんでした
プリンストンでの その夜は 証明を構築する過程の論理が うまく繋がらなく気がどうかなりそうでした エネルギーと経験 そしてあら
ゆる手法を 駆使していたのに 何もうまく行きませんでした
夜中の１時 ２時 ３時になっても 同じ状態でした ４時頃になり 落ち込んだまま就寝し その数時間後 目覚め 「子供たちを学校に連れ
て行く時間だ」 とその時 何だ これは？ 頭の中で こう言う声が 確かに聞こえたのです 「第２項目を 式の反対側に持って行き
フリエ変換して L2空間で逆変換せよ」
14:26
このように 休息していたと思っていたのに 実は私の脳は働き続けていたのです そんな時には 野心も同僚の事も頭にはありません
取り組んでいる問題と自分だけです
(引用終り)
人の直観、それはゲーデルの加速定理（下記）の例かもしれない
ディラックのデルタ関数。デルタ関数なしでも、同じことは古い関数論で可能かもしれない・・。が、デルタ関数を導入することで、議論がすっきり見
通しよくなるのだ
ゲーデルの加速定理
(抜粋)
ゲーデルの加速定理（ゲーデルのかそくていり、英: Godel's speedup theorem）は ゲーデル (1936)で証明された。この定理によれば、
弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、という
ような文が存在する。
クルト・ゲーデルはそのような性質を持つ文を具体的に構成した。それはn階算術の体系で証明可能な命題であってn+1階算術では
より短い証明を持つものが存在するというものである。
- 143 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:19:02.95 .net
- 不完全性定理は述べる。「どんな理論体系にも、証明不可能な命題（パラドックス）が必ず存在する。
それは、その理論体系に矛盾がないことを
その理論体系の中で決して証明できないということであり、つまり、おのれ自身で完結する理論体系は構造的にありえない」
どこかで渕野先生が書いていたように思うが数学はつねに未完成（不完全性定理）だから、豊かなのだと
で、数学の厳密性は、数学を使う他の分野から見れば、安心なのだ。数学的な証明が与えられると、あとはそれを基礎にどんどん進んでい
ける安心感
一方で、これだけ数学の内容が豊富になって、各分野のレベルが高くなると、なんらかの加速装置（加速定理）が求められているように思う
それが、マクレーンの圏論であったり、グロタン先生の代数幾何の仕事だったように思う。加速装置を作ったという視点
だが、もう全てを追い切れないのかもしれない
Bourbakiに欠けているのは、天才 セドリック・ヴィラニのひらめき（＝渕野先生「アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」）や
、加速装置（加速定理）という視点加速装置を作るべし（創造）という視点
まあ、いわば、Bourbakiは、山に登るのに一歩一歩。「数学には王道はありません」と
だが、物理系のウィッテン>>103（ 受賞者記念講演録 | 京都賞）や、立川ら >>78(AGT 対応の数学と物理)が、やったことは、取
りあえずドローン飛ばして、山の地形を調べますと
さて、１９３０年頃のこと。数学界の巨匠ヒルベルトは「数学理論には矛盾は一切無く、
どんな問題でも真偽の判定が可能であること」完全に証明しようと、全数学者に一致協力するように呼びかけた。
これは「ヒルベルトプログラム」と呼ばれ、
数学の論理的な完成を目指す一大プロジェクトとして、時世界中から注目を集めた。
そうすると、数学者がふもとから見ている風景とは違うランドスケープが見える
それが、20世紀後半から頻繁になってきた。それも、Bourbakiのスコープ外だろうと。王道は、（作らないと）ないかも知れないが、
積分の順序を云々するまえに、やるべきこと（ランドスケープを得るべし）があるだろうと
リーマンは、まさにリーマン球で一変数複素関数論のランドスケープを与え、リーマン球は非ユークリッド幾何の１例となった
- 144 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:19:58.50 .net
- estei byecert
- 145 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:20:13.09 .net
- zetveetce
yyes
- 146 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:20:53.74 .net
- Bourbakiに欠けているのは、天才 セドリック・ヴィラニのひらめき（＝渕野先生「アイデアの飛翔をうながす
(可能性を持つ)数学的直観」）や、加速装置（加速定理）という視点
加速装置を作るべし（創造）という視点
- 147 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:21:06.56 .net
- まあ、いわば、Bourbakiは、山に登るのに一歩一歩。「数学には王道はありません」と
だが、物理系のウィッテン>>103（ 受賞者記念講演録 | 京都賞）や、立川ら >>78(AGT 対応の数学と物理)が、
やったことは、取りあえずドローン飛ばして、山の地形を調べますと
そうすると、数学者がふもとから見ている風景とは違うランドスケープが見える
それが、20世紀後半から頻繁になってきた。それも、Bourbakiのスコープ外だろうと。王道は、（作らないと）ないかも
知れないが、ランドスケープ（ 直観的理解（渕野かな））は重要だねと
そこは忘れないようにしたい、
積分の順序を云々するまえに、やるべきこと（ランドスケープを得るべし）があるだろうと
厳密でない数学を否定してはいない。
だが、ZFCの公理系に含まれる選択公理と相反する公理を付け加えた公理体系の中では偽になり、
かつZFCの中では真になるような、公理体系によって真偽が変わる命題は存在する。
例えば、決定性公理や確率論のソロヴェイの公理など。
そのような命題は、いつでも自由に応用出来るとは限らない。
ZFCと、ZFCとは相反する公理系とをごちゃ混ぜにしたような公理系の構成は出来ないから、
そのような命題を下手に現実社会で応用すると、論理的には正しいが、数学的には間違いになることがある。
決定性公理が前提となる1つの公理になっているゲーム理論も、そのような理論である。
ゲーム理論の公理系に反するような、ZFCで証明出来る命題は存在する。
選択公理を使わないと証明出来ない命題はそうなる。
選択公理を前提にしたZFCの数学の体系と決定性公理を前提にしたゲーム理論の数学の体系とは矛盾する。
多くの人にとって、数学的に1番身近な公理体系がZFCだから、ZFCの中で時枝問題を考えましょうということ。
そうすると、時枝問題は正しくなる。少なくともこのことを、スレ主は否定していることになる。
- 148 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:21:38.27 .net
- 多くの人にとって、数学的に1番身近な公理体系がZFCだから、ZFCの中で時枝問題を考えましょうということ。
>そうすると、時枝問題は正しくなる。少なくともこのことを、スレ主は否定していることになる。
- 149 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:22:04.23 .net
- 「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.」だ
つまり、”その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立”を否定している
本当にそうなか？ ”まるまる無限族として独立”なる無定義用語を使っていませんか？
”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”から、「その箱のXは、
他の箱から情報は一切もらえない」が導かれると思うよ
証明を書くには、”他の箱から情報をもらう”とは？ という定義が必要だろうし
でも、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた”というから
ともかく、ある無限数列のしっぽから、その数列のどれかの箱Xが情報を貰うということだから、箱Xは
独立でなく、なんらかの関連が付くということだろ？
それは、「任意の有限部分族が独立のとき，独立」を破り、矛盾を生じると思うよ
それは時枝も矛盾を感じているから、”私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた”という言い訳１行で
済ませているが、本来要証明だ（証明できないだろうが）
決定番号ごとに数列を出題するわけではなくて出題された1つの数列から
複数の決定番号を求めるからスレ主が書いた場合分けは関係なくなるよ
- 150 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:23:04.72 .net
- ともかく、ある無限数列のしっぽから、その数列のどれかの箱Xが情報を貰うということだから、
>箱Xは独立でなく、なんらかの関連が付くということだろ？
>それは、「任意の有限部分族が独立のとき，独立」を破り、矛盾を生じると思うよ
で、>>312のように確率空間や確率変数 X_1, X_2, … を定めたら、確率空間 (S_i, E_i, P_i) と
i, i≧2 個以上の有限個の確率空間の直積 Π_{k=1,i}(S_k, E_k, P_k) を考える。
そうして、有限個のときのことを考えて、極限を取って、確率を求めることにより、
時枝問題での勝つ確率は1なることが分かる。勿論、確率空間の設定はこれだけでは不十分。
以前やった高校の確率論で極限を取って時枝問題で勝つ確率を1と求めたことは、
そのことを確率測度を使わずにしましたということ。矛盾は生じない。
> (1)無限を直接扱う，
ともかく、ある無限数列のしっぽから、その数列のどれかの箱Xが情報を貰うということだから、
> 箱Xは独立でなく、なんらかの関連が付くということだろ？
代表元(r1, r2, ... , rn, ... )のたとえば2番目を5にしたいと思ったらr2だけを個別に変えることは
できずに属する類を変化させて(r'1, r'2=5, ... ,r'n, ... )とまるごと変えることになる
>>311
>決定番号ごとに数列を出題するわけではなくて出題された1つの数列から
>複数の決定番号を求めるからスレ主が書いた場合分けは関係なくなるよ
意味わからんし、違うと思うよ
>>3「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる」だから、あくまで100列。1つの数列にあらず
「箱の中身は私たちに知らされていないが，・・・これらの列はおのおの決定番号をもつ.」だから、
100列から100個の決定番号を求めるだな
>代表元(r1, r2, ... , rn, ... )のたとえば2番目を5にしたいと思ったらr2だけを個別に変えることは
>できずに属する類を変化させて(r'1, r'2=5, ... ,r'n, ... )とまるごと変えることになる
>無限数列と代表元のシッポを一致させることで間接的に(実)無限を扱っているのだから
>シッポの箱は関連づいている(そのシッポの箱を探すことが時枝戦略) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
- 151 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:24:13.12 .net
- 確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
と書いてあるけど、枝自身がやっていること、>>2-3は、まさに「(1)無限を直接扱う」じゃないですか？
>>2-3の文の中のどこに、「(2)有限の極限として間接に扱う」があるんだ？
> 意味わからんし、違うと思うよ
一つの箱にたとえば0から9の数字が全て10個入っているとみなして計算すればスレ主の言う
「超重い裾の部分」が出てくるかもしれないがその場合には出題者が必ず10個の内9個を取り除く
ことが考慮されていない
無限を直接扱う」じゃないですか？
もし任意の無限数列の可算無限個全ての数字を出題者が直接指定する方法があるのならば
無限を直接扱うということになる
(出題者が指定すべき情報は無限個)
「(2)有限の極限として間接に扱う」があるんだ？
同値関係を導入する理由は循環小数のように有限個の数字を繰りかえすパターンでなら
無限数列を直接扱えるが他の場合でも数列のシッポの繰りかえしパターン0, 0, 0, ... を
代表元を用いて変換すれば有限個の情報で間接的に任意の無限数列を表すことができるから
(出題者が指定すべき情報は有限数列と(極限値となる)無限数列が属する類)
- 152 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:24:59.30 .net
- 確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ
この無限集合に対する定義は、ふつうだよ。頻出で、別に、コルモゴロフの発明でもないと思うし、確率論に限らないだろう
つまり、
定義Ｍ「無限集合Ａがαという性質であるとは、任意の部分集合がαのとき，α，と定義される」＊）と言い換えることができる
これを、定義Ｍの否定、つまり”無限集合Ａがαという性質を持たない”としてみよう。そうすると、”ある部分集合
がαでない”あるいは”αでない部分集合が存在する”となる
命題Ｘ”無限集合Ａがαという性質を持たない”→命題Ｙ”ある部分集合がαでない”となる（対偶をとるための言い換え）
対偶をとると
not 命題Ｙ”任意の部分集合がα”→not 命題Ｘ”無限集合Ａがαという性質を持つ”
つまり、”無限集合Ａがαという性質を持たない”の定義として、”ある部分集合がαでない”あるいは”αでな
い部分集合が存在する”を認めるならば、
その対偶として、定義Ｍ「無限集合Ａがαという性質であるとは、任意の部分集合がαのとき，α，と定義される」＊）となるわけで、
これは、時枝>>4"(2)の扱いだ"2)有限の極限として間接に扱う」)と大げさに宣うほどのことでもない。ごく普通で、”有限”無関係
実際、定義Ｍの＊）の文では、”有限”の文言を削ったが、それで十分数学の無限集合の持つ性質の定義として、成り立つ
かつ、時枝の定義>>4 「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」を包含している
- 153 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:26:05.96 .net
- 私が詳しくは知らないゲーム論的確率論で考えたときの時枝問題の答えは 1-ε であり、
記事本文にも答えの確率は「1-ε」と書かれている。
標準的なZFCでの確率論で考えたときの時枝問題の答えは1である。
では、何故記事では時枝問題の答えが「1-ε」と書かれていたのか？ という疑問が生じる。
通常は標準的なZFCでの確率論で考えて時枝問題の答えは「1」と考えるのに、
εの説明も記事では書かれてなく時枝問題の答えを「1-ε」と書くことは不自然である。
記事を書く側や印刷する出版社の人にとっても「1」を「1-ε」と書くのは不自然である。
それ程不自然な書き方である。他に合理的な理由がすぐには思い当たらず、
記事の「1-ε」は「1」の間違いと考えるのが自然である。
「1」を「1-ε」と見なして考えていることが、スレ主が標準的なZFCでの確率論と、
ゲーム論的確率論とを混同して考えていることの1つの証拠だと思われる。
方程式を研究する一つの方法は方程式を図形ととらえることで
ある。例えば、y = x2 という方程式を考えよう。中生の時にこの方程式は放物線を表すことを習った
はずである。放物線ととらえれば図形なので、幾何
学的なアプローチが可能になってくる。この考えの
もと、多変数連立方程式を幾何学的にとらえようと
するのが代数幾何学と言われる数学分野である。
1940年3月、戦争の混乱の中、兵役に就かなかっ
たことを理由に逮捕された一人の数学者がフラン
ス・ルーアンのボンヌ・ヌヴェール刑務所の獄中か
ら哲学者である彼の妹に向けて14ページにわたる
手紙を送った。その中で彼はこう述べている。「数
論＊1と（有限体上の関数体の理論と）の類似は強固で
あり、明らかです…一方で（有限体上の）関数体と
「リーマン体」に関しては…後者から得られた知見
を前者で適用したとき我々は極めて強力な手段を手
にするのです…」＊2 彼の名はアンドレ・ヴェイユ。
後にリーマン予想＊3の類似から有限体上の多様体の
ゼータ関数に関する驚くべき予想を提唱し、現代数学に至るまで絶大な影響力を及ぼした人物である。
- 154 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:27:43.36 .net
- 単純な理解で良いと思う可算無限個のときのことを考えるには n→+∞ とすればいいことは分かるな。
で、n→+∞ とすると 1/n→+0 だから ε→+0 とすればいいこと位分かるだろう。
半年近く前から、スレ主はそのことを私に何回もいわせていたんだよ。
PFM/Calc_Theory.htm
計算理論 | 名古屋大学大学院工学研究科 マテリアル理工学専攻 小山研究室（計算組織学研究グループ）:
mathmatics/Differential_Eq.pdf
数学関連 偏微分方程式 by T. Koyama
まず、正則であることから、コ－シ－・リ－マンの偏微分方程式(x方向とy方向からへ近づけた場合の極限値が、において一
致しなくてはならない条件から導かれる関係式)が成立する。
コ－シ－・リ－マンの偏微分方程式 ： ∂u/∂y=?∂v/∂y, ∂u/∂y=∂v/∂y
なお、コ－シ－・リ－マンの偏微分方程式は、熱力学の分野ではマックスウェルの関係式として良く知られている。
すなわち、多変数関数における微分可能条件(微分したい位置において極限が存在する条件)から、一般的にコ－シ－・リ－マンの
偏微分方程式は導かれ、熱力学では変数として、温度、エントロピ－、体積、圧力、濃度、化学ポテンシャル等が取られるが
、複素関数論では、複素平面状のx,yの２変数が取られていると解釈できる。
マクスウェルの関係式(マクスウェルのかんけいしき、英: Maxwell relations)とは、熱力学における温度、圧力、エントロピー、体積
という4つの状態量の間に成り立つ関係式。
ジェームズ・クラーク・マクスウェルによって導出された。これらの関係式によって、測定が困難なエントロピーの変化量を、
圧力、温度、体積の変化という、測定がより簡単な量で置き換えることができる[1]。
導出
マクスウェルの関係式は、内部エネルギー U、ヘルムホルツエネルギー F、ギブズエネルギー G、エンタルピー H の4つ
の熱力学ポテンシャルにおいて、2階偏導関数が連続で偏微分の順序が交換できるとすれば導かれる。
>それなら、可算無限個のときのことを考えるには n→+∞ とすればいいことは分かるな。
>で、n→+∞ とすると 1/n→+0 だから ε→+0 とすればいいこと位分かるだろう。
>半年近く前から、スレ主はそのことを私に何回もいわせていたんだよ。
- 155 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:29:38.11 .net
- これまで特定の光学の系が，曲がった空間の物理と
して書き直すことができることを見てきた．じつはこ
のような物理現象の書き換えは偶然に可能になったものではなく，その背後にはアナログ重力(
- 156 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:29:53.19 .net
- tvc
besdde
- 157 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:30:45.55 .net
- ravity) の考え方がある．アナログ重力とは，一言
で言うと様々な波動現象が，重力の物理として書き換
えられる，という理論的な提唱である．もう少し定量的に言うと，ある物理系での波動方程式が，曲がった
空間における波動方程式に数学的に書き直すことがでるのである．
ｎを大きく取ると、1/nはどんどん小さくなる。そこで、ε＝1/nと書き直す。すると、確率 1- ε と書ける
標準的なZFCも、ゲーム論的確率論も、くそもねー
上記、１～３で、選択公理は使っていないよ。そんなこととは無関係に、こう（上記の）解釈できるよと
だから、数学の問題としては、100列で、確率99/100 ・・・ ｎ列で、確率(n-1)/nが導けるか？
光，流体，音，そして熱，それぞれの迷彩を作り出
すための理論を解説してきたが，それぞれのマイルス
トーンとなった論文を辿ることで，変換物理学の意図するところを多少なりお伝えできたとすれば幸いであ
る．対称系の変換物理学において，その理論の根幹を
成すのは“重力を介して事象を眺める” というプロセスである．カモフラージュに必要な媒質のパラメータ
を直接的に求めるのではなく，別の物理現象を介して
全体を眺めることで，それが容易になることが変換物理学の強みとなる．
また，それと併せて，近年になって提案された非対
称系の変換光学についての解説も行った．この理論は
時間反転対称性を破ることができるという点において，
従来の理論とは一線を画している．同様に，流体，音
などについても非対称の変換物理学が存在する可能性がある（図1 を再度確認のこと）．この場合，電子の
動きではなく，より汎用性のある全く別の物理現象に
置き換えて考える必要があるかもしれない．これについても，近い将来，新たな進展があるだろう．
また，カモフラージュに限らず，変換物理学に似たようなことは様々な分野に存在する．近年発展が著し
いトポロジカル絶縁体などはその典型であり，工学に
おける固体電子物性と数学における位相幾何学が上手く結びついた例である．今後も同じような流れで分野
間に新しいブレイクスルーが起きることを期待したい．多くの研究が成熟しつつある現代において，そのよう
な異分野間の繋がりにこそ，今後の科学の発展はある
- 158 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:31:23.69 .net
- 100列で、確率99/100＝1- 1/100と書ける
＞２．ｎ列で、確率(n-1)/n＝1- 1/nと書ける
３．ｎを大きく取ると、1/nはどんどん小さくなる。そこで、ε＝1/nと書き直す。すると、確率 1- ε と書ける
のような書き方は証明(この場合は解答)の体裁をなしていないのに、
選択公理はいらないとかいって何をいっているんだよ。
そもそも、>>2の R^N に同値関係～を定義するところで選択公理が必要になる。
3. 1) スレ主は同じ類に属する二つの数列をランダムに選んで比較したときの決定番号について
論じていることになるが出題者は任意の数列を自分で選んで出題できる
任意の数列snに対して箱に入れる(or入れた)数字からなる数列をbnとすると出題者は何らかの
方法を用いて{bn-sn}=(0, 0, ... , 0, ... )と必ずできる
少なくとも決定番号の手前までは出題者は自分で箱に入れる数字を選ばないといけないので
完全代表系を最初に1組用意して任意の無限数列を選んで出題できることを仮定すれば
ある無限数列Snを考えた時点で決定番号も(Sn, d)のように同時に求めていることになる
2) 他の箱に情報を与えないことを確定させるために選択公理は用いないで個別に(a1から順番に)
直接全ての数字を指定するということ
3) 2)の方法がダメであれば出題者が扱える無限数列は限定される
もっとも簡単な例は(a1, a2, ... , an, 0, 0, ... )や(a1, a2, ... , 1, 1, ... )などであって
同じ数字をならべれば良いがそれらの箱は当然同じ数字であるという情報を共有している
同値関係を導入して代表元が(r1, r2, ... )_kのように書ければ有限数列(a1, a2, ... , an)の
後ろにkをならべてkを数字のように扱いa1, a2, ... , k, k, ... とすることで無限数列
(a1, a2, ... , an, r(n+1), r(n+2), ... )とみなすことが可能になる
出題者は有限数列と(極限値となる)無限数列が属する類の情報(有限個)を指定することで
無限数列の全ての数字を指定したことになる
ただしr(n+1), r(n+2), ... は同じ代表元に由来するという情報を共有していることになる
- 159 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:33:19.03 .net
- 時枝>>2の数列しっぽ同値類で、ロバートソンの方法類似の表現が考えられるね
代表r= r(s)= (s1，s2，s3 ，・・・，sn ，・・・)
ここで、同じ類の元を一つ取る
r'= r(s')= (s'1，s'2，s'3 ，・・・，s'm ，・・・)
しっぽの”・・・)”の部分は、同値類なので同じ（後述の差を取ると、なくなる部分）
の部分は、しっぽの同値類なので、差を取ると0になる。そこで、これをなくなると見なす
Δr= r'-r = (s'1-s1，s'2-s2，s'3-s3 ，・・・，s'n-sn ，・・・，s'm-sm ) として
Δrは、個別には、有限の長さの数列になり、ロバートソンの方法類似の表現で
Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、数列の有限の数列の長さに上限はなく、
無限大の極限を考える必要がある
それは>>188と同じだ
ここで、少数第５位を少数第ｎ位として、ｎ→∞を考えることができる。これが、>>326-327に書いた、裾が超重い分布になるんだ
一方、ここで１０進数を考えているが、P進数を考えることもできる
１０進数だと、組み合わせは10^nで増えるが、P進数だとP^nで増える。Pは、いくらでも大きく取ることができる。Pが大きくなると裾はますます重くなる
さて、P→∞の類推として、R^Nを考えてみよう
P進数なら、箱に入る数は1～Pの整数で、P通り
R^Nの前に自然数の集合N^Nを考えると、箱に入る数は[1,∞)の自然数で、加算無限通り （P→∞の極限がこれか）
R^Nなら、箱に入る数は[0,∞)の実数で、非加算無限通りだ
ヴィタリだ、非可測だという以前に、加算無限通りとか非加算無限通りとか、どう扱うのか？
１０進数で考えても、少数第５位までで、決定番号d=6となる場合が圧倒的
P進数で、Pを大きくすると、その傾向はもっと著しくなり、自然数の集合N^Nや時枝のR^Nなら、確率的には、決定番号d=6は出ないという結論だろう
それで、数列の長さを第５位からどんどん長くすると、決定番号dはどんどんしっぽの先へ行き、頭の数が出る確率は０（ゼロ）
これから言えることは、100列だから確率99/100は簡単には導けないよと
- 160 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:34:32.66 .net
- 「真空」という言葉をある方法で解釈することにより意味が通じてくる。
現代的な用語法では、「真空」という言葉は「何もない空間」と同義語ではない。真空状態でさえ、空間は宇宙を
構成している量子化された場で満たされ
ているのである。真空とはそれらの場が「可能な限り」低いエネルギーをもつような状態であるにすぎない。
どんな量子化された場のエネルギー状態も、ハミルトニアンにより定義される。ハミルトニアンは局所的条件に基くので、時間座標を含ん
でいる。特殊相対性によれば、互いに動いている二人の観測者は異る時間座標を用いる必要がある。
もし相対運動が加速度運動ならば、共有できる座標系は存在しない。したがって、観測者によって真空は異った見え方をすることになる。
ある観測者にとっての真空が、別の観測者の観測しうる量子状態空間内に存在しない場合もある。専門的用語では、これは二つの真空がユ
ニタリ的に非等価な量子場の正準交換関係の表現であるために起きる。
その理由は、互いに加速している観測者のそれぞれ選んだ座標系を大域的に関連付けられるような座標変換を定義することが不可能で
あるためである。
加速している観測者はみかけの事象の地平線を知覚する（リンドラー座標の項を参照）。ウンルー輻射の存在は、ホーキング輻射と同じ概
念的枠組みによりこのみかけの事象の地平面と関連づけることができる。一方、ウンルー効果の理論は「粒子」が何で構成されるかの定義
が観測者の運動に依存することを説明する。
自由場に対して生成消滅演算子を定義する前には、場を正と負の周波数（英語版）成分に分解することが必要とされる。これは時間的
キリングベクトル場を持つような時空上でのみ可能である。
この分解はデカルト座標系上とリンドラー座標系上とで異なる（ただしボゴリューボフ変換により関連付けられてはいる）。これにより、
生成消滅演算子により定義される「粒子数」が二つの座標系の間で異る理由が説明できる。
リンドラー時空には地平面が存在し、また非極限ブラックホールの地平線は局所的にはリンドラー地平面と見做せる。したがって
リンドラー時空によりブラックホールおよび宇宙の地平面の局所的性質を記述することができる。したがって、ウンルー効果は
ホーキング輻射の地平面近傍における形式である。
- 161 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:36:00.71 .net
- 「数学通信」バックナンバー
mathsoc.jp/publication/tushin/0703/arai7-3.pdf
ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち 新井 仁之 （あらいひとし，
東京大学大学院数理科学研究科）「数学通信」第７巻第３号 （２００２年度）
(抜粋)はじめに
本稿は，2001年12月23日と24日の二日間にわたって開催された第7回湘南数学セミナーでの講義の概要です．この講義では，「面積とは何
であろうか」という中学生でも理解できる問いかけからはじめ，前半ではいわゆるジョルダン測度の定義を変形したものを紹介しました．こ
の変形はルベーグ測度とジョルダンによる面積の定義の違いを浮き彫りにするために導入したもので，通常のジョルダン測度の定義と同値
になっています．さらにルベーグ測度の考え方をできるだけ丁寧に説き
ました．講義の後半では，ハウスドルフ測度，面積0のフラクタル図
形を動画を見せながら解説し，最後に掛谷間題に関連した動画・静止画
を用いて，ベシコヴィッチ集合の構成ならびに実解析学の未解決問題に
ついて説明しました．掛谷間題
次の間題が現在専門家により研究されています．
［掛谷予想］ 3次元掛谷集合のハウスドルフ次元は3か？
この間題は今のところ未解決です．現在，次のことは知られています．
定理9（ヴォルフ，1995） 3次元掛谷集合のハウスドルフ次元は少な
くとも5／2以上である．掛谷予想は，実解析のいくつかの未解決問題と関連していることが
最近わかってきました．たとえば3次元空間において，
1）フーリエ変換のボッホナーリース総和法に関する問題が肯定的に
解ければ，掛合予想が肯定的に解ける（T．Tao，1999）．
2）フーリエ変換の制限問題が肯定的に解ければ，掛谷予想が肯定的に解ける（J・Bourgain，1991）．
3）掛谷極大関数の〝評価に関する予想が肯定的ならば，掛谷予想
が肯定的に解ける（J・Bourgain，1991）・etc．
これらの問題は，2変数関数の解析と3変数のそれとは違うことを示しています．
d次元掛谷集合のハウスドルフ次元は d であるというのが大方の予想で，これは通常，掛谷予想と呼ばれています．
掛谷問題，予想は，解析学の多くの未解決問題と関連していることが，Taoらによって証明されています
- 162 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:37:40.68 .net
- ＥＭＡＮ先生の一般相対論 アインシュタインのテンソル式の導出、秀逸だね、感心した（＾＾
（文字化けあるので、原文見てください）
eman-physics.net/relativity/ein_eq.html
ＥＭＡＮの物理学・相対性理論・重力場の方程式へ:(抜粋)
一般相対論の原理
さあ、いよいよ仕上げである。ここまでの知識を使って、物質の存在と重力の起源を結び付ける方程式を組み立てよう。
組み立て開始
前回話したように、ニュートン力学での重力場の源は「質量密度ρ」であった。特殊相対論では質量とエネルギーが等価であることが
導かれたので、重力の源は「エネルギー密度」だと言い換えても良いだろう。
しかしエネルギー密度は単独ではテンソルではないから、式の中に持ち込むとしたら、運動量密度などと一緒にした「エネルギー運動
量テンソル」を使うべきであろう。それで、これを重力場の方程式の右辺に持ってくることにする。
これはつまり「重力場の源は質量である」と考えていた古い形式を拡張して、「重力場の源はエネルギー運動量テンソルである」という
考えを新しく採用することを意味する。
右辺のエネルギー運動量テンソルが 2 階の反変テンソルなのだから、左辺も同じ形式のテンソルになるべきだろう。
とでも書いておこう。
Xij=Tijところで「エネルギー運動量テンソル」は次の関係を満たしていた。∂iTij=0
これはエネルギー保存、運動量保存の式である。これは平らな時空を前提に導いた式なのだった。リーマン幾何学で学んだように、
テンソルをただ微分したものはテンソルではない。ではこの式が時空が曲がっていても使えるようにしてやるにはどうすれば良いかと言
うと、すでに良く分かっているだろう。
iTij=0
と拡張してやればよい。そうなると左辺のXijを共変微分したものも同じように 0 にならなければいけないはずだ。
んな性質を持った量Xijがそうそう都合よく見付かるはずが・・・いや、あったよ！！前に出てきたアインシュタイン・テンソルだ。しかし
これをそのまま使ったのでは次元が合わないので、係数kを付けて調整してやることにする。
ij = k Tij相対論における「重力場の方程式」すなわち「アインシュタイン方程式」である。何とあっけなく導かれてしまったことか。
- 163 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:38:36.80 .net
- 誰が「場の方程式」を発見したか？
一般相対性理論の核心となる方程式を最初に発見したのは、じつはアインシュタインではなかったと、つい最近まで 信じられていた。
ゲッティンゲン大学のダーフィト・ヒルベルトがアインシュタインよりも早く同じ結論に到達していた というのである。
アインシュタインが一般相対性理論の最終論文を書きあげてプロイセン科学アカデミーで発表したのは 1915年11月25日のことで、
翌週の12月3日（2日？）には印刷公刊された。
いっぽうヒルベルトの最終論文が公刊されたのは1916年 3月31日のことだったが、論文がゲッティンゲン科学協会に提出されたのは
前年の11月20日、つまりアインシュタインの 論文の5日前だった。
両者はともに重力場の方程式をみちびいているが、その先取権は、もちろん5日はやく論文を提出 したヒルベルトにあると、科学史の
専門家たちは考えてきた。そればかりではない。二人は研究成果についてたがいに 情報交換をしており、アインシュタインはヒルベル
トに、論文を事前に送ってほしいと依頼していた。
つまり アインシュタインは公刊前のヒルベルト論文を見るチャンスがあり、それにもとづいて自身の最終論文を完成させた のではない
か、と勘ぐるむきもあったのだ。20世紀を代表する数学者と物理学者をめぐる盗作疑惑である。
1997年、イスラエル、ドイツ、アメリカの研究者チームが包括的な調査を行い、この疑惑に最終的な裁定を下した。 「遅ればせの決着
―ヒルベルト=アインシュタインの先取権論争」と題された論文（レオ・コリー他「サイエンス」11月14日号） は、1915年11月
に繰り広げられた二人の天才の丁々発止のやりとりを伝えてまことに興味深い。
1997年の調査では、新たにヒルベルトの論文の校正刷が発見され、これが「遅ればせの決着」の鍵となった。この初稿ゲラ のなかで
ヒルベルトは、自分の理論が「一般共変」でないことを認めていた。
一般共変の方程式10個に加えて、因果律を保証する ために一般共変でない四つの方程式を付加せざるをえなかったのだ。これでは
正しい結論をみちびくことはできない。校正刷には 印刷所のスタンプが押してあり、日付は12月6日となっていた。
- 164 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:40:41.35 .net
- 1これまで多くの学者が信じていたように二人がそれぞれ独立に
正しい方程式を みちびいたのでもなかった。
- 165 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:42:41.64 .net
- gedo tiv
- 166 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:43:02.73 .net
- コリーらの論文はこう締めくくられている。< もしヒルベルトが「1915年11月20日提出」という 日付を訂正さえしていれば、
（アインシュタインの最終論文が発表された12月2日以降ならいつでもよかったのだ）、
先取権をめぐる論争がのちのち起こることはなかったろう >
- 167 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:43:51.64 .net
- 一般相対性理論（いっぱんそうたいせいりろん、
アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に続いて1915年から1916年にかけて発表した物理学の理論である。
（General relativity）とも言われる。ニュートン力学で記述すると誤差が大きくなる現象（光速に近い運動や、大きな重力場におけ
る運動）を正しく記述できる。
アインシュタイン以後、一般相対性理論以外の重力理論も、数多く提案されているが、現在までにほとんどが観測的に棄却されている。
実質的に対抗馬となるのは、カール・ブランスとロバート・H・ディッケによるブランス・ディッケ重力理論であるが、現在の観測では、ブランス・ディッケ
理論のパラメーターは、ほとんど一般相対性理論に近づけなくてはならず、両者を区別することが難しいほどである。
量子論と一般相対論の統一という物理学の試みは未だ進行中であるものの、一般相対性理論を積極的に否定する観測事実・実験事実は一つもない。
他に提案されたどの重力理論よりも一般相対性理論は単純な形をしていることから、重力は一般相対性理論で記述される、と考えるのが現代の物
理学である。
(そう、物理学者というのは、小石や貝殻を見つけて喜んでいる子どもなのだろう。しかしときに、ニュートンがそうであったように、大海原の
存在に気づく者がいる。
いや、ニュートンは、単にそれに気づいただけでなく、立ち上がって海水に足を浸した人物なのだとわたしは思う。そしてウィッテンも、そんな
物理学者のひとりなのだろう。
砂浜で貝殻の美しさにみとれて夢中になっていたのは、物理学者か数学者か、目の前の未知の大海に気がついたのは数学者か物理学者か。
実は、そうした仕分けをやめるところから、未知の大海があることに気づくことができる･･･それが広い意味でのラングランス・プログラムなのだ、
とフレンケルは最終講義で訴えたのではないか。
実解析的方法はこれまで，さまざまな分野で使われてきた．最近ではウェーブレット解析，非線形偏微分方程式，距離測度空間上の解析・幾何でも
重要な役割を果たしている． また，それにともなって実解析への関心も高まっている．
今回の ENCOUNTER with MATHEMATICS では，実解析学，偏微分方程式，フラクタル解析，調和解析で活躍中の方々による
実解析的方法に
- 168 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:45:29.34 .net
- ENCOUNTER with MATHEMATICS 数学との遭遇
第２１回 実解析への誘い -- 実解析的方法を使いこなそう 抜粋)
ブラウン運動と実解析 -- 実解析のための確率論入門 -- : 新井 仁之 (東大・数理)
マルチンゲール，局所時間など，確率論に関する研究が実解析 に及ぼした影響は大きい．
この講演では，実解析に現れる確率論の諸概念を紹介した後，実解析学の研究に確率論がどうして使えるのか，そのからくりを解説したい．
また，実解析と確率論とを関連づける重要な定理の一つに角谷の 定理があるが，それにまつわる未解決問題 -
調和測度の問題 - についても 時間がゆるせば触れる．この問題では，実解析と確率論，そして負曲率多様
体上の 解析などが複雑に絡み合っていることがわかってきた．
デタラメを述べておきながら間違いの指摘は無視する行為
明らかな間違いにもかかわらず、数学は自由だから何でもありだろ？、と無理やり正当化する行為
”相対論が間違ってる”、”量子論が間違ってる”という人がいる。（下記ご参照。因みに、省略したが、このベストアンサーが面白いよ
いま、そういうプロの科学者はいない
時枝>>2-4が正しいと、いままで、そういうプロの数学者はいなかった（皆無！ Sergiu Hart氏2013年>>47からを含め。
なお、Sergiu Hart氏はあくまでPUZZLES ”Choice Games”だと>>47）
なのに、素人が”時枝>>2-4が正しい”と
”いま、そういうプロの数学者はいない”というのに、「納得できる説明がない」と、論難する人たちがいる
あんたら、相対論や量子論が理解できるレベルに達していないだけじゃなのか？（
（この場合>>397-399 ）
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6829887.html
なぜ量子論よりも相対論が間違ってるという人が多い？ - その他（自然科学） 解決済 | 教えて！goo:
(抜粋)
いつもインターネットの掲示板等をみて感じるのは、「アインシュタインの相対性理論は間違っている」と声高に主張されている
方が一定数いらっしゃいます
私自身が思うのは、相対性理論よりもはるかに量子論の方が「非常識」な理論です。特にシュレーディンガーの猫に代表される
観測問題などは、どう考えて良いのか理解不能です。
- 169 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:46:31.11 .net
- の皆さん方、とくにＴさんも昔そんなことを叫んでいたね。間違っていたけどね
歓迎されると思う。どうぞ、そちら
今週は、京都大学の基礎物理学研究所で開催されていた「量子物質・時空・情報」と題した国際会議に参加していました。
「量子もつれ」をテーマとし、量子力学的な性質が顕著に表れる新しいタイプの物質を研究している物性物理学者や、
超弦理論や量子重力の研究をしている素粒子物理学者から、量子暗号や量子情報の研究者、さらには量子力学や
統計力学の基礎の研究者など、幅広い分野の研究者を集めた、野心的な研究会でした。
会議のバンケットでは、素粒子論から物性物理学に転身されて共形場の理論で偉大な業績をあげられ、場の量子論
の量子もつれについても先駆的な仕事をされたジョン・カーディさんが、
「我々は理論物理学の黄金時代に立ち会っている。高エネルギー、物性、量子物理という２０世紀の主要な分野が合
体しようとしているのだ」とスピーチをなさいました。
左の写真は、スピーチの後で、カーディさんと私が鯛の塩釜焼きを割っているところです。
私は初日に、先月書いた論文の内容を中心に講演をしました。講演のスライドなどは、会議のサイトから見ることができます。
「量子物質・時空・情報」
さて、今週は、CaltechとMITが中心となって運営している重力波天文台LIGOが、重力波の２回目の観測に成功したとの発表をしました。
今年の２月には、第１回の直接観測が発表され、新聞の号外が出るほどのニュースでした。
今回の重力波は、１４億光年彼方の太陽の１４倍と８倍の重さのブラックホールが合体したものだそうです。前回に比べて
軽いブラックホールだったので、重力波の波長がLIGOの観測域とうまくマッチして、前回よりも長い時間の観測が可能
になったそうです。そのため、合体する前のブラックホールの自転速度なども確認できました。
さらに今後数年の間に、感度を３倍程度には向上させる予定なので、３×３×３＝２７倍の受信が期待できます。つまり、
毎週少なくとも１回、もしかしたら毎日のように重力波が受信されるようになるでしょう。いよいよ、重力波を使って宇宙を探
索することができる時代になりました。
- 170 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:47:31.63 .net
- まず、前提として、”数列の同値類分類は完了した”としよう
(そうだな、Hart氏>>47のgame2 の循環小数モデルにしよう。それなら同値類分類完了は納得だろ？）
その上で、そこでさらにレベルを落として、極限という概念を考えてみよう
１．y=1/x という双曲線。まあ、中学校でもやるだろう。0<x & 0<y いわゆる第一象限で、定義域 xは(0,∞)の開区間。で
、値域 yは(0,∞)も開区間
２．y=1/x で面白いのは、xとyの入れ替えで対称になっていること
３．lim (x→∞) y = 0。 で、lim (x→0) y = ∞。( lim (y→∞) x = 0。 で、lim (y→0) x = ∞ )
４．分かりますよね、極限。つまり、(0,∞)の開区間で、ｘ、ｙとも、いくらでも 0 および∞に近い値は取れる。限りなく。だが
、開だから 0 および∞の値は取れない
がしかし、個々のｘ、ｙの値を取り上げれば、それらは有限ですよ。でも、集合としては、無限集合なんだ
５．で、y=1/xという双曲線で、 「ｘ、ｙとも、有限です」と、言い切ってしまったら、数学的には何の面白みもないよ。時枝
に同じ（決定番号の分布を集合として考えましょうと。集合としては無限集合でしょと）
> 決定番号の分布を集合として考えましょうと。集合としては無限集合でしょと
異なる決定番号(自然数)が可算無限個あるから上限がないということと当てられない(ランダムor全て独立な)
数列が存在する(=決定番号が無限大になる)ことは全く別の事柄ですよ
決定番号全体の無限集合を無視しているわけではなく確率を計算する過程は>>3
> 閉じた箱を100列に並べる- (1) 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ (2)
任意の無限数列が出題可能という仮定には任意の無限数列の決定番号を(数値の大きさによらず)
決定可能であることが含まれているので(1)の段階で決定番号全体(=自然数全体)の集合から
要素数が100の有限集合{d1, d2, ... , d100}が必ず得られることになる
(2)で{d1, d2, ... , d100}から1つランダムに選ぶので99/100が求められる
- 171 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:48:56.12 .net
- hiroyukikojima/20140523/1400837261
数学は、人生を総動員して理解するとよいのだ、とわかっ
(抜粋)
本書には、図形の位相的な形を分類するためのホモロジー群、空間でないものを空間化させてしまう位相空間理論、n
次多項式の零点として定義される図形を代数的に捉えるイデアル理論、加減乗が定義された代数系である可換環を
位相空間上の関数に仕立ててしまうスキーム理論などの入門編を解説しているのだけど、
これらはいずれも、数学科に所属していた頃に理解できずに落ちこぼれた素材なのだ。
今でも忘れられないは、ホモロジー群を教わった位相幾何の講義のテストのときだ。たしか2時間ぐらいのテスト時間
にもかかわらず、ま～ったく何もわからず、ただただ答案用紙にトーラス(ドーナツ形)の絵を描いて時間が過ぎるのを待った。
早々に答案を(白紙のまま)提出して退出する勇気はなかった。あれほどの退屈な時間と、あれほどの屈辱の時間は、他に経験がない。
それから、ゼミで代数多様体についての輪読をしたとき、それがマンフォード『代数幾何1』のほとんど最初のほうである
にもかかわらず、何も理解できないまま、夜な夜な英語の文面を呆然と見つめていたものだった。
可換環論が当然の前提知識となっており、それを理解しようとすると、その前提にはもっと初歩の代数系や集合論(ツォル
ンの補題など)が利用されており、それを紐解こうとすると、「無限後退」に陥るような気持ちになって、目眩がした。
「生まれ直すしかない、いや、生まれ直しても間に合うまい」という悲観が心に渦巻いた。このようにして、ぼくは、数学科
の落ちこぼれになった。
ちのちに、このときのぼくの認識は大間違いだったことがわかったのだ。当時のぼくがいけなかったのは、「数学を、目の前にある本や
講義のノートの、数学を理解する」という行為を限定的に閉じ込めてしまい、もっと広い外界にアクセスしなかったことが災いしたと気付くことになった
数学を(いや、どんな学問でもそれを)理解する、という行為は、人生を総動員して行うべきものであり、そうしさえすれば、(それへの愛と欲求が
ある限り)理解は不可能なことでもそんなに難しいことでもない、ということだとわかったのだ
- 172 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:49:53.47 .net
- 実際、経済学者となってからのぼくには、数学を理解するための作業が、数学科の学生だった頃と大きく違うものとなった。例えば、数学的な
アイテムを理解しようとするとき、
専門書に書いてあることをそのまま受け入れようとする努力を捨てるようになった
それが抽象的すぎて、とても自分の感覚ではついていけないと感じたときは、そこに書いてあることを自分によくわかる別の言葉や記号に置
き換えていく作業をすることにした
具体例を挙げるなら、それは本書『数学は世界をこう見る 数と空間への現代的なアプローチ』のホモロジー群の説明に表れている。ホモロ
ジー群というのは、チェインと呼ばれる幾何的対象の集合を高次元から低次元に並べて、その順番に沿って、境界作用素と呼ばれる写像を作る
そして、そのk番目の写像の像を(k+1)番目の写像の逆像で割って、剰余類を作る。その群がホモロジー群と呼ばれるものである。この定義
は、何回読んでも、何をしているのかさっぱりわからなかった
だから、いったん、そういう抽象的な定義を鵜呑みにするのは諦めて、低次元で、それがどんな作業をしているのかを自分の言葉で理解し
てみようと試みた。最初に0次元で、次に1次元で。そしたら、だんだんと、それが意味していることがわかってきた
「要するに、これって、単なる中学1年生の文字式の同類項計算に毛が生えたものじゃん」という悟りに達したのである。こういう「自分の言
葉での理解」を得たあとに、もう一度、一般的な定義に立ち返ってみると、チェインの集合間の境界作用素から剰余類を構成する手
続きは、実にすっきりしていて、みごとな整合性を持っていることが実感できた
ホモロジー群をこういう風に理解した背景には、ぼくが塾講師だった頃に、中学１年生に文字式を教えることで苦労した経験を持
ったことも生きていた。文字式の同類項の計算というのは、一度わかってしまえば、あまりに当たり前なものである。
でも、初めて学ぶ中学生にとっては、非常に抽象的で敷居の高いものである。ここで、「抽象的な計算規則を何の抵抗もなく
受け入れられる子供」と「実感のないものを安易に受け入れられない子供」に振り分けられる。これは能力の優劣ではなく、性
格の違いであると言える。
\
- 173 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:50:08.32 .net
- 前者だって、本当は「無批判に何でも信じてしまう」危ない資質だとも言えなくもないからだ。そして、後者のタイプの中学生た
ちに「文字式とは何か」を教えるのには、非常に苦労した。
「文字式とは、ある計算の仕組みの全体を抽象化したもの」というこ
とをなんとか伝えなければいけないからである。
- 174 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:51:33.38 .net
- とりわけ、フェルマーの最終定理が、楕円曲線上のゼータ関数の解析接続の問題である谷山予想に帰着され、そ
れがワイルズによって解決されたのを目の当たりにしたぼくは、代数幾何をバックボーンにした数論幾何を勉強しな
かったことを激しく後悔した。
そして、なんとか少しでもスキーム理論に近づけないか、と願うようになった。しかし、何度チャレンジしてもその願望
は、撥ねのけられてしまった。そのときもまた、「数学を、目の前にある本や、講義のノートの、そのままの字面から
理解しよう」としていたからだ。
それが、ここ数年になって、急に様相が変化した。それは、数学者の黒川信重先生と対談で共著を作る、という
仕事をしたことがきっかけであった。
とくに、去年、共著『21世紀の新しい数学』技術評論社を作る過程で、黒川先生に、「スキーム理論は、ゲルファン
ト・シロフの定理に由来する」ということを教えていただいたことが大きかった。
ぼくは、複素関数論の層の理論あたりに由来するとばかり思っていたので、これには驚いた。「ゲルファント・シロ
フの定理」というのは、1940年くらいの定理だ。
ざっくり説明すると、位相空間X(コンパクトでハウスドルフ)が与えられたとき、X上の複素連続関数の環C(X)を作
り、C(X)の極大イデアルの集合specmC(X)を作る。そのspecmC(X)にザリスキー位相を入れて、位相空間に仕
立てると、それは元の位相空間Xと同相(要するに同じ空間)になる、という定理なのだ。
この定理を、イメージ的に解釈するなら、次のようになるだろう。すなわち、関数の空間Cがあるとして、その極大
イデアルの集合に位相を導入すると、その位相空間の上にあたかも元の関数たちが生えているようになる、ということである。
「ゲルファント・シロフの定理」の証明は、『21世紀の新しい数学』の黒川先生による付録に載っている。証明は、
\
このような解釈に達すれば、スキームはこのイメージを一般化させたものだ、と気付く。可換環→
素イデアル→素イデアルの位相空間→その位相空間上の関数が元の可換環と同じ、というニュアンスである。
加減乗があるというだけの可換環という対象に対し、その素イデアルの集合を位相空間に仕立
発想というより、思想・哲学というべきものであろう。
- 175 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:52:33.13 .net
- ぼくがスキームを理解するための最初の重いドアを蹴破ることができたのは、黒川先生と対談したことが最も大きいが、
それだけではない。他にもさまざまなリサーチをしたのである。
例えば、Yahoo知恵袋で(笑い)スキームについての質問を
そして、その中で、「簡単に理解したいならこれ」というふうに、ノイキルヒ『代数的整数論』という本がお勧めとして挙げて
あったので、さっそく購入した。この本は、全体としては難しい本だが、随所随所に、目からうろこの説明も導入されていた。
とりわけ、1次元スキームの解説はわかりやすく、これを読んだことも突破口になった。また、知り合いの小木曽啓示さ
んの本『代数曲線論』朝倉書店も一部読んだ。小木曽さんの数学の理解と、その説明能力は突出したものであることを
(知人として)心得ていたからだった。
この本を読んだことで、ぼくは層のイメージを掴むことができ、コホモロジー群(ホモロジー群を局所的な関数たちに拡張
したもの)の発想を理解することができた。これらの経験のあとに、何度も挫折していた上野健爾『代数幾何』に再チャレン
ジをしたら、不思議なことに相当に受け入れられるようになっていたのである。
そんなふうに、長い時間をかけて、スキーム理論の入場口をようやく通り抜けたぼくは、この理論の楽しさを(そうする
資格があるかは自信がないが)一般の数学ファンにも広めたいと思うようになったのだ。それが、本書『数学は世界
をこう見る 数と空間への現代的なアプローチ』PHP新書を書いた最も大きな動機である。
言いたいことは、要するに、「数学を理解する、という行為は、人生を総動員して行うべきものであり、そうしさえすれば
、愛と欲求がある限り、理解は不可能なことでもそんなに難しいことでもない」、ということである。
人生を総動員する、ということを具体的に言うと、「自分の言葉で理解しようと試みる」とか、「他人(特に中高生)に説
明してみる」とか、「友人の専門家の説明にすがる」とか、「わからない本はすぐ捨て、本のはしごをする」とか
、「これだと思う先生の講義に、ずうずしく、もぐってしまう」とか、「Yahoo知恵袋で質問する」などとなろう。
さらにもう一つ付け加えるなら、「わからないけど、本に書いちゃう」というものあるかもしれない(これは冗談だからね)。
- 176 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:53:29.88 .net
- この三つともに出てくる、つまり、対談にも、図解にも、レクチャーにも登場するのが、「ゲルファント・シロフの
定理」というものだ。今回は、これについて、ちょっと前振りをしておこうと思う。
この定理が、この本に収録されることになったそもそものきっかけは、ぼくが黒川先生に「グロタンディーク
のスキーム理論は、どんなところからアイデアが出てきたのですか？」という愚直な質問をしたことだった。
スキーム理論というのは、整数からイデアルへ - hiroyukikojimaの日記にも書いたけど、環(加減乗が
定義されている代数的な集合)から空間を作りだす技術のこと。
ぼくはてっきり、カルタンや岡潔の「層の理論」が源泉なんじゃないか、と思ってたから聞いたんだけど、
そこで黒川先生の口から飛び出したのが、この「ゲルファント・シロフの定理」だったのだ。ぼくが子供じみ
た興味津々の表情をしたせいか、黒川先生は「証明は簡単なので、付録として、本に収録しましょうか」という提案をしてくださった。
それで、これを膨らました「環と空間」というみごとなレクチャーを執筆してくださることになったわけなのだ
。瓢箪から駒というか、棚からぼた餅というか、いやあ、何でも恥ずかしがらずに聞いてみるものである。
ゲルファント・シロフの定理」というのは、位相空間から環を作って、その環から元の位相空間を再現する方法論だ。おおざっぱには、
位相空間→複素数値連続関数の集合→極大イデアルの集合→元の空間
という構造になっている。もうちょっと詳しく説明すると次のようになる。
位相空間Xがあるとしよう。位相空間というのは、なんらか遠近感が導入された空間のことだと理解すればいい。そして、
その空間は有限的な広さで(コンパクト)、その遠近感が「どの2点も遠近感的に離れている」(ハウスドルフ)とする。
次に、その空間X上の複素数値連続関数の集合をC(X)と書こう。(最初のエントリーでは「連続」が抜けてましたので、修
正しました)。C(X)には加減乗が定義できるので環の一つと見なすことができる。
そして、この関数たちのなす環C(X)の極大イデアルの集合をYとする(極大イデアルについては、整数からイデアルへ
- 177 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:54:34.26 .net
- ただし、グロタンディークが空間化したのは、極大イデアルではなく、
素イデアルだったのだ
実際、
- 178 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:54:43.51 .net
- この定理が面白いのは、空間上の関数があって、それが環の構造を持ってたら、
その極大イデアルたちに元の空間がそのまんま映し出される、ということを教えてくれることなのだ。
これには、「空間の持つ性質を探るには、その空間上の関数を調べればいい」という現代数学に普遍的に共有されている発想が宿っている。
ここからは、ぼくの類推だけど(黒川先生に聞いたわけじゃない、ということ)、グロタンディークは、こう閃いたんじゃないかな、と思ったのだ。
すなわち、空間上の関数の環に元の空間が映し出されるなら、逆に、環が先にあったら、その
イデアルたちを空間化して、その空間上で元の環を関数に仕立てることが可能なんじゃないか、と。
これが可能になれば、「環の要素を、関数と化させることができる」ということになる。例えば、整
数の成す環にこれを用いれば、整数は単なる一個の数であるにもかからわず、これをある空
間上の関数、つまり、「空間の点をインプットすると、何かがアウトプットする」関数に仕立てる
ことができるのである。
- 179 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:55:38.10 .net
- この記事へのコメント
僕自身は、リーマン面の理論(複素関数論)で、正則関数の層(つまり、正則関数の芽(germ)を解析接続していってできた
もの)を最初に学んだので、あまり抵抗なかった記憶があります。解説接続をモダーンに表現したものですよね。
余計なおせっかいですが、(多変数の)複素関数論とかを先にやられると、イメージが掴みやすいかも、です。
もっともジーゲル大先生は、お気に召さないらしく、(例の3巻本の)序文で「その後一般的になった、抽象的な用語は、
ここでは用いない」と宣言されてますが(笑)。
◇sukarabeさん
アドバイスありがとうございます。
多変数関数論は、岡の嫌う記述形式だと思うのですが、でも愚人の私には、これがよさげです。不定域イデアルでは、いまいちよく解りません。
層は、正則関数 と その解析接続 が一つのイメージなのでしょうけど、もっと、包括的な捕らえ方が出来ていなかったのです。
・茎と芽のイメージ
関数概念の拡張の意味
Hyperfunctionの記述言語としての存在（代数解析学、Ｄ加群を含む）
・スキームとの関連（代数幾何学の記述言語）
ファイバー束との関連
・層係数のコホモロジー
などなど。でも、ふと、ある部分だけですが、”見えてきた”のです。
まだ、あやふやなイメージなので、もっと強固に、具体例をふんだんにするために、今年戦います。
不定域イデアルの概念は正に層そのものと言えるのではないでしょうか。岡潔さんが嫌うのは、
自分が考え出したものに別の名前を付けられ、別の定式化がされ、ある意味、盗まれたと感じ
られたのでは、と思ったりもします。正則関数の層が連接層になるというのは、言葉は違えども、
岡潔さんが発見し、証明されたことですし
換骨奪胎（かんこつだったい）という言葉がぴったりなのでは、と思います。
でも、理論の創始者の意図とは別の発展をたどるのは、どの理論も同じでしょうね。
脆弱、連接 なんて、よくも悪くも現代数学の威力を感じさせます。
ひとたび概念と記述が確立すると、他の多くの分野に適用される。
- 180 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:55:54.33 .net
- 「層 (= sheaf = faisceau)」の話をせよと言われても、層の言葉はあまりに
も基本的過ぎるので説明するのが大変です。「層」の例を挙げよという要求は、
ほとんど「集合」の例を挙げよという要求にかなり近い感じがします。
さてどうしましょう？どうしたら良いかわからないので、歴史的にも(加群の)
層の理論の発展の motivation の一つになったと思われる Cousin (クザン)の
問題を例に説明したいと思います。実は、多変数函数論におけるクザンの問題
には第1と第2があるのですが、ここでは第1問題を1変数複素函数の場合に限っ
て説明することにします。
(ここで、層(sheaf)やら芽(germ)やら意味ありげな言葉遣いが出てきますが、
どうしてそのような言い方をするかは、数学的にはどうでも良いことなので省
略します。他にも茎(stalk)という言葉もあるのですが、この辺の名前の付け
方は個人的には大変良いものだと感じています。)
要するに、正則函数や有理型函数の層を考えるということは、複素平面の一部
分(開集合を考える)のみで定義されている正則函数や有理型函数も考えるとい
うことに他ならないのです。単にこれだけのことです。
層のコホモロジーの理論があるからこそ、層の理論は有用である
と言えます。
- 181 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:57:11.96 .net
- まず、X という空間上の層達の間に層の意味で何らかの関係があ
- 182 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:57:30.87 .net
- 状況を考えよ。(例えば、(19)のような層の
short exact sequence がある
とせよ。
- 183 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:57:48.15 .net
- 層は局所的な情報も含んでいるので、層としての関係は局所的なもの
だと考える。) 層の関係から、大域的切断の空間 Ｆ(X) の間にどのような関
係が得られるか？大域的な切断の空間 Ｆ(X) のみを考えると、層 Ｆ 自身の
情報は失われるであろう。それを補完するものは何か？これの一つの答が、H^0(X,Ｆ) = Ｆ(X)
から始まる H^1, H^2, ... という
のコホモロジーの理論なのです。いろいろな見方があると思いますが、これは次のようにもっと一般化で
きる形で考えることができます。まず、X から一点のみからなる空間 pt={p}
への唯一の写像 f を考えます: には位相空間の構造が一意的に入ります。(pt の空でない開集合は pt 自
身だけ。) pt 上の層は唯一の集合(もしくは加群やベクトル空間)を決めれば
決定されるので、pt 上の層と単ｂﾈる集合(もしくは加群やベクトル空間)は同
一視することができます。上の加群もしくはベクトル空間の層Ｆを与えたとき、f を通して「ＦのX上
での積分」が pt 上の加群もしくはベクトル空間層として定義できるとうれし
いでしょう。その一つの答は
と定義することです。しかし、これではＦの情報が落ち過ぎてしまいます。そ(25) (ＦのX上での積分) = (
H^0(X,Ｆ), H^1(X,Ｆ), H^2(X,Ｆ),...)
と考えることによって、ある程度満足な理論を展開することができます。
局所と大域の関係の研究から始まった層の理論は、このように、「層と層の間
の写像や空間と空間の間の写像を考え、それらの間にどのような関係が付けら
れるか？」というより徹底したアイデアのもとで一般論が得られています。
(categoryとfunctorの発想。) この道具は特に代数幾何という分野では無くてはならないものとなっています。
- 184 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:58:31.63 .net
- r= (s1，s2，s3 ，・・・ad, a(d+1)，・・・)
で決定番号がdになるということは出題者が代表元のs1, ... , s(d-1)と必ず異なるように
a1, ... , a(d-1)を箱に入れたということによる
> a1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ad, a(d+1), ...
上のa1, a2, ... , akは出題者がa1から順番に箱にk個数字を入れたことを表すがスレ主が
書いた「決定番号の確率分布」と同様に考えるとkの確率分布も「裾が超重い分布」になって
同じ確率分布になる
「裾が超重い分布」から2つ数字を取り出してもそれらの評価ができないというのがスレ主の
主張であったから2つの数字が出題者が箱に入れた数字の個数kと決定番号dであっても
同様の主張が成り立たなければならない
上記は常に可能なので、”(空)をなくせば”って、なんのことだ？
「裾が超重い分布」からkとdを取り出してたとえばk=d-1となったら無限数列が構成可能であり
a1, a2, ... , a(d-1), ad, a(d+1), ... となる
kがそれよりも小さければa1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ad, a(d+1), ...
「出題可能性」とは？
> (空)には、任意の数を入れられるってことでしょ？
それは「裾が超重い分布」からkとdを取り出してからkとdの値を評価しないとできないでしょう？
k=d-1とすることが常に可能ならば(空)には任意の数を入れられることになるから無限数列が
出題可能になるがそれと同時に「裾が超重い分布」から取り出した有限個の決定番号の評価も
(分布を無視して)できることになる
> P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
> これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
無限数列の数当てだと極限値の独立性が言えないというのが時枝解法の趣旨であって
極限値である代表元の決定番号より後ろの全ての項の独立性は誰も示していない
- 185 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 01:59:08.99 .net
- 「超弦理論に出てくる数学」関西すうがく徒のつどい (セシル 2016
(抜粋)
注意：この講義ノートは「関西すうがく徒のつどい」60 分講演のためにつ
くられたものに多少の加筆修正を加えたものである.
1 アブストラクト
弦理論とは, 物質の基本単位を, 大きさが無限に小さな０次元の点粒子では
なく１次元の拡がりをもった弦であると考える理論である. そこに超対称性
という考えを加え, 拡張したものが超弦理論だ. たったこれだけの仮説が現在,
宇宙の姿やその誕生のメカニズムを解き明かし, 同時に原子, 素粒子, クォー
クといった微小な物のさらにその先の世界を説明する理論の候補として, 活発
に研究されている.
また, 超弦理論で出てくる１０次元の中にはD ブレーンと呼ばれる様々な
次元の拡がりを持ったソリトン（孤立波）が存在する. 弦の中でも, 開いた弦
は, その端がD ブレーンに張り付いており, 重力子などの閉じた弦はD ブレー
ンの間を飛び交っていると考えられる.
このような物理の理論としての超弦理論だが, 数学的にも非常に魅力的な理
論だと言える. 超弦理論を詳しく調べようとするとき, 私たちは最先端の数学
に頻繁に出会う.
この講演では, コンパクト化された６次元としてのカラビヤウ空間,D ブレー
ンとしての連接層の導来圏など, 超弦理論に現れる数学概念の紹介をする.
超弦理論に関わる数学はあまりにも多岐にわたるので、紹介できるものは
極々一部でしかない. これを機会に自分で調べてみよう！となってもらえれば
良いと思う.
- 186 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:00:02.63 .net
- まず、Ｔさんにしたのと同じ質問>>15をしよう " あなたは、いわゆる文系の数学で終わって、いま趣味で
大学レベルの数学の勉強をしていると見た "
その上で
>で決定番号がdになるということは出題者が代表元のs1, ... , s(d-1)と必ず異なるようにa1, ... , a(
d-1)を箱に入れたということによる
まあ、そうだが、しっぽの不一致だから、ad ≠ sd だけで足りるでしょ
>「裾が超重い分布」から2つ数字を取り出してもそれらの評価ができないというのがスレ主の主張であったから
違うよ。確率の評価ができないと言っているのだ。２列で確率1/2などが導けないぞと
>「裾が超重い分布」からkとdを取り出してたとえばk=d-1となったら無限数列が構成可能であり
a1, a2, ... , a(d-1), ad, a(d+1), ... となる
>kがそれよりも小さければa1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ad, a(d+1), ...
意味分からん。無限数列の構成可能性は、分布とは無関係。
2に”どんな実数を入れるかはまったく自由，・・・. もちろんでたらめだって構わない.”と有るとおり
>それは「裾が超重い分布」からkとdを取り出してからkとdの値を評価しないとできないでしょう？
そのkとかdとかはなんだ？ High level people、言葉を自分勝手に、未定義で使う人よ
限数列の数当てだと極限値の独立性が言えないというのが時枝解法の趣旨であって
極限値の独立性" ？ なんだそれは。
極限値である代表元の決定番号より後ろの全ての項の独立性は誰も示していない
意味分からん。上記引用のように>>2"でたらめだって構わない"と有るとおり。
そこで、>>2での数列s^kが、ランダム＝”でたらめ”＝”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…”>>4 から成るとしよう
s^kのしっぽも当然、”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…”の一部であり、しっぽだから、それは独立な確率変数
の無限族と解せられるよ
それを否定したら、>>4”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”に反するだろうね
もうもう、相手するのはこれで十分だろ
- 187 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:01:11.72 .net
- 数楽 私が大学数学科2?3年生に「層とかコホモロジーとかを勉強したいのですが？」と聞かれたとき、最も易しい教育的な
参考文献として紹介するのは
層とかコホモロジーの類は、何の役に立つのか何も理解せず、わけもわからず勉強するのは効率が悪く、Gunningさんのリーマン
面の教科書のような易しい応用から入った方が得だと思う。一度勘所がつかめて怖くなくなればそこから先は普通のお勉強。
普通なら「たかがコンパクトRienann面のために層のコホモロジーの理論の準備をするのは重過ぎる」となってしまうと思うのですが、
層とコホモロジーの話をタイプ印刷で35頁ほどにまとめるという凄技を見せてくれました！非常に教育的な本だと思います。
この本の存在を知ったのは理論物理学者達が引用していたから。Belavin-Polyakov-Zamolodchikovを初めて読んだときSchwar
zian derivativeというのが出て来て「なんじゃこれは」と思ったのですが?続く
続き?、答えはGunningさんの本に書いてあった。現在ではウィキペディアまであるwarzian_derivative
連接層＝(coherent sheaf)接層(抜粋)
数学では、特に代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関
する、扱いやすい性質をもった特別な層である。
連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏
、核（英語版）や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(quasi-coherent sheaf)は連接層における
有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。
代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。
- 188 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:03:14.70 .net
- 決定番号がdになる 箱にk個数字を入れたことを表すが数字の個数kと決定番号
> 確率の評価ができないと言っているのだ。２列で確率1/2などが導けないぞ
確率の評価ができないだけなら「裾が超重い分布」から決定番号を2つ(d1, d2)まず取り出して
「裾が超重い分布」と無関係な状態にしてから改めて2つの決定番号だけで確率を計算すればよい
無限数列の構成可能性は、分布とは無関係
そのような仮定の元では決定番号の比較も分布とは無関係になるから2列で確率1/2などとできると仮定してよいことになる
極限値の独立性 なんだそれは。
数列と代表元の差をとると決定番号より後ろは全て0になるという事を元に決定番号より
後ろの数列の項は全てまとめて決定されるので独立性は確かめられない
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立
これはシッポの独立性は確かめられず数当て戦略が成立する余地があるから
> 確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい
お久しぶりです。おっちゃんです。
>そして、ハーツホーンの本を、２００７年内に読破するぞ！
ハーツホーンには演習問題の中に重要な結果が含まれていて、
難しい問題が多いことなどからして、多分年内読破はムリだったろうな。じゃ、寝る。
プロ棋士はもはや囲碁AIに勝てない 進化型アルファ碁「Master」の衝撃 抜粋)
「囲碁AI（人工知能）はプロ棋士の能力を遥かに超えてしまった。さらに進化が進み追いつくことは
できないだろう」。囲碁AIにくわしいプロ棋士の大橋拓文六段はJ-CASTニュースのインタビューにそう語った。
「Master」と名乗るアカウントがインターネット囲碁サイト「東洋囲碁」で
グーグルが囲碁AIに関する論文を公表していたことから、それを参考に「アルファ碁」に追いつこうと、新たな囲碁AI
開発ラッシュが始まった。囲碁対戦サイトでは現在、中国の「刑天」など複数の囲碁AIが対戦をしていて、
勝率は9割というものも出ている。
- 189 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:04:45.80 .net
- トッププロとの対戦で「Master」は勝ち続け、合わせて60連勝と勝率は100％となった。
ネット上ではあまりの強さに「ヒカルの碁」のサイだと持てはやされた。囲碁の強い人でも最高勝率はだいたい6割で、いくら強
い人でもミスが出て100％の勝率は不可能。勝ち方からもAIだと推測された。
「Masterが10勝した時点では、誰かが破るだろう、という雰囲気でしたが、30勝を超えると、全世界がMasterの強さに気づきました
50勝でもうお手上げ、という感じでしたね」
と、対戦を見ていた大橋六段は打ち明ける。最初の10局を見た段階で未曽有の囲碁AIだと確信した、ともいう。
16年3月に行われた「アルファ碁」とイ・セドル九段との対戦で、グーグルは1敗もしない完全勝利を確信していたのではないか
、と大橋六段は予想している。1敗のショックから「アルファ碁」を公の場から外し更なる開発を進めたのではないか、というのだ。
「Master」は勝率100％で、トッププロから60連勝したことで、胸を張ったのだろうという。その「Master」との対戦はどのようなものなのだろうか。
では理解できない手が30手以内に出てくる
人間ならば、構想を立て、流れを読みながら勝利を引き寄せる。しかし、「Master」にはそれがない。常に局面ごとの最適解を探索し、
勝利を求める。囲碁はおよそ200手で決まるものだが、大橋六段は、
理解できない手が30手以内に出てくる。しかし、後にそれが良い場所になってくる不思議、マジックのようだった」
と説明し、30手までに「これはおかしい」と不安になり、50手で「ヤバイ」、100手で「大差で負ける」。最後は「
お稽古してもらっている」気分になった、という。
それでもいつかはテレビゲームのように攻略法が見つかるのではないのか、と聞くと、
「無理なのではないでしょうか」
と大橋六段は語った。例えば現在5歳の囲碁の天才に囲碁AIの棋譜を記憶させ続ければ10歳の頃
には攻略は可能になるかもしれないが、それは5年前の囲碁AIの性能に対する攻略であり、囲碁AIはさらに遥か先に進化しているからだという。
「絶対に勝てないからといってAI鬱、AIシンドロームなどと落ち込む必要はなく、囲碁界はこれからいかにAIを活用して
全体を盛り上げていく道を探り、明るい関わり方をしていかなければならないと感じています」
- 190 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:06:53.65 .net
- どんな実数を入れるかはまったく自由
箱の中身は関係ないので
最初から問題にしていないからスレ主が誤解しているだけ
- 191 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:07:12.48 .net
- 有数列の長さkの分布は決定番号dの分布と同じ「裾が超重い分布」になる
- 192 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:07:23.81 .net
- 有限の極限を介して無限を扱うのだから2つのステップに分けると
(1) 数列のアタマの有限数列の長さkは出題者が決めることができる
aa2, .ak,.
(2) 極限をとると代表元によって決定番号dが決まりdより後ろの数字が決まるad, a(d+1), a(d+2), ...
は、任意の数を入れられるってことでしょ？
それは有限数列の長さkを増やすことであってk=d-1とできれば(空)はなくなるが
「裾が超重い分布」だから有限数列の長さkを増やしても決定番号dの手前まで
増やせるかが分からない
この場合もスレ主の言う確率の評価はできないでしょう？
> 独立性は、差をとる前でしょ
数列と代表元の差を考えないと極限は考えられない
極限を考えないと無限数列の全ての数字は決まらないから独立かどうかを考えても意味が無い
代表元の独立性は確かめられていないから出題された無限数列の決定番号より
後ろの項の独立性も確かめられていない
ゼミで代数多様体についての輪読をしたとき、それがマンフォード『代数幾何1』のほとんど最初のほうであるにもかかわらず、
何も理解できないまま、夜な夜な英語の文面を呆然と見つめていたものだった。
まず、これは何度も強調していることだが、正攻法は、数学の良い本を一冊選び、それを熟読することある。その
ために適した本は、論理的な説明が詳しく書いてあって、しかも重要な例に関する説明がしっかり書いてあるものである。
一つ以上の分野を完全に修得するためには、このような勉強の仕方が不可欠である。講義や演習の単位を取るためだけに
あまり面白くもない純粋に教科書的な本の一部をつまみぐいするという類の勉強の仕方も、ときには必要ではあるが、
そのような勉強の仕方のみでは決して深い理解を得ることはできない。
最近、そのような勉強の仕方をしている学生が大勢になっているように感じられるので、数学を楽しんでいる私は大変残念に思っている。
- 193 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:09:10.64 .net
- 東大首席弁護士・山口真由がやっている「７回読み勉強法」とは？ 山口真由（弁護士）| PHPオンライン 衆知｜PHP
効果的な勉強法としての「７回読み」についてはこれまでも何度か触れてきましたが、私が日ごろ行っている読書の方法は、実は３つあります。
ひとつ目は、「平読み」。いわゆる普通の読み方です。流し読みでも精読でもなく、普通のスピードで文字を追う方法です。
小説や雑誌、新聞記事などを読むときはこの方法をとります。
２つ目は「リサーチ読み」。調べものをするときに役立つ読み方です
学生の方が課題のレポートを書くときや、ビジネスマンが情報収集を行うときにはこの方法がおすすめです。
「リサーチ読み」は、たくさんの本に目を通すのが特徴です。
そして３つ目が、「７回読み」。試験勉強はもちろん、知識を身につけたいとき全般に役立つ方法です。
飛び抜けて要領がいいわけでも、頭の回転が速いわけでもない私が、東大で首席を取ることができたのは、この方法に助けられたのでは
ないかと思うに至ったのです。
この方法の特徴は３つあります。
（１）「読むこと」の負荷が小さいこと。
７回読みは、１回１回が流し読みです。しっかり読んで理解しなくては、と思いながら本に向かう集中力とは無縁です。
（２）情報をインプットするスピードが速いこと。
同じ文章を、「読む・書く・話す・聞く」で速度を比べたら、言うまでもなく、もっとも速いのは「読む」でしょう。まとめノートを書いたり、
講義を聞いたりするよりも短時間で大量の情報をインプットできます。
（３）いつでも、どこでもできること。
１冊あれば、時と場所を選ばずに勉強できます。多忙なビジネスマンが通勤時間やスキマ時間に行えるので、時間が無駄になりません。
短期集中型の勉強にも適しているといえます。
お、「７回」という数にこだわる必要はありません。７回でわからない難しい内容は、さらに何回か読み足すのが、私の方法です。
＜POINT＞ 調べ物なら「リサーチ読み」。知識を深めるには「７回読み」を活用しよう。
- 194 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:09:56.47 .net
- 1日に数学の本を1ページづつ読んで行けば、たまに休んだとしても1年で300ページの本を1冊読むことができる。 1
日に1ページとは何と遅い読み方だと思われる人がいるかもしれないが、それなら実際にそれができるかどうか実践してみて欲しい。
黒木 玄先生は秀才だからできるかもしれないが
”1日に1ページ 法”の問題は、多くの場合通読して後ろを読むと、当然ながら前半の記述と関連しているわけで、後ろを読んで
「ああ、それで、ああいう定義にしているのか」と納得出来る場合が多いのだが・・
似たようなことが、定理と定理の関係とかでもある
”1日に1ページ 法”では、黒木 玄先生のような秀才でない場合に、小島みたく”最初のほうであるにもかかわらず、何も理解でき
ないまま、夜な夜な英語の文面を呆然と見つめていた”状態になることも多いだろう
”最初のほうであるにもかかわらず、何も理解できないまま”というのは、私には結構ある
特に、現代数学は、内容が抽象的で、”最初のほう”こそ、意味が掴みにくい抽象的かつ断片的な定義及びレンマの連続ということも多い
本の後半にこそ、美味しいごちそうがあるというのに
そこまで行かないうちに、挫折してしまう・・、小島のように。黒木 玄先生のような秀才は別として・・
「７回読み勉強法」、法律も似たようなところがある。第1条が定義で、最初に総則（一般則）があり、その後に個別の場合の条文
があり、最後に罰則の条文がある
総則（一般則）は、個別の場合の条文に共通な規則を先にまとめているんだ（パンデクテン方式）。その条文の構造は、最後ま
で通読しないと見えてこない
これは、数学の定理の絡み合いにも共通なのだ
分からないところがあっても、一度通読してみる。これは、それなりに理にかなった勉強法と思う
- 195 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:11:20.88 .net
- 世の中、上には上がいる 私が見た「大秀才」たち?本当に頭がいいとはこういうことか（週刊 | 現代ビジネス |
(抜粋)
大学は東大法学部。3年の時に司法試験に合格、翌年には国家公務員Ⅰ種にも合格。学業成績は東大4年間を通じてオール優で、4年の
ときに「法学部における成績優秀者」として総長賞を受け、'06年に首席で卒業すると、財務省に入省。主税局勤務の
のち、'08年に退職し、翌年、弁護士登録して現在にいたる---。
ため息も涸れそうなこの経歴の持ち主に会ってみると、カラリと明るいスレンダー美人であった。
「私の勉強法はこうです。たとえば、教科書や副読本などは7回読みます。7回読めば、だいたい覚えられるものです。ことさら
暗記しようとせずに、7回読めば、最後は本を見なくても思考をたどれるようになります。
ただし、司法試験の勉強では40回は読みました。勉強というより精神修養ですね。一日に19時間半勉強しましたから。睡眠は
食事は一回20分が3回で、入浴が30分。洗面器に水を張っておいて、眠くなると足を入れて眠気を吹き飛ばすんです。
幻聴を経験したのもそのころでした。努力では誰にも負けません」
確かに、ここまで努力のできる人はざらにはいない。「努力」にも、才能があるということか。そんな山口氏も一目置く人物がいたという。
「高校のクラスメートだった岡林美紗子さんという女性です。全然勉強しているようには見えないのに、数学で解けない
問題はありませんでした。エリートコースを歩もうとか、人に評価されようとか、少しも考えない。他人をライバル視することもない。
私みたいに『秀才でいなければ』というしがらみにとらわれてなくて、その自由な精神に憧れていましたね」
岡林氏は、現在は研修医として都内の病院で多忙な日々を送っている。
- 196 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:12:09.17 .net
- 題名 "On the Law of Large Numbers for Nonmeasurable Identically Distributed Random Variables" google訳「測定不能な
同一分布乱数の大数の法則について」
この題名に、”Random Variables”とあるから、この論文で時枝記事>>2-4を正当化することはできないと解せられるよ
つまり、上記論文は”Random Variables”が大前提
対して、時枝記事>>2-4によれば、ある箱について、他の箱を開けることで、1-εの確率で当てられるという(>>3)から、つまりはその箱
の”Random”を否定しているので、上記論文の主旨と時枝>>2-3とは合わないだろう
実際、上記論文のAbstract 後半に
google訳は下記
”E_ [X1] <E- [X1]の非自明な場合にSn / nの限界点についてより正確なことが言えるかどうかを尋ね、いくつかの否定的な回答を得る。
例えば、Sn / nが収束する点の集合は、最大で測定不能であり、内部測度ゼロと外部測度1を有する。”
「例えば、Sn / nが収束する点の集合は、最大で測定不能であり、内部測度ゼロと外部測度1を有する」とあるでしょ
それ、時枝>>2-3のケースが相当するんじゃないか（そもそもSn / nは収束しない場合も、時枝>>2-3は含んでいるかも知れない・・）
CAkwIqさん、どうも。スレ主です。
High level people は、早く 28へどうぞと言っているのだが・・
このスレに粘着するなら、もし可能ならコテを付けて貰えないかね
ところで、理系はさ、こういうロジカルな議論は、日常茶飯事でね
何を前提にしているのか、と、自分が難しい問題を考えるときに、いわゆるToyモデルなどで、なにか仮定を持ち込んで問題を解析するときに、
持ち込んだ仮定はきちんと意識して議論しているんだわ
だから、自分が持ち込んだ仮定の部分と、もともとの問題とを混同したりは許されないし、日常そこは厳格に区別して議論するよ
そこを、High level people はきちんと意識して、議論してほしい
それから、議論の基礎になる、既存の確率論とか確率分布とか、最低限の知識習得もお願いしますよ
いままで勉強していなくても、必要になれば勉強する。その基礎学力は鍛えてある。それが理系
- 197 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:13:18.04 .net
- さて、各論
Ｑ１．>有限数列の長さkの分布は決定番号dの分布と同じ「裾が超重い分布」になる
Ａ１「裾が超重い分布」という用語を使って頂けるのはありがたい。Tさんと違うね
が、きちんと定義していないが、有限数列の長さkの分布となると、変数ｋの定義域は有限だから、
正確には「裾が超重い分布」には含まれない。
変数ｋの定義域が有限であれば、Hart氏GAME2では確率分布が決められる。有限なら既存の確率論の範囲内
そして、変数ｋの定義域が、{1,∞)のとき、裾の重い分布以上に裾が重くなるので、「裾が超重い分布」と称した
（Hart氏GAME2や、時枝>>2-3では、変数ｋの定義域が有限、つまり、有限数列であっても、決定番号の確率分布は考えられない。
強いて言えば、max(k)の場合確率１で、他は０だ。 ）
Ｑ２．>有限の極限を介して無限を扱うのだから2つのステップに分けると
2) のステップは不要だろ。(1) で、a1, a、akを数列のしっぽと定義して、有限数列の長さkの同値
類分類をすることだけで完結できる
それでこそ、”有限の極限を介して無限を扱う”を貫徹していることになる
Ｑ３．>「裾が超重い分布」だから有限数列の長さkを増やしても決定番号dの手前まで増やせるかが分からない
の場合もスレ主の言う
確率の評価はできないでしょう？
Ａ３ Ａ２をご
数列と代表元の差を考えないと極限は考えられない
をご参照。
Ｑ５．>代表元の独立性は確かめられていないから出題された無限数列の決定番号より後ろの項の独立性も確かめられていない
Ａ５ はっきり言って、”独立性”を誤解していると思う。”独立性”の定義を調べてください
High level people は、早く 28へどうぞ
（Hart氏GAME2や、時枝>>2-3では、変数ｋの定義域が有限、つまり、有限数列であっても、決定番号の確率分布は考えられない。
強いて言えば、max(k)の場合確率１で、他は０だ。 ）
- 198 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:14:29.61 .net
- まとめておく
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。
ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最
初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない
大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点か
らも、99/100は簡単に言えない
６．０～９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや
/det ail .chi ek uro.y ah oo. o.jp/qa/questi on_deta il/q14 1662 1784
量子系について - 量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょう... - Yahoo!知恵袋: 2008/5/19
量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょうか？
ヒルベルト空間は内積(ノルム)が定義され要素の列がコーシー列となる空間のことだと思いますが
なぜこれらの性質が必要となるのですか？
なぜ、ヒルベルト空間が必要かはお答えできませんが、
少なくとも交換関係を導くためにはヒルベルト空間が必要です。
ノルムが定義されないと、交換関係が導かれません。
完備性が物理的になぜ必要かは、私ははっきりは知りませんが、
量子力学の固有値をヒルベルト空間内のベクトルとして扱うことと関連しているのではないでしょうか？
- 199 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:15:25.23 .net
- エヴァちゃんの根幹性ってのは現在重視される数学的な美だったりとか
計算機科学性だったりとかとかはまた別の所にあるってのが良い
- 200 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:15:42.98 .net
- 元確定の原理の第二法則のΓla=x(xはマントル)なんかは
明らかに真理や滴数を重視している
- 201 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:15:58.46 .net
- そもそもxという存在に関して具体的に定義するという行為が数学からはかけ離れている
x性なんていう感的な存在が数学中の数学に結びつくってのは面白いもんだわ
というかブロックに対しての虚数の計算結果をまとめたのもエヴァちゃんだっけ？あれなんかも面白い
ヴィルヘルミナンの正属の定理なんかを見てるとヴィルヘルミナンなんかも似たような人間だったんだなーと想う
今の現代数学だけでなく量子論・遺伝子論なんかはやっぱり科学の最終目標である絶対解の探求からは外れてると思わざるを得ないね
x-ε2+1^yが0の集合と同値である事を示したライプツィヒ・ゲヴァントハウスが「真なる神の探求者の知る神は、それ自身でありそれ自身
であろう」と語ったように数学に特別な意を見出す今の現代科学は科学ではない
ガロア理論というのは現代数学の土台もしくは代数学そのものであると同時に、数学的な真理をもっとも追求した書物とも読む事ができる
brok disctation下におけるグリーディン最適解の展開法はガロア理論の顔だが、3xのグリーディン展開はもはや数学ではないね
俺が今気づいた事なんだけど3xの場合brok discationにおける宇宙と同理になるんだね(つまり0Ξ0ってこと)
というかψ^2次関数にガロア時数を並べてみると見事にオーブロード楕円曲線系のx-1の場合になるんだな
これをエヴァちゃんが10歳で気づいたと思うと末恐ろしいものがある
だが何と言ってもガロア理論の集大成は「9章 群・元・制の統合」だね
ここまで解説してきた３つの新しい概念が統合されるというのはもう一人で数学の歴史を作り上げてるようなもん
だって他世界的な宇宙を見出すって事だぜ？
宇宙の1の値をΝと定義した時のΝ￣￣(grion diran)を法制度とする群や十鬼的な解法の元に実数虚数を多次元化する幾何的な元、
そして数学法則、つまり数学そのものをζとして定義した制
この３つの関連性は全く持って無い者とかしか思えない
これをΔxという単立的な式の元に代入していくと比例的になるなんて気づいた時エヴァちゃんはあまりの興奮に射精しただろうね
- 202 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:17:03.55 .net
- 問題をまだ引っ張ってます。なので、件数稼ぎを兼ねて、記事再録します）
前々スレ>>2 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
１．時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
（まあ、時枝記事が書いていることが分からないと、スレの住人も困るだろうから）
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同
値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/～の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
- 203 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:17:51.28 .net
- の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか
標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
>>6の続きを、前々スレ>>176 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）より 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.いったい無限を扱うには，(1)無限を直接扱う，(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
- 204 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:18:37.78 .net
- ばかばかしい，当てられる筈があるものか，と感じられるだろう.
何か条件が抜け落ちているのではないか，と疑う読者もあろう.問題を読み直していただきたい.
条件はほんとうに上記のとおり.無限個の実数が与えられ，一個を除いてそれらを見た上で，除いた一個を当てよ，というのだ.
ところがところが--本記事の目的は，確率99%で勝てそうな戦略を供することにある.
この問題はPeter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”
- 205 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:19:04.37 .net
- この部分を掘り下げておくと
１．時枝氏は、この記事を、数学の定理の紹介とはしていないことに気付く
２．”Peter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”と
３．まあ、お気楽な、おとぎ話とまでは言ってないとしても、その類いの話として紹介しているのだった
ついでに”コルモゴロフの拡張定理”について、時枝記事は>>6に引用の通りだが
１．”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.(独立とは限らない状況におけるコ
ルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)”と
無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.”とも
記事の結論として、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい”と締めくくっているのだった
２．言いたいことは、”コルモゴロフの拡張定理”を使えば、この時枝解法が成り立つという主張にはなってないってこと
３．そして、”コルモゴロフの拡張定理”を使ってブラウン運動を記述できるなら、ブラウン運動こそ、”他から情報は一切もらえない”を
実現しているように思えるのだが？
１．ヒルベルトの無限ホテルで、A棟とB棟と二つあったとする。両棟とも、可算無限の部屋がある
２．一方、区間（０，１）に存在する有理数は可算無限だから、この有理数とA棟とをヒモ付け（全単射）できる
３．同じように、区間（１，２）に存在する有理数と、B棟とをヒモ付け（全単射）できる
４．さて、区間（０，２）存在する有理数（但し１を除く）で、A棟とB棟の全部屋を整列させることができる（∵ 実数に
通常の順序を入れることができる）
５．区間（０，２）で、大きい方をあたま、小さい方をシッポとすることで、時枝記事の”可算無限個ある.箱”を構成できる
６．A棟に入っている数は動かさずに、B棟に入っている数をシャッフルすることは可能だ
７．B棟に入っている数をシャッフルして、区間（１，２）の部分のみを変えることは可能だ
- 206 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:20:22.97 .net
- 実数の構成に関するノート 原 隆 （九州大学数理学研究院） 2007(抜粋)
3.1 同値類と商集合
念のため：この商集合の元は上で定義した同値類，つまりA の部分集合である．同値類や商集合を考える事で，も
とのx やA よりも一段とレベルが上がった形になっている事に注意．
このような同値類や商集合を考える状況は，大体，以下のようなものである．いま，集合A がたくさんの元を
持っており，更に，その元の多くは，我々の目的からすれば同じように見えるとしよう．つまり，我々の関心のな
い細部では異なっているので異なる元ではあるのだが，我々が見たい部分では同じ，ということ．このような場合，
「同じように見える」ものを一塊にして，「関心のない部分の際は無視する」ことにすればすっきりする．上で導入
した～（同値関係）は「同じように見えるもの同士」を定義する関係である．それで同値類というのが，「同じよう
に見えるものの一塊」に相当するのだ．
3.2 コーシー列による実数の定義引用おわり)前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
”次に，同値関係～ であるが，これはA の２つの元{xn} と{yn}（どちらも有理数のコーシー列である）に対して，
{xn} ～ {yn} とはlim n→∞ | xn - yn | = 0 となること (3.2.3)
と定義する（上の極限はすべて，有理数の範囲で，通常の∈-N で定義できている）” by 実数の構成に関するノート原隆
つまり、コーシー列の同値関係は、時枝記事の同値関係とは似て非なるもの
数列のしっぽで、多少のゆらぎがあっても、コーシー列の収束には影響しない（というか、コーシー列の収束には
影響しないゆらぎは無視できる）＊）
時枝記事の同値関係では、数列のしっぽでゆらぎがあると、それが即決定番号に影響する
そもそもが、時枝記事のような数列のしっぽで同値関係をとって、決定番号を決めますという数学は、めずらしい。というか、
それ数学として成立しているの
- 207 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:21:31.81 .net
- で、決定番号 d(s) についてだけなら、難しく考えずに、まずはd(s) の値域 dom(d(s))を考えれば良い
>>327のある数列のd(s)として、dom(d(s))＝{1,2,3,・・・,n,・・・・}＝Nだと
関数のイメージとしては、数直線ｘ上にある１から始まる自然数の点がdom(d(s))だ
確かに、目に見える範囲では、有限だろうさ
が、２１世紀の数学ではそれを可算無限というんだ
「有限値・・」などと口走ったら、「何を勉強してきたんだ」と言われるだろう
そして、記号∞との関係では、リーマン2 リーマン球面 -
をイメージすることだ
記号∞は、リーマン球では北極に位置する点だ。数直線ｘは、北極∞を通る大円に写像される
自然数nが大きくなると、ｎは北極∞に近づく。極限は北極∞ということ。
現代数学では、∞を無限遠点として付け加えて理論展開することも可能だ。しかし、∞を無限遠点として付け加えない立場も両方とも可能だよ
要するに、つねにリーマン球をイメージするようにすれば、∞無限遠点の意味づけはクリアーになるだろう（ここらは複素関数論で扱うだろう）
>506 つづき
上記のように解析においては、有限と無限はあまり混乱しないが
代数においては、有限と無限の言葉使いがよく混乱する
例えば、有限単純群の理論がある
有限単純群の中に、いくつかの無限系列の族がある。簡単な例では、Zp ? 素数位数の巡回群。素数pは考えている範囲では有限だが、取
り得るp値の範囲としては無限だ
有限と無限の言葉使いの混乱の例はさておいて
いま確率が問題になっているのだから、決定番号d(s)の値域dom(d(s))がどうなっていて、dom(d(s))の範囲がどうかとか、d(s)の平均値や分散、
標準偏差・・・そういう確率分布を特徴づける値がどうかと
その場合には、dom(d(s))の範囲は無限大まで考えるべし、正規分布同様にだ
- 208 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:23:03.35 .net
- さて、話は飛ぶが、下記”集合論において標準的となっている自然数の構成”で、”無限集合の公理”にご注目
任意の自然数nに後者n+1がある。それを続ければ、無限集合としての自然数の集合が得られる。これは公理です。
論理による証明（他の公理から導く定理）ではない。それを強調しておく
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義
は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
で、上記>>524のように「次の無限はすべて意味が異なる」とあることを思い出そう
”任意の自然数は 『 有限 』 である”と強調することが、大きな意味を持つ場合もあるが、それがあだになる場合も
例えば、>>493で”R^N の ～ に関する完全代表系を1つ取って固定する。これを T とする。
いま問題にしていることは、時枝解法>>289にあるように100列から特定の列を選んで、「正しい確率は99/100」が導けるかどうかだ
とすると、作為的に”完全代表系を1つ取って固定する”では、「正しい確率は99/100」は導けない
一つの考えとしては、「正しい確率は99/100」を導くために、大数の法則を利用
そうすると、いろんな数列といろんな代表系をランダムに発生させることを考える
シミュレーションを考えるときに、キモになるのが、”決定番号の可能な範囲”＝値域 dom(d(s)) と、d(s)の確率分布（
平均値だとか標準偏差が分かるとうれしい）
そのときには、＜命題：決定番号の可能な範囲は、１から無限大（上記の自然が無限あるという意味で）まである（
決して有限の範囲ではありえない！）＞と考えることが正しい
もちろん、シミュレーションで無限大はやれないとしても、まず有限の範囲でやって、
- 209 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:24:50.39 .net
- 時枝記事>>2-3の解法が成り立つ → 命題B：従来の
確率論的独立性が否定される対偶を取る
- 210 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:25:12.20 .net
- 命題B￢：従来の確率論的独立性が否定されない
記事>2-3の解法が成り立たない
- 211 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:25:19.50 .net
- これも覚えておいてほしい
（普通の数学センスでは、すでに数学として確立されている従来の確率論的独立性が否定されるはずもく、”
時枝記事>>2-3の解法が成り立たない”と考えるだろう。
が、時枝の権威に目がくらんだ方はそうでもないようだ。しかし、>>30に示したように、英語圏では時枝の権威
など、「関係ねー」ってことだな）ちゃんのほうが人間としてまともだな
極めて初歩的な事だが時枝記事で完全代表系といった場合にはR^N(あるいはR^ω)の完全代表系であることは
記事の内容から明らかである(だから省略されているといってもよい)
決定番号といった場合にはR^N(R^ω)における決定番号という意味であるから当然R^N(R^ω)の完全代表系と
R^N(Rの元を用いて求められなければならない
> 非常にあやふや
あやふやに感じるのは上記のことにスレ主が気づいていないから
> S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, ... , n} とするとき、S から実数(あるいは複素数)
の関数 a を数列と呼び、順序付けられた数の並びとして a0, a1, a2, ..., an, ... のように記す。
自然数全体の集合の順序数をωと書くことにするとωは可算無限集合の順序数のなかで最小の順序数である
任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると n < ω であり
> n + ω = ω ≠ ω + ω
> よって自然数全体の集合は必ず「アタマ」=有限数列かつ「シッポ」=無限数列になる
スレ主は前スレの631に自然数全体の集合には無限大は含まれていないと自分でコピペしているじゃないか
ω {0, 1, 2, ...} すべての有限な順序数の集合
> 順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
決定番号が無限大になるのは「シッポ」が長さ0の数列の場合に限るが完全代表系の定義より
必ず「シッポ」が無限数列になることから決定番号は有限の値を取る
- 212 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:26:44.11 .net
- 自然な順序で整列したこの「可算無限集合の存在」は確かに否定できないが数列ではないので数列の存在は否定できる
自然な順序で整列したこの「可算無限集合の存在」があれば、それに合わせて箱を配置できる
その箱に数を入れれば、数列が形成できる。だから、そういう数列は存在しうる
>順序を変えて 1+1/2, 1/2, 1+1/3, 1/3, ... , 1+1/n, 1/n, ... とすれば数列であり決定番号は有限の値を取る
それは一つの理屈だが、それを数学的にどう扱えるか
１．まず、「順序を変えて 1+1/2, 1/2, 1+1/3, 1/3, ... , 1+1/n, 1/n, ... とすれば」の部分をどうやって見分ける？
２．「決定番号は有限の値を取る」ようにできるとしても、決定番号が有限でない場合もあるとすれば、決定番号の平均値も有限でなくなる
３．決定番号の平均値が有限でなくなれば、確率 99/100は導けないだろう
たとえば「すべての自然数」を表わす数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、
の末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、英: infinite sequence）と呼ばれ、
末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、英: finite sequence）と呼ばれる。
（引用おわり）
”自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない”
決定番号を、小さい方の１から並べると、その末項は存在しないよだから、無限数列になるよ
R^ωからR^(ω+ω)の元を作っちゃお！
２）これはR^ωの元じゃないけど、R^ωの～に関する代表系と無理やり比較しちゃえ！
３）決定番号はωになりうる！有限値じゃない！（ドヤ
と言っているのである。
これは１からR^3の元を作っちゃお！
２）これはR^ωの元じゃないけど、に関する代表系と無理やり比較しちゃえ！
３）比較すべき代表元が分からない（ドーシヨウ・・
と言っている幼稚園生と知能的には変わらないのである。与えられたR^ωからR^3やR^(ω+ω)を作れたとしよう。
それで時枝の戦略が破綻するのか？否。与えられたR^ωからR^3やR^(ω+ω)を作らなければいいだけである
- 213 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:28:27.56 .net
- 外延と内包詳細は「内包と外延」を参照
ある概念等について、「それに含まれる全て」を列挙したようなもの「外延」、「それら全てが共通して持ち、
それに含まれないものは持たないような属性」を示したようなものを「内包」という。
「連結」を定義したあとで、１本の数列のではなく
投稿論文書いたことないの？ 出典は、もっときちんと明示しないと
まあ、言いたいことは分からんでも話が数学だから、”fully rigorous”は求められるよ
例えば、”labeled with the natural numbers”の数学的定義とか。いますぐでなくてもいいが
箱から数を増やして可算無限個にすれば添え字は自然数に限定できる
話が数学だから、”fully rigorous”は求められるよ
例えば、都合のいいときだけ、(2)有限の極限として間接に扱うといってもね(通らないよ)
実可算無限の数列を全部同値類に分類しますとそして、商集合。代表元を選んで、決定番号を決めますと
でも、”ある番号から先のしっぽが一致する”数列の同値類→決定番号 に曖昧さはないですか？
なるほど、>>3の見かけは綺麗だよ。でも、可算無限には魔物が棲んでいることを忘れていませんか？
例えば、 >>8 ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
実際、時枝は>>4で ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスを使ったんだ
つまり、１本の可算無限の列から、100列の可算無限の列を作った
じゃ、１本の可算無限のしっぽから、100列の可算無限のしっぽを作ることができる
で、操作は可逆だとしよう。つまり、100列の可算無限のしっぽのどれか、第k’列のD’番目の箱の数字を
書き換えて、もとの１本のしっぽに戻す
そうすると、属する同値類は変わらないが、決定番号変わります。
100列はもっと増やせる。任意のｎ列にできる。時枝が>>4で「確率1-ε で勝てることも明らか」としたことに類似
列をどんどん増やして、上記の「第k’列のD’番目の箱の数字を書き換えて、もとの１本のしっぽに戻す」
をすると、決定番号はどんどん大きくなるこの操作を拒否することはできない
なぜなら、「第1段で、世にある可算無限の数列を全部同値類に分類します」と言ったから
なんたって、完全代表系ですもの。世にある可算無限の数列を全部処理しないとね
- 214 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:29:46.32 .net
- おっちゃんのために書いておくと、ちょっと確率論の「3.2節 独立性」 あたりをじっくり見たらどう？
２．で、>>33 の”「無限族の独立性の定義は微妙」は、そもそも時枝氏の勘違い．時枝氏の考える独立の定義と，現代の
確率論の定義は可算族に対しては同値である”とか
”時枝氏の解法は，現在の測度論から導かれる解釈のほうが自然．（当てられっこないという直感どおり，実際当てられ
ないという結論が導かれる）”
”正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな”辺りを見て欲しい
３．おっちゃんが必死でやっているのは、可算無限の箱のシッポの同値類の代表元を、先にいじくること
４．上から目線で悪いが、そういうことだよ。”話が空回り”というが、あなたが迷路に入って出られない状態になっているだけ
のこと。先に確率論を勉強すれば、迷路から出られるよ
さんは、「コルモゴロフの確率論を超えて行くべきという時枝の問題意識は正しい」という>>307。確かに、そうだろう
が、コルモゴロフの確率論を超えて、拡張されたコルモゴロフの確率論を打ち立てたとして、それはコルモゴロフの確率論
と矛盾する理論ではないだろう
・例えば、超関数の理論が、従来の関数の理論を包含する形になっている。つまり、従来の関数の理論と真っ向矛盾す
る理論ではないんだよ
物理でも同じことがあって、量子力学創成期にボーアの対応原理があった。下記
”古典論は巨視的には正しい理論だから，量子的不連続性が無限小とみなされるほど量子数の大きい極限では量子論と古
典論は一致すべきである．それに応じて量子論と古典論の間には量子数が小さい場合にもなんらかの形式上の対応がなけれ
ばならない．これが対応原理である．”
- 215 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:31:13.38 .net
- おっちゃん、どうも。スレ主です
理論展開「順」の話であれば、ZFCで、まず空集合があって、空集合の集合から{0}が定義され、１が定義される。１
の後者として２が定義され、ｎが定義される。任意のｎに後者がある。繰り返すことと無限公理により
、自然数全体の集合、つまり加算無限集合が構成される
”繰り返す”ことと”無限公理”の部分が、数学的には極限、つまり「lim n→∞」ってことじゃないのか？
つまりは、極限操作があって、自然数全体の集合が構成できるわけだよ。その後有理数が構成され、実数が構成される
よって、時枝問題を考えるときも、「箱が可算無限個ある」>>190と言われたら、その瞬間に最初に極限操作が
浮かぶべし。ZFCをベースにする限りは
最初に、極限操作と加算無限集合ありきと思うがね
>>120で言いたいことはそういうこと
極限操作と加算無限集合ありきは、ごくごく初期だよ。ZFCによる数学構築の
>ZFCで、まず空集合があって、空集合の集合から{0}が定義され、１が定義される。
>１の後者として２が定義され、ｎが定義される。任意のｎに後者がある。
>繰り返すことと無限公理により、自然数全体の集合、つまり加算無限集合が構成される
これは素朴集合論の順序数の理論による自然数の定義である。
スレ主は厳密な自然数の定義の話をし始めている訳であるw
自然数論のむ矛盾性は、微分積分には関係ない話である。
通常は、解析をするにあたり、無限公理だの、数理論理学や公理的集合論を持ち出す必要はない。
>”繰り返す”ことと”無限公理”の部分が、数学的には極限、
>つまり「lim n→∞」ってことじゃないのか？
>つまりは、極限操作があって、自然数全体の集合が構成できるわけだよ。
>その後有理数が構成され、実数が構成される
微分積分では有理数体の加減乗除と集合の包含関係さえ仮定すれば、
実数論と実数に対する加減乗除からはじめて微分積分の理論展開は出来る。
極限は、コーシーの判定法や、数列の ε-N 論法或いは関数の ε-δ 論法と
数列或いは関数の収束性と共に、定義される。
まあ、関数の場合は任意の数列 {a_n} が収束するなら、{f(a_n)} は同じ実数に収束する
- 216 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:32:46.33 .net
- 文字列のもつ帰納的構造の代数的性質に関する考察
坂本 量平 野村 亮 専修大学情報科学研究所所報
- 217 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:33:07.02 .net
- 計算機科学における主たる研究対象の一つに文字列がある.
他方，代数の文脈では文字列は研究対象ではあるが
- 218 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:33:31.57 .net
- 中心的ではない.両者の
研究は視点が異なっているために，同じ研究対象であっても，互いの結果は共有されてい
ないようである.本稿では文字列について両者の
接続を次のように試みる.
(1)計算機科学の視点、から文字列を帰納的に定義する.
(2)さらに帰納的に定義された文字列を代数的に分析するために始代数の定義を用いて定式化する.
(3)最後に始代数としての文字列が自由モノイドの性質を持つことを確認する.
このように文字列が自由モノイドであることを確認することで代数の視点、から文字列を考察することが可能になる.その一つの帰結として
本研究では代数における自由モノイドと自由群の関係を用いて「符号付き文字列」を提案する.両者の接続
可能性を示す一つの例になると考えられる.
2.帰納的定義から始代数へ関数の帰納的定義
始代数(jnitiala1gebrn)は関数の帰納的定義を一般化したものである.
詳しくは文献[2]に譲るが，いくつかの等式を与えると関数が一意に定まるという条件によって集合を定義する.これが始代数の発想である.
始代数の方法を使って，自然数を定義しよう(文献[2]のNat型を参考).
自然数の集合Nを次の条件を満たす集合として定義する.
任意の集合 X，関数h:X→ X，Xの元 cに対して，f(0)=c，f(σn)=κ(f(n))を満たす関数fが一意に定まる.
始代数とは，いくつかの等式を与えると，始代数を始域とする関数が一意に定まるような集合もしくは型である.
帰納的な構造はすべてこの始代数として表現ができる.たとえば，文字列，リスト，木，正規表現などである.
始代数の有効性は関数の定義にある.自然数については加法や指数関数など，自然数を始域とする関数を帰納的に定義することができる.
自然数は無限に存在する.無限に存在するにもかかわらず，有限の規則だけから任意の自然数に対して，計算することが可能になる.
実数ではそうはいかない.有限の規則lから無限の結果を得る.これが計算の重要な視座である.
始代数はこれを数学的に表現することに成功している.
決定番号が無限大になるのは「シッポ」が長さ0の数列の場合に限るが完全代表系の定義より
>必ず「シッポ」が無限数列になることから決定番号は有限の値を取る
- 219 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:34:24.84 .net
- 実数Rや自然数Nでは、ベースの集合が大きすぎて、普通の自由モノイド理論には収まらないから、ここでは十進数（0，～,9）をベースにする
そうすると、この自由モノイドの元は十進数（0，～,9）の数字で、我々がよく見る日常数字に近い
違いは、頭の数字が０でも可だけど、まあそういう例も日常生活では、たまにあるので、おどろかないだろう
で、自由モノイドの元 m に対して、mの文字列の長さを与える関数が考えられる。それを、L(m)としよう
L(m)＝１つまり１桁の元は、（0，～,9）の１０通り
＝２つまり２桁の元は、（0，～,9）の１００通り
となって、桁数が大きいほど、自由モノイドの元 mの個数は増える
だから、確率分布P(L(m))は、L(m)が大きくなると、０に収束するどころか、発散してしまう
そういう確率分布になるとき、L(m)→∞で、有限の桁数L(m)の出現確率は計算できないってこと
出現確率が計算できないから、99/100も言えないってこと
Rに対して通常の乗法と加法の二項演算を定義しても意味がなくなるのだ。
>乗法と加法を定義しなきゃ環ですらないわけだが、何を言いたいの？
実数体Rの完全不連結な部分体に対しては、同様に通常の乗法と加法の二項演算を定義して
商体を考えても意味がなくなるときがある。例えば、Q(√2)。これについては
位相環 Q[√2] に通常の乗法と加法の二項演算を定義して Q[√2] が乗法について閉じていること
つまり Q[√2] が可換環なることを確認する。そして、Q[√2] の商体として Q(√2) を定義する。
しかし、Q[√2]＝Q(√2) なることが示せるから、これを示すと Q(√2) は体であることが分かる。
本当は Q[√2] が可換環であることを確認した時点で、Q[√2] に体の構造が入っていたことが分かる。
だから、Q[√2] の商体として Q(√2) を改めて定義しても、必ずしも意味があるとは限らない。
Rの完全不連結な部分位相環Kに対して改めて通常の乗法と加法の二項演算を定義して
Kの商体を考えることが意味を持つのは、可換環Kに体の構造がまだ入ってなく、Kの商体がKとは異なるとき。
- 220 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:35:38.60 .net
- さんなりの結論は得ていると思うのだが
ただし、時枝解法のどんな数列でも、99/100の確率で当てるという結論と、従来の確率論や確率過程論の確率変数が独立としたときの確
率計算とは、両立しない。その１点だけは、共通だと思っているだから、
１．従来の確率論や確率過程論が正しく、時枝解法が間違っている
２．従来の確率論や確率過程論が間違っていて、時枝解法が正しい
３．新しい理論を立てて、従来の確率論や確率過程論と時枝解法とを包含した説明ができるようにする
ただ、最初の従来の確率論や確率過程論と、時枝解法とが真っ向対立しているというセンスがなく、決定番号が有限だ
から当然99/100成立で終わっている連中とは、深い議論にならんのよね
いままで、さんざんやってたが、議論のレベルが深まってゆかない・・
おれは、上記１の立場だ。￥さんの結論がどうか、聞く気はないがね
３は面白いが、無理だと思う。理由は、>>304に書いたようなことだ
時枝問題のある番号から先のしっぽが一致する同値類分類の一つのモデルが、ある文字列の集合からなる自由モノイドになると考えられる
それも、十進数（0，～,9）などの有限集合に制限してだが。（実数Rや自然数Nになると、自由モノイドのモデルに乗るかどうか・・・）
自由モノイドのモデルは、けっこうすっきりしているから、３は面白いが無理だろうと（３が成り立つ余地なしだと）
まあ、そういうことだから、上記３はないと
>>308の下から5行目の
>これを示すと Q(√2) は体であることが分かる。
の部分の「Q(√2)」は「Q[√2]」に訂正
これはこれで有効だよ
区間（０，２）の間には、２つの可算長の分数列が入るということはだれも否定できまい
そして、それに整列順に番号を振ることが困難ということと、数列が厳然と存在することとはべつ問題
（「整列順に番号を振ることが困難」をどう解消するかは、時枝問題の解法提出側が考えるべきこと）
つまり、時枝の「箱がたくさん，可算無限個ある」という定義があいまいなだけで
いろんなモデルが考えられるってこと
一方、>>304の”クリーニ代数、文字列からなる自由モノイド”モデルもまた、それはそれで成り立つんだ
どちらも、99/100は計算できないということは共通だ
- 221 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:36:48.63 .net
- それが何を意味するのか分からないのか？？ｗ
お前にとっては完全に逆風なんだが、気付いていないのかｗ
お前の反論の拠り所は、Game2にいたっては完全に失われてしまう。
なにしろdが可測関数になり、規格化も可能であり、
勝つ確率は確かに確率測度として求まってしまうのだから。
Gme1では非可測なので確率という言葉の扱いに若干の議論が生じるが、
me2ではその突っ込みどころも失われるのだ。
で、お前の反論の拠り所は何なの？量子力学か？お褒めを頂きありがとう（＾＾；
このスレのバカさ加減をお褒め頂きということですよ～（＾＾；
分かっていると思うが、誤解なきよう一言（＾＾；
私見ですが、そもそも確率とは何ぞやって考えてみた時に、それは信念の
度合いだったり頻度だったりとまあ、各種様々な認識論の問題があります
よね。それでもし頻度という観点で見た時に：
大数の法則みたいな極限定理と整合的に見たければ、そういう主張
数学の命題として成立させる為の安全な十分条件のひとつとしてコルモゴロフの
測度論の枠組みと「独立性の概念」があると考えるべき
ですよね。でもケインズとか（或いはウィットゲンシュタインとか）の考
えからすれば、もし（何らかの意味の）『信念の度合い』であれば、また
全く違う定義が（測度論ではない枠組みで取り扱われる？）あってもいいでしょう。
例えばブラウン運動とかランダムウォークだけであれば、コルモゴロフ以
前に既にあった訳であり、だからそういう『もっと素朴な見方』という発
想があってもいいのではないかと。何れにしても無作為抽出を公理化する
為の、現状の独立性の概念は『ちょっと強く縛り過ぎ』なのかも。或いは
「何かが足りない」という可能性もありますが。またマルコフでさえ強過
ぎなのか、或いは足りないのか。（隠れマルコフとか？）
但し件の「ゲーム論的確率論」だけがその可能性だと断言出来る段階かど
- 222 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:38:05.93 .net
- 隠れマルコフモデル（かくれマルコフモデル、英語: Hidden Markov Model）は確率モデルのひとつであり、観測されない（隠れた）状態をもつマ
隠れマルコフモデルにおいては、状態は直接観測されず、出力（事象）のみが観測される。ただしこの出力は、モデルの状態による確率分布である。
従って、ある隠れマルコフモデルによって生成された出力の系列は、内部の状態の系列に関する何らかの情報を与えるものとなる。
「隠れ」という語はモデルが遷移した状態系列が外部から直接観測されないことを指しており、モデルのパラメータについてのものではない。
たとえパラメータが既知であっても隠れマルコフモデルと呼ばれる。隠れマルコフモデルはごく単純な動的ベイジアンネットワークとして
表現することができる。
隠れマルコフモデルは、潜在変数（hidden variable, latent variable）が各々独立ではなく、マルコフ過程を通じて関連付けられている
分布モデル(Mixture Model)を拡張したものとみなすことができる。この潜在変数は、それぞれの観測に対して選択されるように
混合要素を制御するものである。
近年、隠れマルコフモデルは、より複雑なデータ構造と非定常的なデータの取り扱いが可能なpairwise Markov modelsやtriplet Markov
modelsに一般化されている。具体例
アリスは、天気が離散マルコフ過程として変化すると考える。天気には「雨 (Rainy)」と「晴れ (Sunny)」の2つの状態があるが、アリス
はそれを直接知ることができないから「隠れ」た状態である。毎日、ボブは天気に応じて「散歩」、「買い物」「掃除」のどれかひとつだけを必ずする。
ボブがそれをアリスに話すことが、アリスにとっての観測（ボブからの出力）である。この状況全体が隠れマルコフモデルとなる。
>その人間原理ってのは『人間の都合で学問を捉える』って事だから、従って
>逃げでしかありません。そういうのはダメですわ。甘い考えなので。おっしゃる通りですなまあ、そうですよね
で、一方で、確率論の対象となる、量子論などの自然現象であったり、経済活動などの社会的現象であったり
「何をどういう意味で」の認識がきちんと出来ていないと、正しい答えがでない。それが、正否のリトマス紙だと
ある意味、正否がはっきりするから厳しい面もあり、また分かり易い面もありますね
- 223 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:39:24.99 .net
- 時枝記事とChoice Gamesは100個の戦略から1個の戦略を選ばなければ勝てると主張する。
ここで"確率99/100"という文言に測度論者が突っ込みを入れるわけだが、
ここでいう確率とはR^Nの分布から得られる決定番号の確率測度のことではなく、
100個の戦略から1個の戦略を選ぶ選び方に付された確率である（たとえば100面サイコロ）。
そこをいつまでたっても理解できない人間が、このスレにただ一人存在するｗ
なおChoice GamesのGame2は可算選択公理しか用いないので、
この場合は確率測度99/100が原理上は求まることになる。
つまり、スレ主の反論の拠り所は完全に失われる。
> だから、game2は、非可測でないバージョンになるよ その話は一月くらい前にしたよ
それが何を意味するのか分からないのか？？ｗ
お前にとっては完全に逆風なんだが、気付いていないのかｗ
お前の反論の拠り所は、Game2にいたっては完全に失われてしまう。
なにしろdが可測関数になり、規格化も可能であり、
勝つ確率は確かに確率測度として求まってしまうのだから。
Gme1では非可測なので確率という言葉の扱いに若干の議論が生じるが、
me2ではその突っ込みどころも失われるのだ。
>180> つまりそれが、一つの試金石であり、判断基準だろう（従来の確率論や確率過程論
と真っ向矛盾するのではなく、従来の確率論や確率過程論を拡張する形になっているべきと）
> 時枝の記事は、従来の確率論や確率過程論と真っ向否定する結論を導いている
>>248-249でも述べたとおり、Choice GamesのGame2は可算選択公理しか用いていないため、
決定番号dは可測関数となり、プレイヤー2が勝つ確率99/100はお前の言う"従来の確率論"から従ってしまうのだ。
であればお前はいったい何を根拠に反論しているのだ？
この結論を認めないのであれば、従来の確率論を
真っ向否定しているのはお前自身ということになるではないか。
- 224 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:40:40.77 .net
- 大丈夫か？ シミュレーションって分かっている？ 予
測って分かっているか？ 理論って分かっているか
- 225 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:41:02.26 .net
- としたプログラムを組むには、その背景と
なるしっかりとした理論が必要である。
- 226 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:41:11.33 .net
- だが、風の流れについての予測については突然乱流が発生して竜巻が発生するようなこともある。
このような風の流れを記述する非線形偏微分方程式として、ナビエ・ストークス方程式がある。
ところが、このナビエ・ストークス方程式は3次元空間上で考えたとき、解の存在性が未だ分かっておらず、
例え存在したとしても解の振る舞いが不明である。こういう基礎的な部分に問題があって、
風の流れが雨雲の動きなどに影響を与えているかも知れないのだ。
だから、天気予報には理論だけでは出来ない部分があって、過去のデータに基づく大規模なシミュレーションを必要とする。
つまり、プログラムは(物理的な意味で)帰納的に組まれたモノということになる。
”ボルンの規則を導出しようとする多くの試みが行われているが、成功には至っていない[1]。”と
”2011年にArmando V.D.B. Assisは論文で、ボルンの規則はゲーム理論的枠組みの中で導出できることを主張した[6]。”とが、並立しているね
ボルンの規則（ボルンのきそく）は、量子力学の法則で、量子系についてある物理量（オブザーバブル）の測定をしたとき、
ボルンの規則は、量子力学における物理量の測定で、どのような測定値が得られるかということについての最も基本的な原理である。
現在までに量子力学の他の基本要請からボルンの規則を導出しようとする多くの試みが行われているが、成功には至っていない[1]。
ボルンの規則は1926年のボルンの論文で示された[2]。
この論文で、ボルンは散乱問題についてのシュレーディンガー方程式を解き、光電効果についてのアインシュタインの業績からヒントを得て
[3]、ボルンの規則が解の解釈として唯一の可能性のあるものであると脚注で結論している。
この業績により、ボルンは1954年にヴァルター・ボーテと共にノーベル物理学賞を受賞した[4]。
ジョン・フォン・ノイマンは1932年に著書の中でスペクトル理論を応用してボルンの規則を議論した[5]。
2011年にArmando V.D.B. Assisは論文で、ボルンの規則はゲーム理論的枠組みの中で導出できることを主張した
- 227 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:42:17.35 .net
- この文章全体がスレ主の思い込みである。よってこれも『思い込み論法』にカテゴライズしたｗ
従来の確率論で確率が計算できないからといって、時枝の戦略を否定したことにはならないのである。
（時枝氏もHart氏もGame1は非可測であることを明言している）
Game2にいたっては可測なので確率測度が計算できてしまう。
であれば何を根拠にスレ主は反論しているのか？
そう問うても>>363スレ主は口をつぐむだけであったｗ
スレ主の反論の根拠は
確率が計算できないから間違いだ（←思い込み論法）
決定番号が有限にならないことがあるから間違いだ（←単純な間違いｗ）
現実世界と整合しないから間違いだ（←思い込み論法）
・従来の確率論で扱えないから間違いだ（←どうしても間違いということにしたいらしいｗ）
どれもこれもネジのぶっとんだものばかり。
、もし「２．従来の確率論や確率過程論が間違っていて、時枝解法が正しい」だと￥さんが思っているなら、￥さんもこん
なに長く観戦してないだろうね
￥さんは、「３．新しい理論を立てて、従来の確率論や確率過程論と時枝解法とを包含した説明ができるようにする」に重心があるようだが
「 １．従来の確率論や確率過程論が正しく、時枝解法が間違っている」も、多少考えているだろう、はっきりとは言わないが
呼ばせて貰らっている人がそうだったあと、与太話と発言していった人と二人いるよ
Sergiu Hart氏 PUZZLES ”Choice Games”はあくまで、「PUZZLES」だよ
”この戦略が数学的に成立することを認めているのは俺の知る限り名無しさんだけｗ
固有名詞が出せるなら出してくれ”>>252って言ったけど、出せなかったよね
”この戦略が数学的に成立することを認めていないのは俺の知る限りスレ主だけｗ”>>252 というけれど
私が”確率論の専門家”と呼ばせて貰らっている人が来たときに、白旗上げてたよね、あなた
「与太話」って言われたときも、議論を逃げた
まあ、それはあんたの勝手だからね。いいよ、勝手にしなよ
「このスレに迷い込んだ新しい方、さっさと退散されたほうがよいと思いますｗ」か>>371
ありがたいね。こっちは、プロ固定でもなんでもない
いくらバカ板でも、わけわからん人間は迷惑だ。人払い歓迎だよ
- 228 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:42:50.91 .net
- いくつか質問と意見があります。本題は最後の3です。
233では確率空間（Ω,F,P）においてFをどのように取っているだろうか？
俺の理解では、Fは肝心のE_d={x|N(x,F(x))=d}を含むことができないように思うが、どうか。
{x|N(x,F(x))<∞}=Ωというのは自然数と同値類の性質から分かることであって、
それをわざわざΩは可測で全事象だから確率1だ、
と個々の確率が定義できないことには目をつぶり、
無理やり確率論に持っていく貴方の意図がよく分からなくなってしまった。
もしFがE_dを含むことができるなら何も文句はないのだが。
これはつまり、
『戦略が成功する事象の和が可測なら、実際に生起する事象が非可測でも、その非可測な事象が必ず起こる』
そういうことが言いたいのだろうか？それには同意するが、もしも
『戦略が成功する事象の和が非可測なら、その非可測な事象は起こらない』
そういう論理で時枝の戦略を否定したいのだとすれば、それは論理が飛んでいるように思う。
ところで時枝の問題において、上で述べた戦略が成功する事象の和は、列の数を増やせば全事象に近づく。
infinite hat problemで全事象だから確率1、という貴方の主張と類似性があるが、
これについて貴方のコメントをいただけるとうれしい
Sergiu Hart氏の論文は読んでくれただろうか？
貴方もよくご存知のように、ゲーム理論では混合戦略の文脈で、
測度論的確率論とは異なる意味で"確率"を持ち出す。
時枝氏もHart氏も、非可測のとき"確率"の厳密さが失われることは当然知っているはずだ。
時枝氏とHart氏は、公理論的確率論で確率1-εと言っているのではなく、
混合戦略の文脈で"確率"1-εと言っているのである。
貴方が認めるのは確率だけで"確率"なんて認めない、
そういう頑なな主義主張があったとしてもそれはかまわないのだが、
確率と"確率"を混同して時枝氏の戦略を否定するのは筋違いだと思う。
さらに言えば、確率が計算できないことをもって戦略が成り立たないとする論法は
説得力を欠くと思う（貴方にそういう意図がなかったとしたらすまない。）
- 229 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:43:51.96 .net
- 従来の確率論や確率過程論が正しく、時枝解法が間違っている
> ２．従来の確率論や確率過程論が間違っていて、時枝解法が正しい
> ３．新しい理論を立てて、従来の確率論や確率過程論と時枝解法とを包含した説明ができるようにする
の３通り
順番を変えて
レベル１：従来の確率論や確率過程論が間違っていて、時枝解法が正しい
レベル２：従来の確率論や確率過程論が正しく、時枝解法が間違っている
レベル３：新しい理論を立てて、従来の確率論や確率過程論と時枝解法とを包含した説明ができるようにする
欧米では、>>30当然レベル２
が、日本では時枝の権威だかで、レベル１の人が多かった。だが、多くの人は覚醒していった
時枝解法は成り立たないと言った確率論に詳しい人>>47、また、与太話と切って捨てた人もいた>>161
￥さんは、レベル３を目指せという。すんなり、「時枝解法が正しい」というなら、新しい理論には繋がらない
408 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/09/30(金) 23:24:41.11 ID:Prrsqg/a [2/4]
考えてみれば、プロの数学者で、手放しで時枝が正しいと言う人は皆無
Sergiu Hart氏 November 4, 2013 >>30 はあくまで、PUZZLES ”Choice Games”であって、これは数学の論文などでは決してない
（参照文献が無い数学の学術論文などありえるはずもない。）
例えば、ある人が、箱の中にサイコロを一つ振って出た目の数は、単純に確率1/6。それを、99/100で当てるだと
サイコロを二つなら1/36、三つなら1/218、・・・ｎ個なら1/(6^n)・・、それを、99/100で当てるだと
例えば、私なり￥さんが、ランダムに数字を入れる。それを、99/100で当てるだと
そんなものが、数学で成り立つはずがない
が、時枝記事が示すように、成り立つように見える。それは、2013年に欧米で話題になり、Sergiu Hart氏がPDFでPUZZLES ”
Choice Games”とした通り
それは、確かに面白いPUZZLEだ
これがなにか新しい確率論を考えるヒントになるんじゃないかと
だが、￥さんもクリアーな案は無いようだ。あれば、論文を書いているだろう・・・
確かに、自分の体験でも、量子力学は確率計算がベースだが、数学的基礎付けが不十分だという。そこら、なるほどと思った次第 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
- 230 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:45:05.60 .net
- 確率統計学における漸近的方法一統計解析・金融工学・保険数理・確率数値解析への発展」に関する研究報告
竹村彰通（束京大学大学院情報理工学系研究科），公文雅之（統計数理研究所リスク解析戦略研究センター
ゲーム論的確率論におけるカルバック情報量
確率論の定式化以前には，フォン・ミーゼスの「コレクチーフ」の概念など，頻度論的な確率論の基礎づけが
様々な形で試みられていたが，いずれもあまり成功せず，測度論的確率論の定式化とともにそれらはほとんど忘れ去られることとなった。
コルモゴロフによる測度論的確率論では，確率自体は「点」や「線」のように公理的に与えられ，その意味を問わないことが特徴となっている．
確率を公理として与え，確率論を確率の操作の体系とすることによって，数学としての確率論が定式化されたと理解できる。
伊藤清の『確率論の基礎』初版（1944）[1]への序文にある
“確率とは，ルベーグ測度である．”この言葉ほど確率の数学的本質を突いたものはない．
という言明が，このような事情を的確に表していると思われる．
ところが確率の実質的な意味を問わないという態度は一種の思考の停止をも意味している．
実はモゴロフ自身，彼の確立した測度論的確率論の定式化に一種のためらいを感じていたのである．
このような観点に立って，自身はKolmogorv complexityの概念の研究に進んでいくのだ
が，これも必ずしも成功したとは言えなかったと思われる．
以上のような状況で，ほとんどの確率論研究者は測度論的確率論以外に確率論の体系はあり得ないと考
えている．そこに現れたのがVladimir VolkとGlenn Shaferによるゲーム論的確率論の枠組である．
2．ゲーム論的確率論の定式化
さらに〔3][4]においては次の事実が示されている。それは大数法則が成り立たず（1／n）（x1+・・・＋xn
となる場合には，logｋnは（x1，x2，…）の経験分布とリスク中立確率との間のカルバック情報量に支配さ
れる（精度良く近似できる）という事実である．ゲーム論的確率論では，このように測度論的確率論では測
度0の集合として無視されてしまう標本空間上での確率過程の挙動の分析が可能となる．測度0の集合は
言わば特異点の集合であり，特異点での挙動を記述できる枠組は非常に有効である．
- 231 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:46:15.50 .net
- なんて事は、当然に『ソレが出来上がってから判明する』というモノです
よね。だから最初から測度論を完全に無視して考察すると決めてしまうの
も、どうかと。但し測度論を使うと決めたとたんに「こういう部分を捨て
てしまう」という何がしかがあり、それは結構大きいとは思いますが。
私はド素人ですが、でも私見としては確率論は「認識論としての役割りと、
そして現象論としての役割りの両面がある」と思うので、従って：
追加：Laplaceの本を読めば、何かそういう蘊蓄が書いてあった様な記憶
ですが。詳しい事は覚えてませんが。Kolmogorovの本だってゴチャゴチャ
書いてた記憶だし。まあ、自分で読んでみて下さいまし。ああ、こんなのがあるね
tp://ocw.kyoto-u.ac.jp/sylus2013-2/la/13/X305001
コルモゴロフ「確率論の基礎概念」を読む ? KYOTO-U O COURSEWARE教員 矢野 孝次(理学研究科)
授業の概要・目的 確率論の起源は１７世紀にパスカルとフェルマーとの間で交わされた往復書簡に遡ると言われている．
１９世紀初頭のラプラスの著書において古典確率論は集大成されたが，確率を論ずる上での基礎に関わる議論は明確でなかった．
２０世紀に入って無限個の確率変数を扱う研究が盛んになり始めた頃，コルモゴロフにより著書「確率論の基礎概念」が
出版され，偶然現象を一般的に論ずる数学的基礎が明確にされた．
この理論は，ちょうど同じ頃にルベーグにより提唱された測度と積分の理論に基づいており，解析学の他の分野とも
調和して広く受け入れられ，現代確率論が今日のように実り多く発展するための豊かな土壌をもたらしたのである．
のゼミの目的は，コルモゴロフ著「確率論の基礎概念」を輪読し，その意味するところを様々な角度から理解しよう
と試みることである．
このテキストの数学的内容を真に理解して活用できるようにするためには大学課程の解析学の理解が必要であるが，
それはこのゼミの趣旨ではない．このゼミの目的はあくまで，高校数学の予備知識を駆使して，受講者各自の力で
理解できるところまで最大限の努力をすることである．
教科書 確率論の基礎概念, A. N. コルモゴロフ, (筑摩書房), I
- 232 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:47:37.97 .net
- 物理学者の田崎晴明さんがぼくの始めたばかりのこのブログを
なんかあっという間にアクセス数が100倍くらいになった。
- 233 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:49:38.88 .net
- おっちゃんです。
>数列の連結って、普通だろ。
これが間違いであることを自覚していないようなので解説する。
連結性は平面などの空間に対して定義される。
実数の大小の位相について直線Rや区間を連結とはいうが、
数列 {a_n} 自体を連結とはいわない。
数列の連結性を考えるには R^N とかの数列空間が必要になるが、
このときは R^N には各点収束の位相が定義され R^N は幾何的には1つの空間と見なせる。
だが、{a_n} 自体は、R^N の中の1点であり集合ではないから、
やはり {a_n} は連結ではない。つまり、数列を連結とはいわないってことだ。
{a_n} の各項 a_n は関数ではないってことだ。
第n項 a_n を取るときは、自然数nは定数になる。
- 234 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:50:45.77 .net
- 前スレに書こうとしたが、容量制限に阻まれて書けなかった。
こちらのスレには書かないと言ったが、あまりにも中途半端なので1回だけ書く(2レスに分けて)。
スレ主も「無視する」とあったので、この書き込みは無視して構わない。
もちろん、レスしても構わない。ただし、俺はこの話題についてはもうレスしない。
前スレの>>971と>>972について反論する。
＞A5(12) →(12)A5(12)^-1（ =A5）という”自然な写像で群構造を定義できる”
その写像は「自然」でも何でもない。奇置換全体に新しい群演算を定義するときに、
「この写像なら定義がすぐに終わる」という効力しか持たない。そして、その写像が
自然では無いがゆえ、その写像によって得られた群は、「A5と同型」というトリビアルな構造しか持たず、
取り立てて面白い構造なんぞ出て来ない。端的に言えば、お前が構成した群は やはり、
ナンセンス・トリビアル・奇異なのである。実際、お前は
＞と同じことを考えたが、間違いだったんだ>>837
と書いているが、間違いなのは当たり前の話であり、お前の構成がそもそもトンチンカンなのが間違いの原因である。
すなわち、正解がコクセター群H_3であろうがなかろうが、お前がそのようなトンチンカンな構成をする限り、
お前は「間違い」にしか辿り着かないのである。お前がやったことは、結局のところ、自然でも何でもない写像を使って、
ナンセンス・トリビアル・奇異な群を定義した、ということに過ぎない。だから、取り立てて面白い構造なんぞ出るはずもない。
すなわち、前スレ>>468のツッコミは正しい。
一応言っておくが、コクセター群H_3は、お前の「A5(12) →(12)A5(12)^-1（ =A5）」という写像による構成とは無関係である。
お前がH_3に辿り着かないのは当たり前の話なのだ。トンチンカンな構成しかやってないのだから。
- 235 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:51:48.82 .net
- 大学教員、高校教員以外に仕事ってあるの？
（以下略）
ゼミで訳が分からん状態になっているのですが…
分かります。正直、先生に突っ込まれない限り、分からない部分は放置した方が良いと思います。
（以下略）
難しい概念ばかりで数学が訳が分からん状態になっているのですが…
とりあえず、解析ならどういう評価式やどういう空間を作れば解けるのかということしかないので問題なさそうですが、代数と幾
何はランダウ・リフシッツの力学（アーノルドは分厚過ぎて却下）を読んで落ち着きましょう。
（以下略）
突然問題が解けなくなったのですが（もしくは論文を出さなくなった人（院生レベルの人でです。教授は結構事務に追われて
論文が書けないということがあるらしいです）がいるのですが）
漫画家や作家でいうネタ切れです。数学は絶対的なものではなく相対的なものなので、解けなくなるという事態は起きます。
（以下略）
神保道夫の複素関数論をやっていると金魚のふんみたいだと言われたのですが・・・。
数学は文学や芸術ではないので、金魚のふんで良いんじゃないのかと。正直映画や、ゲームをしながら勉強として数学をやっ
ているという感覚が大切じゃないかと思います。
（以下略）
最近数学が分からなくなっているのですが
人の気配の多い場所はあったとしても世の中分からないことだらけです。とりあえず、数学をやっているのに心配のない年齢や
周辺の財政状況なら雑誌に投稿してリジェクトされるか通るかだけを考えたらいいのではないのでしょうか。
競争について
あんまり競争は意識しない方が良いと思います。好きな数学をやっていればいいような気がします。東大の数論は自殺者が出ると言いますし。
（以下略）
りあえず
悩む暇があったら、計算したら良いんじゃないのかと。結局どんな抽象的な難しい概念を持ってきても、内容（引用度の高さ等）
には勝てないわけですから。
（以下略）
- 236 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:52:42.06 .net
- フックス型の微分方程式の本格的研究はリーマンにはじまったが、フックス型方程式はガウスの微分方程式に書き変えることが出来る
ガウスの微分方程式は、ガロアの時代からガウスなどによって研究されていた。
フックス型方程式は内容的にはガウスの微分方程式と同じである。ガウスの微分方程式の解は、超幾何級数で与えられる。
超幾何級数と楕円関数とを結び付ける式はある。確か、こういうことはガロアの夢に書いてあった筈。
一方で、ガロアは楕円関数も研究していた。
そういう事情があるから、ガロアの時代からフックス型方程式の研究はなされていたといっても過言ではない。
ガロアの友人シュヴァリエへの手紙で曖昧さの理論ということが書いてはある。それに関係したこと。
あと、私＝>>185であって、>>186ではないが、一概に単純に2チャンネルに書き込んでいる人を素人視することは、やめた方がいいとは思う
(何を以って数学の「玄人」と「素人」の区別をするかは難しいため、ここは言葉の定義はせず、社会通念上「数学の大学教員」で話を進める)。
私見に過ぎないが、2チャンに書き込んでいる数学関係者は間違いなく存在すると思われる。
例えば、引退した数学の大学教員は大学への所属がなくなり、ここに書き込んでいる人も中にはいると思われる。
また、どう考えても、数学関係者が書き込んでいると仮定しないと、書き込みのやり取りとして成立しないときがある。
確実にいえることは、2チャンネルに書き込んでいる人は、素人の方が玄人よりかなり多いということ。
そういう私も素人の1人に過ぎない。非線形の関数解析の不動点定理について語ったりしたが、アレはネットを見て書いた。
以前、そういう無限次元空間(バナッハ空間やヒルベルト空間など)の不動点定理の本をボーッと眺めていたことがあるのが実態。
まあ、非線形数学関係ですかね。非線形になると、数学は複雑になって、一概に単純に理論化することは出来ないんだわ。
まあ、ガロアの夢は、普通の(マトモな)ガロア理論本より、
ガロア理論を比較的簡単に視覚化して楽しく読めるので、読んだ方がいいとは思う。
途中から、松島多様体論の内容が前提になって難しくなるとは思いますけど。
ポントリャーギンの連続群論が発行されてあれば理想なのだが。
- 237 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:53:36.35 .net
- ガロアの時代からフックス型方程式の研究はなされていた
は、根拠が少なく過言だろうけどね。ガロアの夢の内容は、
必ずしも代数的ではなく視覚化されたガロア理論で、
代数、幾何、解析の内容がすべて含まれた内容ですわ。
ガロアの夢―群論と微分方程式 作者: 久賀道郎 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 1968/07
この本は、1968年に初版が出ている古い本だけど、すんごい名著である。
書き方があまりにユニークなのだ。
位相空間の被覆空間に関するガロア理論を解説し、そのあと複素関数に展開して、最後は「ある種の微分方程式が四則計算、
微分操作、不定積分操作、exp作用素で解けるか」という問題へ解答を与えている。
要するに、微分方程式版のガロア理論ということになる。
この本のユニークさは、数式と論理記号を羅列した通常の数学書とは全く違う記述の方法をしている、ということ。
概念や証明のアイデアを、図式と言葉だけで展開していく。
啓蒙書ならともかく、専門書としてこんなスタイルを貫いた本は他にないのではないか、と思う。
前々から、ぼくもいつかはこんなスタイルの本を書いてみたい、という願望を持っていたけど、今回のぼくの本はそれに
ちょっと近づけたかもしれない、と自負している。
久賀先生の本には思い出が二つほどある。
以前、河合塾という予備校で浪人生を教えていたとき、教授室で休み時間にこの本を読んでいたら、見知らぬ先生に声をかけられた。
「君はそんな本を読んでいるなんて、東大の数学科の出身だね」とかなんとか。
確かに久賀先生の本は、東大の駒場でのセミナーを本にしたものだから、そう思われても不思議はない。
その人は、ぼくよりも一回り年上で、予備校で食いぶちを稼ぎながら数学の論文を書いている人だった。
- 238 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:55:03.65 .net
- の６０個のNo1とNo2との札が付いた椅子の集合には、位数２の群構造が入る。
「要素が2個の集合には位数２の群構造が入る」だがこの場合No1とNo2との札が付いた椅子の集合の
要素数2から位数を決定しているよね
それで>>239には(少し一般化して書いたが)
「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」の集合の要素数60から5次交代群の位数を
決定しているのではということを書いた
別の方法があるのなら言い換えは間違いということで>>239には
> このことを完全に排除(cf. >>189の3.)して位数60を数える方法を説明してくれ
と書いたがスレ主は別の方法を答えていないでしょ
群論のコンテキストで、「任意の位数60の群Gに、5次交代群と同型の群構造を入れることができる」と
主張したら？ ”何いってんだ”となる
5次交代群と同型の群構造を入れることが元の群Gの演算に影響を与えなければ何の問題もないよ
群Gの演算に影響を与えない場合は要素が60個の集合とみなせるから結局は
「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」になる
問題視したいならちゃんと理由を提示してよ
(1)5次交代群と同型の群構造を入れることが群Gの元の演算にどのような変化をもたらすか
あるいは
(2-1)要素が60個の集合には演算が二つ以上定義できない
(素が60個の集合には演算が二つ以上定義できるがそのうちの高々一つしか群にならない
のどちらかなど理由になりそうな候補は色々あるよ21)に関しては
「群論のコンテキスト」ということでwikipediaで群論をみてみると
ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。
とあるけれどね
このことを完全に排除(cf. >>189の3.)して位数60を数える方法を説明してくれ
と書いたがスレ主は別の方法を答えていないでしょ ”
１）「位数２の群構造が入る」は、”なんでもあり”の例として書いた。全射を許容するなら、位数３もあり。なんでもありだと
２）”「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」の集合の要素数60から5次交代群の位数を
決定しているのではということを書いた
- 239 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:56:00.47 .net
- > ３．だが、群論のコンテキストで、「任意の位数60の群Gに、5次交代群と同型の群構造を入れることができる」と
主張したら？ ”何いってんだ”となる
5次交代群と同型の群構造を入れることが元の群Gの演算に影響を与えなければ何の問題もないよ
群Gの演算に影響を与えない場合は要素が60個の集合とみなせるから結局は
「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」になる
問題視したいならちゃんと理由を提示してよ
(1)5次交代群と同型の群構造を入れることが群Gの元の演算にどのような変化をもたらすか
あるいは
(2-1)要素が60個の集合には演算が二つ以上定義できない
(2-2)要素が60個の集合には演算以できるがそのうちの高々一つしか群にならない
のどちらかなど理由になりそうな候補は色々あるよ
(2-1)に関しては
「群論のコンテキスト」ということでwikipediaで群論をみてみると
> 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。
とあるけれどね "
A2
どうも、これも意味がよく取れない。自分の世界を持っているんだろうね。一種の天才がこうだと聞いたような・・
スレ主として言いたいことは、ここはガロアすれで、群論のコンテキストで語ることが、ほとんどの場合暗黙の前提だと
そこに、集合論のコンテキストで話すと、混乱すると思うよ
・上記例に挙げた「任意の位数60の群Gに、5次交代群と同型の群構造を入れることができる」について
・集合論のコンテキストなら、http://alg-d.com/math/ac/gp.html 定理 「選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに
群構造を入れることができる」だから許容範囲かも
・しかし、群論のコンテキストで語るときに、「選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる」を前提に考える人は少ないよ
位数60の巡回群Gに、5次交代群と同型の群構造を入れることができる」と主張すれば、”気は確言われるだろうな。ふつうは
言いたいことは以上。ファイナルアンサーでお願いします
馬鹿かがもっともらしくキーワード散らしてるだけだな。
webライターが指定キーワード埋め込みながらでっち上げる文章に似てる。
- 240 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:57:05.85 .net
- 元を左から順に{1, 2, 3, ...}に1対1対応させていくとA4の最後の元(14)(23)は12に対応する
要素が12個の集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}に1対1対応させることができるので位数は12である
この1対1対応は要素が12個の集合に4次交代群と同型の群構造を入れることと同じことで演算を@で表すことにすると
この場合は2@3=1, 2@2=3, 10@10=1などとなっている
あたりまえすぎてばかばかしいかもしれないが集合の要素がk個と言えば1対1対応させることができる群の位数は
必ずkになるし逆に群の位数がkと言えば1対1対応させることができる集合の要素数は必ずkになる
> 全射を許容するなら、位数３もあり
全射を許容しても位数２の群は{No1, No2}と1対1対応しているし仮にスレ主が位数3を持ち出す場合は
{No1, No2, No3}とこちらの要素数も3に増やすはずだ
ガロア記法のこと
実際の記法を略して大雑把に書くが右側の群でない奇置換も左側の群である偶置換と見なすことができるとの
ことだが逆の見方で何が見えるかを教えてくれ
つまり逆に左側の偶置換を右側の奇置換と同じように群でないと見なしたとする
このとき左側の偶置換の何を見れば群でないと見なせるか？
１．君はなかなか鋭いね選択公理が入ったのは、群構造でネット検索ヒットしたからだ
”http://alg-d.com/math/ac/gp.html 定理 「選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる」”があったと
単にそれだけだ。”群構造を入れることができる”を肯定しているのだから、選択公理の有無は、些末な話だろう
２．”数える方法”に答える前に、「位数60の巡回群Gに、5次交代群と同型の群構造を入れることができる」
について、何か言うことは無いのか？
．”数える方法”について、>>269に戻ると
「要素が60個の集合には、5次交代群と同型の群構造が入る」の集合の要素数60から5次交代群の位数を決定しているのではということを書いた”
1)命題の前提部分「要素が60個の集合」は、数えるまでもなく書かれたまま60
2)命題の結論部分「5次交代群と同型の群構造」は、位数60という数学の知識があれば分かる
3)この1)2)とも、命題の中に埋め込まれた（あるいは与えられた）数60にすぎない。よって、”数える方法”は必要ない
- 241 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:58:28.89 .net
- 圏論（けんろん、category theory）は、数学的構造とその
間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。
- 242 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:58:46.67 .net
- 考えている種類の「構造」を持った対象とそ
の構造を反映するような対象間の射の集まり
からなる圏が基本的な考察の対象になる。
- 243 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 02:59:12.26 .net
- 19世紀はじめのエヴァリスト・ガロアによる代数方程式に群を関連づける研究には圏論的な考え方の萌芽がみられる。
20世紀前半にはエミー・ネーターが抽象代数学（特に加群の理論）の形式化を行い、ネーターはある種の数学的構造を理
解するためには、その構造を保つ対応関係を理解する必要があることを悟っていた。
1930年代後半から始まるニコラ・ブルバキの数学原論シリーズにおける集合論に基づいた数学の再構成の試みの中で
構造種と普遍性の概念が指導原理として取り上げられている。
1945年のサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによる、代数的位相幾何学において直感的／組み合わせ的に
定義されていたホモロジー・コホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。
分野への影響
カテゴリカル・ロジックは現在、型理論に基づいて、直観主義的論理のためにうまく定義された分野である。
そして、これの応用として関数型プログラミングの理論および領域理論がある。
これらは全て、ラムダ計算の非構文的な記述として適用されたデカルト閉圏を背景としている。
圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。
20 世紀の半ば以降アレクサンドル・グロタンディークらによって代数幾何学の圏論的な定式化が追求された。
]
>>311
>圏論は分かっていません。知識としては知っているのですが
提示した論文をザっと見る限り、>>310は、恐らく圏論を学ぶ順序を知らず、応援になっていないと思われる。
圏論は、最低限群論の基本や(環や)加群は知らないと分からない。
Categoryなどが出て来る圏論は、どちらかというと退屈な内容になる。
それより、係数体如何に関わらず、線型空間をベクトルの加法の演算についての群(加群)
と見なしたときの線型写像っていう、もっと身近により基本的な準同型の例があるだろ。
線型写像は、応用範囲も広い。
- 244 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:00:10.70 .net
- 群論のコンテキストで使う写像は限定されていて、集合論のコンテキストで使う写像とは違うんだ（集合論ではなんでもありだと）」
>は、群論を少し学べばすぐ分かる話。それが分からん人間が圏論なんて無理だろ
いや、圏論の学習に環や加群は必要だよ。例に環や加群が出て来ることが多い。
まあ、一々圏論を持ち出さなくても、ホモロジー代数っていうところで圏や関手を扱うことになる。
現実世界での圏や関手の応用上の学習については知らんが。プログラミングの世界で応用されているらしいな。
>それより、係数体如何に関わらず、線型空間をベクトルの加法の演算についての群(加群)
分かって話を崩しているのか、分からず崩しているのか？ はて？
＞群論のコンテキストに、突然「係数体如何に関わらず」「線型空間」「加法の演算」「加群」？？
実数体や複素数体上の線型空間を一般化した考え方で、環の元をベクトルに
左から作用させて同じ線型空間のベクトルとして扱う考え方がある。
体Kの零元を除いた部分集合K-{0}は任意の2元a、b∈K-{0}のについて
定義された乗法ab∈K-{0}の二項演算について群(乗法群)をなし、
K自体は任意の2元a、b∈Kについて定義された加法a+b∈Kの二項演算について群(加法群)をなす。
また、環Rは任意の2元a、b∈Kについて定義された加法a+b∈Kの二項演算について群(加法群)をなす。
なので、環や体の任意の2元a、bは、線型空間が満たすべき条件の1つである、
加法について閉じているという条件は満たしている。そういう訳で、
線型空間Vは加法+の二項演算について群をなす。このときのVの単位元は
Vの零ベクトルになる。加群は可換群の一般化で、可換群を考えるときの二項演算は
加法+になることが多い。だから、線型空間Vは加群であり可換群の例にもなっている。
線型空間を考えるが、スカラーを右からベクトルに作用させて線型空間を扱うことも可能ではある。
両側作用が出来るときの例としては、例えば、複素数体Cや実数体R上の線型空間Vの
ベクトルの成分が複素数や実数になっているとき、つまりV＝C、Rのときがその例になる。
- 245 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:00:59.30 .net
- 代数構造を保存する写像と、代数構造を保存しない写像を混同してはいけません。
>（そういうことをすると、「ある群Gにまったくことなる群構造を入れることができ、
>異なる二つの群構造を持つ集合が可能」などという初学者が混乱するような
>主張になってしまいます。それは初学者には有害無益です。）
「代数構造を保存する写像(エスパーする限りでは二項演算や線型写像などだろう)」
や「代数構造を保存しない写像(同じく群作用などだろう)」が具体的に何を指すのか
正確には分からないが、歴史的にはガロアの時代にあった体は実数体Rや有理数体Qなど
のアルキメデス付値体だけで、その標数は0だから、標数0限定でするなら、
むしろ３でいう混同はいいことなんじゃないか？ 体は加法+の二項演算と乗法の
二項演算が定義された2つの群構造を持つ集合になる。スレ主がいう
>『ガロアの時代 ガロアの数学』時代篇＆数学篇 彌永昌吉 丸善出版
は読んだことがなく内容は分からないが、目次を見る限りでは暗黙のうちに
群環体を用いて述べているようだ。著者はブルバキ流の「現代数学概説Ⅰ」を
書いた人で、どちらかというと感覚としてはブルバキ流で生きた著者なので、
読みにくいだろうが最低限その本での集合、群論、環と体位までの内容は知らないと、
上の丸善の本での古典的ガロア理論の研究は難しいとは思う。前提として
必ずしも線型代数やガロア理論は必要ないとは思う。群環体から始まって、
最後にやっとこさ線型代数が出て来る。あと、何故かガロア理論は「現代数学概説Ⅰ」には
載ってなく、ガロア理論について知りたいなら、他の本で補う必要がある。
>364つまり、ガロアの時代にあった体は、初学者に馴染みがあるアルキメデス付値体だけで、
その時代は初学者に馴染みがない非アルキメデス付値体はまだなく、
体に定義された通常の加減乗除の演算も初学者には馴染みがあるだろう。群論の初歩が分かれば、スレ主がいう
>「ある群Gにまったくことなる群構造を入れることができ、異なる二つの群構造を持つ集合が可能(こ
の「可能」は「ある」に直すべき)」
で混乱することはなく、「」内の主張は分かるとは思うよ。
- 246 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:01:54.68 .net
- 結合則(ab)c＝a(bc)が成り立ち、(2)：1∈Gであって、aと1は両方共に0でない複素数だから
a1＝1a＝aであり、(3)：更にaa^1＝a^1a＝1 である。よって、確かにGは通常の乗法について
複素数1を単位元とするような群である。つまり、Gは乗法群であり、満たすべき条件を満たす。
任意の複素数a、b∈Gに対してab＝baだから、Gは可換な乗法群である。
今、Gの正規部分群が非可算無限個存在することを示す。
[第1段]：実数直線Rから1点0を除いたRの部分集合R-{0}が非可算無限集合であることを示す。
開区間(0,1)をIで表す。Iが非可算無限集合であることを示す。矛盾に導くため、
Iが可算集合だったとすると、確かにIに属する実数は無限個存在するから、Iは可算無限集合である。
1以上の自然数全体の集合Nは可算無限集合であることに注意すると、
Iは{n_1,n_2,n_3,…}の形で表せる集合である。つまり、I＝{n_1,n_2,n_3,…}。各(i,j)∈N×Nに対して、
ijを添数とする項k_{ij}が10個の数字0、1、…、9の中の1つを表すとする。
各i∈Nに対して、n_i∈Iの10進法による小数表示を、n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k_{ij}… とする。
0でない自然数iの値が小さい方から、可算無限個の10進法による小数表示n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k
_{ij}…を縦に並べて書く。
そして、任意の(i,j)∈N×Nに対して行列の成分のようにして現れた数字k_{ij}のうち、対角線上に並んだ可算無限個の数字
k_{11}、k_{22}、…、k_{jj}、…に着目し、各j∈Nについて、k_j≠k_{jj}かつ1≦k_j≦8 なるような数字 k_j∈
{0,1,2,…,9}を任意に1つ選び、
n＝0.k_1k_2k_3…k_j… とおく。このとき、各j∈Nに対して1≦k_j≦8だから、実数nの10進法による小数表示は唯1通りに定まる。
Iの定義に注意すると、n∈Iだから、或るi∈Nが存在してn＝n_iとなる。よって、n_i＝n_{ii}となるが、これは満たすべき条件n_i≠n_{ii}に反し矛盾。
よって、背理法により、Iは可算集合ではない。つまり、Iは非可算無限集合である。
A＝R-{0}とおくと、I⊂Aだから、Aは非可算無限集合である。
- 247 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:02:25.10 .net
- 第2段]：Gの正規部分群が非可算無限個存在することを示す。G、Aの各定義から、A⊂G。
a∈Aを任意に取る。そしてH(a)＝{a^n∈A|n∈Z}とおく。以下H(a)をHで表わす。
整数全体の集合Zは、確かに通常の加法+の二項演算について可換群であることに注意する。すると、確かにH≠φ。
(1)、HがGの部分群なることを示す。G、Aの各定義に注意すると、H＝{a^n∈A|n∈Z}からH⊂Aであって、A⊂Gだから、H⊂G。
g、h∈Hを両方共に任意に固定する。すると、gに対して或るm∈Zが存在して、g＝a^m。
また、hに対して或るn∈Zが存在して、h＝a^n。よって、g、h∈G＝C^{×}から、
gとhの間には通常の乗法・が定義され、gh＝(a^m)(a^n)＝a^m・a^n＝a^{m+n}。
ここで、Zは、確かに通常の加法+の二項演算について群をなすから、m、n∈Zからm+n∈Z。よって、gh∈H。
一方、A＝R-{0}、a∈Aからa∈R-{0}だから、g＝a^mから、g^{-1}＝(a^m)^{-1}＝a^{-m}。-m∈Zからa^{-m}∈Hだから、g^{-1}∈H。
Hの2つの元g、hは両方共に任意だったから、g、hをHの中で動かせば、HはGの部分群である。
(>>521の[第2段]の続き)
(2)、HがGの正規部分群であることを示す。g∈Gを任意に固定する。gHg^{-1}＝Hを示す。
h∈Hを任意に固定する。すると、H⊂Gから、h∈G。また、Gは通常の乗法・について可換群だから、g^{-1}∈G。
よって、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、ghg^{-1}＝g(hg^{-1})＝g(g^{-1}h)＝(gg^{-1})h＝1h＝h。
h∈Hだから、ghg^{-1}∈H。Hの元hは任意だったから、gによるHの両側剰余類gHg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈H}
と表わされる集合であることに注意して、hをHの中で動かせば、gHg^{-1}⊂H。
再度h∈Hを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、
h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、gによるHの両側剰余類gHg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈H}と表わされる集合である。
よって、ghg^{-1}＝h∈gHg^{-1}。Hの元hは任意だったから、hをHの中で動かせば、H⊂gHg^{-1}。
gHg^{-1}⊂H、H⊂gHg^{-1}だから、gHg^{-1}＝H。故に、HはGの正規部分群である。
- 248 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:03:19.52 .net
- 演習1。Rを実数体、Qを、有理数体とする。
Q-線形空間と見たときのRの基底をHamel基という。
Hamel基HでH∋1なものを一つ取る。
1) Qは{1}を基底とするRのQ-線形部分空間である。
2) H-{1}の元は全て無理数であり、H-{1}がQ上生成する線形部分空間の0でない元は無理数である。
任意の無理数はH-{1}の元有限個の0で無いQ線形結合と有理数の和である。
3) H\{1}の濃度は非可算である。演習2。
f:R→C^{x}をf(x) = exp(i2π x)
で定まる写像とする。ここにC^{x}は0でない複素数の全体。Hは演習1のハメル基、Zは整数全体とする。
1) fは加群Rから乗法群C^{x}の中への群準同型である。
2) ker f = Z
3) 無理数 α に対しf(Qα)は1以外の元を含む、C^{x}の部分群である。
3) α、β ∈ H を異なる二つの無理数とすれば
f(Qα) ∩ f(Qβ) = {1}
で f(Qα) と f(Qβ) は等しくない。
演習3S^{1}を絶対値が1の複素数全体とする次を示せ。
1) S^{1} = f(R)。S^{1} はC^{x}の部分乗法群である。
2) 乗法群 S^{1} の部分群は非可算個存在し、C^{x}のそれもそうである。
3) x,y ∈ H, x ≠ y ならば f(Qx) ≠ f(Qy
ハメル基の濃度って有理数体Qから実数体Rへの超越拡大の拡大次数[R:Q]に他なら無いんだけど、これって連続濃度だよね？
[R:Q]が可算無限だと議論の要の一つが崩れる。
実数の2進数展開考えると可算無限なような気がするけど…
2進数展開は一般に無限和だから、線形空間の基の有限個のQ-線形和の場合には当てはまらない。
- 249 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:03:50.96 .net
- コーシー記法の1行目が(12345)だと偶置換、(21345)だと奇置換になっている場合
1行目の変更はHaからa^{-1}Haへの変更に対応している
ガロア記法で省略されている部分の変更(例えば上の(12345)から(21345)への変更)
を明示すればコーシー記法と結局は同じということですむ話なんだけれども
スレ主は独自解釈をして省略されている1行目(の変更など)について書かなければ
そのガロア記法はHaとa^{-1}Haを両方表していると考えているらしい
それが例えば「S5の奇置換全体がなす群」というような表現になっているようだ
、
[第3段]：任意の1＜a＜bなるa、b∈Aに対してH(a)≠H(b)なることを示す。
は、通常の加減乗除が定義される位相についてのQ上の線型位相空間R
の基底が非可算無限個存在することを示せば終了している。
証明にはならないが、矛盾に導くため、Q上の線型位相空間Rの基底が可算無限個存在すると、基底全体の集合Sは可算無限集合。
また、実数体RはQ上の線型空間だから、任意のx∈Rに対して或る1以上のn∈Nが存在して
このときxに対し、何れも或るa_1、a_2、…、a_n∈Q と 何れも或るr_1、r_2、…、r_n∈S が存在して、
x＝a_1・r_1+…+a_n・r_n。各i,j＝1,2,…,nについて、a_iに対しr_iが定まり、このとき、a_i≠a_jならr_i≠r_j。
そして、各i＝1,2,…,nに対し、(a_i,r_i)∈Q×Sは唯1つ定まる。一方、x≠yなるy∈Rと、yに対して定まる
y＝b_1・p_1+…+b_m・p_mなる何れも或るm∈N、(b_j,p_i)∈Q×S j＝1,2,…,m を取る。このとき
任意の1≦k≦min(m,n)なるk∈Nに対して(a_k,r_k)＝(b_k,p_k)∈Q×Sとすると、
min(m,n)≦L≦max(m,n)なる各L∈Nに対して、c_L、s_L≠0なる(c_L,s_L)∈Q×S
が定まって0＝Σ(c_M・s_M)、L≦M≦max(m,n)になるから、或る1≦k≦min(m,n)なるk∈Nが存在して、
(a_k,r_k)≠(b_k,p_k)なる(a_k,r_k)、(b_k,p_k)∈Q×Sが両方共に定まる。
なので、xをR上で走らせると、Sの定義から、Rの濃度≦直積Q×Sの濃度。
しかし、Nは可算無限集合だから、Q、Sは両方共に可算無限であり、QとSの各濃度はNの濃度に等しいから、
Q×Sの濃度＝Nの濃度。よって、Rの濃度≦Nの濃度 となる。これは、Rの濃度＞Nの濃度 に反し矛盾。
- 250 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:04:33.46 .net
- 問題点その1(これは大したではないが)：
- 251 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:04:52.61 .net
- >>571が証明として間違っているのは後で指摘するが、
それとは別に問題がある。
- 252 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:05:03.06 .net
- 、「基底が可算無限個だと仮定すると矛盾する」ことを証明しようとしているに過ぎない。
「Rの基底が存在する」ことは一切証明できていないのである。
選択公理を仮定すれば、任意のベクトル空間には基底が存在することが従うので、
それを認めれば>>571の方針でも問題なく、「Rの基底は非可算無限」が従う。
ただし、厳密に言えば、「Rの基底は有限個だと仮定すると矛盾する」ことの証明も別途必要ではある。
基底が非可算無限個存在する場合に示せるのは、「 Rの部分群は非可算無限個ある 」
ということに過ぎない。ここから「 C^xの部分群は非可算無限個ある 」を示すには、
>>559の演習のように、基底の取り方を工夫して「基底の1つは有理数、その他はぜんぶ無理数」
のようにしなければ上手くいかない(方針1と名づけよう)。もしくは、基底の取り方を
工夫しなくても、別の工夫によって「 C^xの部分群は非可算無限個ある 」を証明することは
実際には可能である(方針2と名づけよう)。しかし、お前がそこまで頭が回っているかは極めて疑問であるｗ
「何でもいいから基底を構成したあと、基底の取りかえをすればいいだけの話だ」
と思うかもしれないが、非可算無限個の基底は、簡単には取り替えできないのだ。
1つの基底だけを他のものに変更しようとしても、それでは一次独立性が失われることがあり、
一般には複数個の基底に影響が出て、それらの基底も一緒に取り替えなければならない。
影響が出ている基底が有限個の場合は、簡単な線形代数で済むが、
影響が出ている基底が非可算無限個の場合は、もう手がつけられない。
非可算無限個の基底の取替えに関して、何か一般論があるかもしれんが、少なくとも自明ではない。
従って、基底を構成する段階で、丁寧に工夫しながら構成しなければならん。
そのためには、「超限再帰＆選択公理」または「ツォルンの補題」などを使って
ガリガリ基底を構成する必要があり、結局、>>571では根本的にダメ。
非可算無限個の基底の取替えに関する一般論があるとしても、どうせツォルンの補題などは必要だろう。
- 253 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:05:48.43 .net
- a_1・r_1+…+a_n・r_n。各i,j＝1,2,…,nについて、a_iに対しr_iが定まり、このとき、a_i≠a_jならr_i≠r_j。
↑「a_iに対しr_iが定まり」ではなく、「r_iに対しa_iが定まり」だろ。
前者の場合、「係数」を与えるごとに基底r_iがちょうど1個ずつ定まることになるが、それはおかしいよね。
たとえば、Sの異なる元を2つ取って r_1, r_2 とするとき、x＝r_1＋r_2 と置けば、
各r_i の係数はともに 1 だが、この「1」から定まるr_iは r_1 と r_2 のどっちなんだよ。
「r_1とr_2が両方とも 1 から定まる」としか言いようがないよね。でも、それでは「1個だけ定まる」ことにならないよね。
一方で、後者ならば、基底r_iごとに係数が1つずつ定まるという意味になり、これは確かに成り立つ(基底の性質から従う)。
a_iに対しr_iが定まり、このとき、a_i≠a_jならr_i≠r_j。
↑この文章からもう1つ。「a_i≠a_jならr_i≠r_j」の部分はおかしい。おそらく「a_iに対しr_iが定まり」から出てきた
言い回しなのだろうが、そもそも「a_iに対しr_iが定まり」がおかしいのだった(すぐ上で説明したとおり)。
では、「r_i≠r_jならa_i≠a_j」としたらどうか。これもおかしい。さっきのx＝r_1＋r_2が反例。
では、どう書くのが正解なのか？基底で表現するときは、各r_iは最初から異なるように取っておくのが普通なので、
「r_iは互いに異なる」と言っておけばそれで済む話。丁寧に書くなら、「i≠jならr_i≠r_j」と書けばよい。
＞一方、x≠yなるy∈Rと、yに対して定まる
y＝b_1・p_1+…+b_m・p_mなる何れも或るm∈N、(b_j,p_i)∈Q×S j＝1,2,…,m を取る。このとき
任意の1≦k≦min(m,n)なるk∈Nに対して(a_k,r_k)＝(b_k,p_k)∈Q×Sとすると、
min(m,n)≦L≦max(m,n)なる各L∈Nに対して、c_L、s_L≠0なる(c_L,s_L)∈Q×S
＞が定まって0＝Σ(c_M・s_M)、L≦M≦max(m,n)になるから、
↑ここは完全に間違っている。0＝Σ(c_M・s_M) の導出の仕方がおかしい。これを導出するには、x＝y としなければならない。
すなわち、x＝yかつ「任意の1≦k≦min(m,n)なるk∈Nに対して(a_k,r_k)＝(b_k,p_k)∈Q×S」としたならば、確かに
0＝Σ(c_M・s_M) が出てくる。しかし、今回はx≠yと仮定しているのだから、0＝Σ(c_M・s_M) は導出できないのだ
- 254 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:06:14.60 .net
- 或る1≦k≦min(m,n)なるk∈Nが存在して、
＞(a_k,r_k)≠(b_k,p_k)なる(a_k,r_k)、(b_k,p_k)∈Q×Sが両方共に定まる。
↑成り立たない。反例がある。Sの異なる元を2つ取って r_1, r_2 とし、x＝r_1＋r_2, y＝r_1と置くと、x≠yである。
n＝2, a_1＝a_2＝1, m＝1, b_1＝1, p_1＝r_1 とすれば、x＝a_1・r_1+…+a_n・r_n, y＝b_1・p_1+…+b_m・p_m と表せる。
そして、min(m,n)＝1であり、1≦k≦min(m,n)に対しては(a_k,r_k)＝(b_k,p_k)が成り立っている。
すなわち、これは反例である。
＞なので、xをR上で走らせると、Sの定義から、Rの濃度≦直積Q×Sの濃度。
↑対応関係が不明。具体的に写像φ：R → Q×S を構成しろ。そして、その写像φが単射であることを示せ。
まあ、そもそも1つ上が間違っているので、話にならないのだがね。
ちなみに、1つ上が「正しい」と仮定してもなお、写像φ：R → Q×S は構成できないｗ
だって、1つ上で挙がっている(a_k,r_k)≠(b_k,p_k)は、2つの実数の組 (x,y) を与えるごとに決まるから。
1つの実数xに対して (a_k,r_k) を決める方法はどこにも無い。仮に、yを何でもいいから1つ固定して、
そのあとでxだけを動かするとすると、x≠yならば、xごとに (a_k,r_k)≠(b_k,p_k) なる(a_k,r_k)が取れるから、
この(a_k,r_k)をφ(x)と定義することは可能で、φ：R－{ y } → Q×S が定義できる。
もしこれが単射ならば、R と R－{ y } の濃度が同じであることを使って、RとQ×Sは同じ濃度となるが、
そもそもこのφ：R－{ y } → Q×S は単射にならないので、どのみちダメｗ
いっそのことφ：R^2 → Q×S にしてみたらどうかと考えてみても、やっぱり単射にならないｗ
すなわち、お前の議論は そもそも間違っているわけだが、
仮にその議論が正しいとしても、なおも単射φは構成できなくて、
根本的に「なってない」という体たらくなのだ。
第3段が示せていないばかりか、代替案として提示した証明(>>571)すらもボロボロ。
しかも、>>571を仮定したところで、「 C^xの部分群は非可算無限個ある 」の証明までは
まだまだギャップがあり、お前がそのギャップを埋められるかも極めて疑問(方針1・方針2)。
話にならん。
- 255 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:07:07.82 .net
- 必ずどこかで Qの濃度＜濃度M＜Rの濃度 なる濃度Mの体Kは必ず得られることになる。
だ、そういう議論を行う以前に濃度Mに等しい濃度の体Kの存在性が問題になる。
＞なので、Kの存在性の問題が解決出来ない限り、そういう議論は出来ない。
この種の議論が出来れば、ウマくいく可能性はある。
選択公理を仮定すれば、任意のベクトル空間には基底が存在することが証明できる。
証明の方法は、普通はツォルンの補題を使う。あるいは、「超限再帰＆選択公理」でも言える。
どちらにせよ、それらの方法がほぼそのまま流用できて、その結果、
RのQ上の基底であって「基底の1つは有理数、その他はぜんぶ無理数」を満たすものが構成できる。
別に難しい話ではないのだ。ただ単に、ツォルンの補題 程度は必要であるというだけの話なのだ。
ツォルンの補題も超限再帰も、>>571の議論からは逸脱しており、>>571からは「方針1」に
繋がっていかないという話に過ぎないのだ。>>571から無理やり「方針1」に繋げようとすると、
あとから基底を取り替えるしかなく、しかしそれだと非可算無限個の取替えが必要になって
どうにも無理くさい、という話にすぎないのだ。
それを、Kの存在性が云々などとトンチンカンな方向に話が進む>>591は、
よほど基礎が出来てないのだろう。間違いだらけの証明しか出てこないのも頷ける。
＞>選択公理を仮定すると、Qの濃度＜濃度M＜Rの濃度 なる濃度Mが存在するから
＞の間違いな。
「今の段階では、そのような基底は自分には構成できない」
と言っていることになる。実際にはツォルンの補題ですぐに構成できるのに。
よほど基礎ができてないのだと思われる。間違いだらけの証明しか出てこないのも頷ける。
選択公理を仮定しても、そのような濃度Mが存在するか否かは決定できない。
そのような濃度Mが存在するか否かという話題は「連続体仮説」で扱われ、
よく知られているように、ZFCからは独立であることが証明されている。
すなわち、選択公理を仮定しても、そのような濃度Mが存在するか否かは決定できない。
- 256 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:07:46.95 .net
- そうそう、無限次元でそういう区別が必要になる（有限次元では不要）という理解で良いのかな？
２．「ヒルベルト空間上の正規直交基底」？ 「ノルム線型空間上のシャウダー基底」？ なじみが無い・・
３．調べれば、なにか書いてあるんだろうが、このスレでは省略で良いよね
４．で、有限次元の範囲で考えるガロア理論は、”ハメル”を意識する必要は無いと
５．非加算無限の話があったね・・
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底
（ゲオルク・ハメルに由来）や代数基底という用語が用いられる。
これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウ
ダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。
これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。
先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。
実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。
- 257 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:08:57.78 .net
- 一数解析学において様々な重要な空間が存在するが、例えば無限回微分可能な函数 R → R 全体の成す空間や R 上のシュ
ヴァルツ超函数全体の成す空間は完備ではあるがノルムが付かず、従ってバナッハ空間にはならない。
フレシェ空間には同じく完備な計量が付くが、その極限として得られる LF-空間は完備な一様線型空間になる。
数学におけるベールの範疇定理（英: Baire category theorem）は位相空間論および関数解析学で重要な道具で、ルネ＝
ルイ・ベールが1899年の博士学位論文において証明した。
この定理には二つの形があり、何れも位相空間がベール空間であるための十分条件を与えるものになっている。
定理の主張
ベール空間は「開稠密部分集合 U_n からなる任意の可算族に対して、それらの交わり \bigcap_n U_n は稠密」とい
う性質を満たす位相空間である
任意の完備距離空間はベール空間である。より一般に、完備擬距離空間の開部分集合に同相な任意の位相空間はベール空間である。
従って任意の完備距離化可能空間はベール空間である。
主張 2 (BCT2)
任意の局所コンパクトハウスドルフ空間はベール空間である。
このことの証明は主張 1 と同様で、完備性からくる有限交叉性が鍵になる。
この二つの主張は一方が他方を含んでいるとかいうようなものでないことに注意すべきである。
これは（有理数の全体に後述するような距離を入れたものや任意の無限次元バナッハ空間のように）局所コンパクトでない
完備距離空間が存在することや、
あるいは（例えば非自明なコンパクトハウスドルフ空間の非可算積空間や非可算フォート空間など函数解析学で用いられるい
くつかの函数空間のように）距離化可能でない局所コンパクトハウスドルフ空間が存在することによる。
詳細は(Steen & Seebach 1978)を参照。
二つの主張 BCT1 と BCT2 を任意の完備距離空間に対して証明するには、適当な形の選択公理を用いる必要がある。実は BCT1 は ZF
のもとで従属選択公理と呼ばれる弱い形の選択公理と同値である[1]。
完備距離空間がさらに可分であることを仮定する制限された形のベールの範疇定理であれば、何らの選択公理を付け加えることなく ZF において
証明することができる[2]。
- 258 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:09:38.88 .net
- カントールの対角線論法は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。
1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文の中で用いられたのが最初だとされている。
その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり
、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。
下記、連続体仮説の歴史が参考になるかな
連続体仮説とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。
この仮説は 19 世紀に集合論の創始者、ゲオルク・カントールによって提出された。彼自身この解決に熱心に取り組んだことが知られている。
可算濃度より連続体濃度の方が大きいことは、カントールの対角線論法によって証明されている。カントールは当初、連続体仮説も
証明することはそれほど難しくないと考えていたが、遂に証明することはできなかった。
1900年、パリで開かれた国際数学者会議においてヒルベルトは彼の有名な 23 の問題の第一番にこの連続体仮説を取り上げた。
その後、1940年にゲーデルは任意の ZF のモデルにおいて構成可能集合全体のクラス L が連続体仮説をみたすことを証明し、
「ZFC からは連続体仮説の否定は証明できない」ことを示した。
さらに1963年、ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。
これらの結果から ZFC に連続体仮説を加えても、またはその否定を加えても矛盾は発生しないこと、つまり連続体仮説の ZFC からの
独立性が示され、連続体仮説は解決を見た（これらの結果は全て ZF の無矛盾性を仮定している）。
コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している。
選択公理と同値なZornの補題を用いると、任意の実数に対して或る0も含めた自然数nが定まって、
n個の有理数とn個の互いに有理数体Q上で線型独立なベクトルの線型結合で表されるような、
Q上で互いに線型独立な基底ベクトル全体の集合Hの存在性は示せるよ。そのHがハメル基底になる。
- 259 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:10:49.12 .net
- この後の解答のしどろもどろ振りを見ると、どこかのテキストに載っていた問題だね？
解答は載っていなかったんだ・・
- 260 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:11:03.69 .net
- その逆。自分で考え出して、直観的に正しい命題と思って
出した訳ですよ。
- 261 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:11:12.10 .net
- お前さんの書き込みを読もうとすると、幾つもレスを読むことになって、面倒だから当初の解答は自分で考えて書いた。
>２．そのために、>>508で複素平面の部分集合 1＜|c|に対応する複素数cと、
>複素数cから生成される最小の（乗法）部分群Gc(>>501)との一対一対応を構成した *)
>*)c0≠c1 かつ 1<|c0|=|c1| となる場合の扱いに瑕疵があったので、>>643で補足した
具体的に0でない複素数c_0、c_1を取りa＝|c_0|、b＝|c_1|とおくと、
c_0に対して或る実数θ_0が定まってc
c_1に対して或る実数θ_1が定まってc_1＝be^{i・θ_1}、
になるから、c_0から生成される部分群G_0とc_1から生成される部分群G_1が等しいか否か
を考えるにあたっては、問題の目的は非可算無限個存在することを示しことになるのだから、結局
(1)、2つの異なる実数a、b≠0を任意に取ったとき、a、bからそれぞれ生成される
2つの部分群H_1＝{a^n∈C|n∈Z}、H_2＝{b^n∈C|n∈Z}について、必ずH_1≠H_2か？
(2)、有理数体Q上の線型空間Rの基底ベクトルは非可算個存在するか？
のどちらか1つは、必ず問題になって来ると思っていたんですよ。
そこで、(2)の方を考えていたという訳ですよ。
>５．だから、>>566
>「>>558は幾らなんでもアホだろ。
>そもそもの問題からしてくだらないのに、自明な部分は長文の証明で埋め尽くし、
>肝心な部分(異なるH(*)が非可算無限個とれるところ)はいつまで経っても証明できてない上に、
>スレ主の方が既に証明できちゃってるという本末転倒ぶり。出題者のくせに何やってんだよ。
>恥さらしもいいとこだろ。 」は成立しているだろう
- 262 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:13:01.47 .net
- 今回の望月さんの論文は、「宇宙際タイヒミュラー理論」(inter-universal Teichmuller Theory:no titleでDLできる)というものらしい。
ざっと眺めてみたが、一行たりともわからん(爆)。
でも、これまでの業績を見ていると、p進空間の研究を推進してきた人のようだ。
p進空間というのは、素数１個ずつそれぞれに新しい空間を作ったもの。
素数2には2進空間が、素数7には7進空間が、という風に新しい空間が作られる。
実数の空間は、通常の距離に関して「すべてのコーシー数列が収束値を持つ」ように作られた空間(完備空間)だが、p進空間という
のはp進距離に関して「すべてのコーシー数列が収束値を持つ」ように作られた空間であり、
我々の常識では理解できないが、通常の数学を矛盾なく自由に展開できる空間だ(0.999・・・は1と等しいか - hiroyukikojimaの日記などを参照のこと）。
おおざっぱに言えば、新しい空間を作ると、数学的素材はそこで今までとは違う振る舞いを見せる。別の顔を見せる。
その別の振る舞いや表情を見ることで、今まで解けなかった問題が解けることがありうるのである。そうやって数論は進歩してきている、といえる。
複素数空間を創造したとき、数学は大きく進歩した。また、カントールが実数を完備空間として創造したときも、数学の発展は著しかった。
ヘンゼルによってp進空間が作られた20世紀の数論も著しい成果をあげている。
とりわけ、グロタンディークが整数を操作するための新しい空間をスキームという形式で作ったことの影響は大きかったのではないか。
グロタンディークの後継者と目される望月さんも、新しい空間を生み出して、そこでの幾何学を使って今回の結果を出したのではないかと
想像している(いうまでもなく、論文はさっぱりわからないでの、根拠はない。笑い）。
アエラの取材で、ちょっと反省しているのは、「望月さんの論文を理解できる(査読できる ）人は世界でも４～５人」と口走ってしまったこと。
まさか、それがタイトル(理解できるのは５人)に引用されるとは思わなかった。「わたしは、理解できる6人目」と憤慨している人、す
- 263 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:13:35.22 .net
- p進数 辻 雄（大学院数理科学研究科 准教授）
p進数は，2進数，3進数，5進数，…と素数ごとに決まる数の概念である。素数pをひとつとると，正の整数は必ず0以上p -1以下
の整数からなる有限列a0,a1,…,aNを用いてa0+a1p+a2p2+…+aNpNと書ける（p進法表示）。
この和が無限に続いているものも考え，さらに有限個のpの負冪も許して得られる数，
a-Mp-M+a-M+1p-M+1+…+a0+a1p+a2p2+
がp進数である。p進数の世界ではNが大きいほどpNは「小さい」とみなして上の無限和を正当化する。
p進数は，1変数代数関数の冪級数展開の類似として，1897年K. ヘンゼル（K. Hensel）により導入され，有理数係数のn次方程式やそ
の解で定義される代数体の判別式などの研究に応用された。
その後2次形式論や類体論などに応用され，現在では数論のひじょうに多くの分野において用いられているきわめて基礎的で不可欠な概念である。
p進数では極限操作が許されるため逐次近似が可能で，有理数よりも方程式の扱いがはるかにやさしくなる。
方程式の有理数解の存在の問題が，p進数と実数での解の存在の問題に完全に帰着できるとき，ハッセ原理が成り立つとよばれ，2次
形式の零点についてはこの原理が成り立つ。
しかしたとえば平面上の滑らかな3次曲線では成り立たない。
この成り立たなさの様子は，楕円曲線（理学のキーワード第11回参照）に伴うテイト・シャファレビッチ群とよばれる群と関係し，この群は
数論における興味深い研究対象のひとつとなっている。
クレイ数学研究所による懸賞金がかけられた問題のひとつBSD予想にもこの群が関係する。
有理数体の絶対ガロア群（有理数係数のすべての代数方程式を統制するような巨大な群）が作用するp進数係数の線形空間はp進
ガロア表現とよばれ，数論的対象をそれに伴うp進ガロア表現を通して研究することがしばしばある。
たとえばフェルマー予想の証明は，最終的に楕円曲線に伴うp進Tate加群とよばれるp進ガロア表現の研究に帰着された。
p進ガロア表現の素数pでの分岐の様子はとくに複雑で，その構造の解明にはp進数の概念だけでは不十分であり，p進数をさらに
拡張した数の概念を用いて研究されている。筆者はこの構造の解明およびその応用について研究している。
- 264 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:14:48.09 .net
- 勉強と研究の違い（研究の波動）
大学3年の時に，佐藤幹夫先生（佐藤超関数や概均質ベクトル空間の理論の創始者）の集中講義に出た事がありました。自分の考えた
理論を生き生きと説明していく講義にすっかり魅了されてしまいました。
のちに大学院の修士1年になったとき私は武術に夢中になり，真剣を使って戦いの集中力や持続力の稽古に没頭してしまいましたが，修士
論文を1年後に提出しなければならなくなった頃，京都大学に佐藤幹夫先生を訪ねました。
ニコニコしながらコーヒーを入れて下さった先生は「どんな研究をしていますか？」と尋ねたので「実は武術しかしていませんが数学これか
ら頑張ります」と答えた。
先生の顔色が変わり，ものすごく怒られて「君の状態では新しい結果を出すのに一年半はかかる」と言われ，とにかく30分だけ，一対一で研
究指導をして下さいました。
その時，私は初めて勉強とは全く異なる研究の雰囲気，波動のようなものを感じ，研究はこうするのか，と思いました。
5．数学研究の心構え
佐籐先生は「すぐ追い返したい所だが研究室を一つ使って良いから一週間したら帰りなさい」と言われ，更にオロオロする私に研究の心構え
を教えて下さいました。
「朝起きた時に，きょうも一日数学をやるぞと思ってるようでは，とてもものにならない。数学を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚め
たときは既に数学の世界に入っていなければならない。
どの位，数学に浸っているかが，勝負の分かれ目だ。数学は自分の命を削ってやるようなものなのだ」と言われ，追いつめられた私は，まさ
にこれを実行しました。
すると一週間で未解決問題の一つが解けてしまいました。佐藤先生に見せに行くと「君に出来る訳がない。
どうしても正しいと言うなら，これが成り立つ筈だから確かめてみなさい」と言われ三日かけて再び持っていくと，それからは佐藤先生は毎日
6時間以上に及ぶ個人指導を始めて下ざり，私をグイグイ引き上げて下さいました。
- 265 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:15:36.77 .net
- この6 年間（＝ 2000 年夏～2006 年夏）の、「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何
を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる：
・The geometry of anabelioids （2001 年）
スリム（＝任意の開部分群の中心が自明）な副有限群を幾何的な対象として扱い、
その有限次エタール被覆の圏の性質を調べる。特に、p 進体上の双曲曲線の数論的基
本群として生じる副有限群の場合、この圏は、上半平面の幾何を連想させるような
絶対的かつ標準的な「有界性」等、様々な興味深い性質を満たす。
The absolute anabelian geometry of canonical curves （2001 年）
p 進Teichm¨uller 理論に登場する標準曲線に対して、p 進体上のものとして初とな
る絶対遠アーベル幾何型の定理を示す。
(略)
・A combinatorial version of the Grothendieck conjecture （2004 年）
退化な安定曲線に付随する「semi-graph of anabelioids」を、スキーム論が明示的
に登場しない、抽象的な組合せ論的枠組で取り上げ、様々な「遠アーベル幾何風」の
「復元定理」を示す。
・Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic
Riemann surfaces （2004 年）
双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの
一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の
「長方形」（＝等角構造に対応）や「平行四辺形」（＝疑等角構造に対応）によるもの
である。
・Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves （2005
年）
固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元
する理論を展開する。この理論を、有限体やp 進体上の絶対遠アーベル幾何に応用
することによって、様々な未解決予想を解く。
・The geometry of Frobenioids I, II （2005 年）
ガロア圏のような「´etale 系」圏構造と、（ログ・スキームの理論に出てくる）モ
ノイドのような「Frobenius 系」圏論的構造が、どのように作用しあい、またどの
ように類別できるかを研究する。
- 266 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:16:41.45 .net
- 数体に対するTeichm¨uller 理論
2006 年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記述するための執筆活動が本格的に始まった。
この理論の「形」とは、一言で言うと、巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開するp 進Teichm¨uller 理論と、
「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対して展開する
という内容のものである。
因みに、ここに出てくる（数体上の）「一点抜き楕円曲線」の中に、その楕円曲線の上に展開されるHodge-Arakelov 理論が含まれている。
この理論のことを、「IU Teichm¨uller 理論」（＝「IU Teich」）と呼ぶことにした。
IUTeich の方は、本質的にスキーム論の枠組の外（＝「IU 的な枠組」）で定式化される
理論であるにも関わらず、調べれば調べるほどp 進Teichm¨uller 理論（＝「pTeich」）
との構造的、「パターン的」類似性が、意外と細かいところまで及ぶものであること
に幾度となく感動を覚えたものである。
2006 年～2008 年春の「IUTeich の準備」関連の論文は次の四篇である：つづく)
過去と現在の研究の報告 The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
p 進局所体上の退化する楕円曲線（＝ Tate curve）のある被覆の上に存在するテー
タ関数に付随するKummer 類をエタール・テータ関数と呼ぶ。このエタール・テー
タ関数や、テータ自明化に付随するKummer 理論的な対象は、様々な興味深い絶対
遠アーベル的な性質や剛性性質を満たしている。これらの性質の一部はFrobenioid
の理論との関連で初めて意義を持つものになる。また、このエタール・テータ関数
は、IUTeich では、pTeich における標準的Frobenius 持ち上げに対応する対象を定
める予定である。このFrobenius 持ち上げの類似物を微分することによってABC 予
想の不等式が従うと期待している。このようにして不等式を出す議論は、
「正標数の完全体のWitt 環上の固有で滑らかな種数g 曲線の上にFrobenius 持
ち上げが定義されていると仮定すると、その持ち上げを微分して微分層の次数
を計算することにより、不等式 1が従う」
という古典的な議論のIU 版とも言える。
（つづく）
- 267 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:17:40.10 .net
- Faltings への手紙」等で「遠アーベル哲学」を提唱した重要な動機の一つは正にdiophantus
幾何への応用の可能性にあったらしい。つまり、遠アーベル幾何が（ABC予想
への応用が期待される）IUTeich で中心的な役割を果たすことは、一見してGrothendieck
の直感にそぐった展開に見受けられる。一方、もう少し「解像度を上げて」状
況を検証すると、それほど単純な関係にあるわけではないことが分かる。例えば、
Grothendieck が想定していた応用の仕方では、数体上の「セクション予想」によっ
て数体上の有理点の列の極限を扱うことが可能になるという観察が議論の要となる。
過去と現在の研究の報告 抜粋)
これとは対照的に、「IUTeich 構想」では、（数体上のセクション予想ではなく）
数体とp 進体の両方に対して両立的に成立する（絶対遠アーベル幾何の一種で
ある）単遠アーベル的アルゴリズムが主役を演じる
予定である。この「単遠アーベル的アルゴリズム」は、pTeich におけるMF∇-object
のFrobenius 不変量に対応するものであり、即ちp 進の理論における
Witt 環のTeichm¨uller 代表元やpTeich の標準曲線
の「IU 的類似物」と見ることができる。別の言い方をすれば、この「単遠アーベル的
アルゴリズム」は、一種の標準的持ち上げ・分裂を定義しているものである。また、（単
遠アーベル的な）「ガロア系」の対象がp 進の理論におけるcrystal（＝MF∇-object
の下部crystal）に対応しているという状況には、Hodge-Arakelov 理論における「数
論的Kodaira-Spencer 射」（＝ガロア群の作用による）を連想させるものがある。
2008 年4 月からIUTeich 理論の「本体」の執筆に取り掛かる予定である。この作
業は、ごく大雑把に言うと、次の三つの理論を貼り合わせることを主体としたものある：
・The geometry of Frobenioids I, II
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
・Topics in absolute anabelian geometry III
- 268 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:18:43.91 .net
- 南部理論の限界
絶対温度零度の真空中で素粒子が反応することを想定して作られたので、
そのままでは温度を持ち
- 269 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:18:57.53 .net
- 密度がある場合には当てはめられません。
- 270 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:19:27.02 .net
- 先程の結晶を伝わる音の場合は問題がないように思えますが、実際南部理論を無理に当てはめると間違った答えがでることも多くあり、南部
理論をどう拡張すれば良いのかは50年来いろいろと研究されてきましたが、謎のままでした。
例えば、身近にある磁石は、電子一つ一つのもつ小さな磁石（スピン）が揃ったときにできます。
この場合、一つ一つのスピンはどの向きを向いてもよいはずなのに（回転対称性）、ある特定の方向を向いてしまった訳ですから、回転対称性が
自発的に破れています。
南部理論をそのまま適用すると、左右に傾けたり、前後に傾けたりすると、やはり波が出来るはずですから、二つの波があるはずです。
しかし、理論的にも実験的にも、磁石を伝わる波は一種類しかないことが知られています。これが南部理論を温度や密度をもつ場合に無理に当
てはめると、間違った答えが出る例の一つです。
今回の研究成果
今回、渡辺悠樹（わたなべ はるき：カリフォルニア大学バークレー校 大学院生）と村山斉（むらやま ひとし：東京大学国際研究所カブリ数物連
携宇宙研究機構 機構長）は、どのような場合にも正しく答えが出るように南部理論を拡張しました。
先程のスピンを左右に振らすと、左右だけでなく前後にも触れてぐるぐる回り出し、左右の動きと前後の動きが分けられなくなり、一種類の波しか
ないことがわかりました。
このように、二つの破れた対称性が一緒になって一つの波を作るため、思った数の半分しか波が生まれないのです。
実際にはスピンを振らす波は左右、前後両方の動きを伴う一種類しかない。
また、二つの対称性が一緒になって生み出す波(=南部・ゴールドストーン粒子)は、元々の南部理論で予言されるものと全く異なる性質を示す
ことが分かりました。この違いは物質の比熱などの性質を大きく左右します。
「素粒子物理学ではローレンツ不変性のためこの粒子の数と性質は比較的簡単に分かるものの、物性物理学ではよくわかっていませんでした。
渡辺と村山はPhysical Review Letters の論文で、破れた対称性の数、その交換子の行列の階数、南部・ゴールドストーン粒子の数の間に、
美しい関係式を導き出しました。
- 271 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:20:57.69 .net
- ところで，小平-Spencer は，関数を微分するように，E(t)
の幾何学的な微分ができることを示しました。
事情を正しく反映した微分を定義しなければなりません。小平-Spencer は∂F(x, t)/∂t の定めるコホモロジー類
(∂F(x, t)/∂t)t=t0 ∈ H1(ΘE(t0))
が正しい幾何学的な微分(∂E(t)/∂t)t=t0 を与えることを示
しました。ただし，ΘE(t0) はE(t0) の正則接束の断面の層を
表し，H1(...) はコホモロジー群を表します。コホモロジー群ここでは，あるベクトル空間のことです。
定理1 (小平-Nirenberg-Spencer1958/p.910) M をコンパク
トな複素多様体とし，H2(ΘM) = 0 と仮定する。このとき，個のparameter t1，・ ・ ・，tN に依存したコンパクトな複素
多様体の族{M(t1, ・ ・ ・ , tN)} が存在して，どんなM の微少変{M(t1 ・ ・ ・ tN)} のなかに同型なものがある。ただし，N
は複素ベクトル空間H1(ΘM) の次元，M(0, ・ ・ ・ , 0) = M。
∂M(t)/∂t は一次の幾何学的微分です。そして，H2(ΘM) =
0 はTaylor 級数で２次以上の項がないという条件に相当し，定
理1 は，すべての変形(幾何学的Taylor 級数) がH1(ΘM)(一次の微分) で決定されることを主張しています。
その後のあらゆる種類の変形理論を通じて，この形の定理
は，応用上もっとも重要です。上の定理は，それらのすべて
の原形を与えている点で，歴史的にも，重要な意味を持って
変形理論というのは，変形が豊かに存在して始めて面白い
わけですが，逆に変形しても，全然変化しない多様体があり
ます。あるいは，もっと強く，多様な複素構造が許されない
ような（可微分) 多様体があります。
定理4 K¨ahler 複素多様体が射影空間Pn と位相同型ならば
複素多様体としても同型。
n が奇数の時は[小平-Hirzebruch1958/p.744] によって証明
され，n が偶数の時は，Yau により証明が完成されました
(1977)。K¨ahler の条件がない場合は，n = 2 のときYau+
宮岡(1978 ころ)，または，Seiberg-Witten 理論(5 節を参照)により解決，一般次元では未解決です。
- 272 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:22:54.81 .net
- 「南部、益川、小林の三氏にノーベル物理学賞」というニュースを聞いた途端、南部陽一郎は世界最高の物理学者と確信して三〇年間「
同時に「なぜ南部さんの一人受賞でなかったのだろう。世界最高の南部さんには、それこそがふさわしかった
現代素粒子論の三つの基本は南部の天才から生まれた
実は、そう感じている物理屋は相当いると思います。南部陽一郎を高く仰ぎ見て敬愛する専門家は多いからです。
では、なぜ偉いのか。それは、この五〇年間の素粒子理論の研究のすべての面で先鞭をつけ、研究全体をリードしてきたのは南部だからです。
南部陽一郎の名を抜きにしては、現代の素粒子理論のどの面も語れません。
クォークが多次元の「ひも」で結ばれているという「ひも理論」も、湯川秀樹の中間子理論を大きく進化させた「色の量子力学」も、素粒子
の質量を決める理論である「ヒッグス機構」も、そのどれを取っても最初の発端は南部のアイデアです。
現在の素粒子論では陽子も中性子も素粒子ではなく、その三分の一のかけらに相当するクォークが素粒子であることが確定していますが、
このクォークを考える決定的一歩になった「西島ゲルマンの公式」も、実は南部が西島和彦に与えたヒントが基礎になっていると言われています。
つまり、南部は一人で「現代素粒子理論」の骨組みをつくったような人です。物理学者としての「仕事ぶり」＝ 「頭の働き」は、まさに「すごい」と
言うしかありません。その「すごさ」は、湯川を超えているとさえ思われます。
南部のすごさを語るには、以上の三つの仕事を説明せねばなりませんが、一般の人がそれを聞いて何かが「わかる」とは、とても期待できません。
「角運動量」も「固有振動数」もわからない人をつかまえて、「アイソスピン」や「ゲージ場」の説明はまったく意味がないからです。ただし「たとえ話」を
使って、わかった気にさせることは可能です。「自発的対称性の破れ」の説明がそれです。
（略）人間の体は対称なはずなのに、あらわれる結果は非対称になります。これが自発的対称性の破れです。これを聞いて、「ノーベル賞とはそ
の程度のことか」と思う人が多いかも知れません。
これは間違いです。対称性の破綻の発見が南部の仕事ではなく、それが素粒子の質量を決める原因になっているというのが、南部の発見だからです。
- 273 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:23:47.71 .net
- 湯川の偉さと南部のすごさ 精神と実力
湯川先生の「偉さ」がわかる人にも南部の「すごさ」はわかるとは限りません。湯川は精神の高さで卓抜し、南部は能力の高さで卓抜しています。
そして、能力に関しては、人は自分を超えるものを評価できないからです。南部の受賞が遅れた理由はここにあると思います。
南部の仕事から「すごさ」を知ることは難しいとしても、南部が書いたもの、話したことから「すごさ」に近づくことはできます。
まず『クォーク』（講談社・ブルーバックス）は南部が、一般向きに本気で書いた本で、最良の手引きです。ただし、一見平明です
余分もない論文のような記述なので、読んだことを完全に理解しながら進む人でないと、途中で放り出すかも知れません。
そこで、一般の人にも南部さんの「すごさ」がわかるのは、インタビューに答えて、何気なくもらした言葉かも知れません。
南部はアメリカ在住五〇年ですから、当然英語は完壁なので、「何語で考えるのですか」という質問に対し、「だいたい数式で考えます」
と答えています。
また、「私は計算は、だいたい頭の申でやります」とも答えています。
計算といっても勘定書の計算ではなく、理論物理の計算です。
ギリシャ文字の数式を移項したり微分したりの計算ですが、紙何枚にわたる数式が、頭の中に完全に正確に見えていなければ出来ない
計算です。
この南部さんが意識的に日本を離れたのは、「群れることを嫌う」気質のためでしょう。同時受賞者の益川さんが言っていますが、「
南部さんの成功を囲んでみんながワイワイがやがやっている時、本人は次の所へ行っている」人です。
南部がアメリカに行く直前、大阪市立大学にいたころは素粒子論グループの活動の絶頂期で、どう研究を進めるかの論も
盛んでしたが、南部はこれにはほとんど加わっていません。
数式で考える人なので、言葉による議論は好まなかったのでしょう。
ゲルマンのクォークモデルが出たとき、素粒子論グループは哲学的観点からこれを批判、否定しましたが南部はこれに同調しませんでした。
問違える危険を恐れたのかも知れません。そこに南部さんの精神的特質もあるし、成功の原因もあると思います。
- 274 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:24:42.77 .net
- 2006年頃以前の英語版wikipediaの『ヒッチン系』という記事にあったことを追記します．古典的な説明をすると、ヒッチン系の起源が明確となり、
他の記事とのバランスをとるにも、有益と思われます．
（このAppendixの部分は、2011年2月11日にcyclopediaofmath.org"にも掲載されています．）
代数的に完全可積分（英語版）なハミルトニアン系（英語版）は、与えられた種数が のリーマン面上の安定ベクトルバンドル（英語版）
(固定されたランクと次数の；ベクトルバンドルも参照下さい) のモジュライ空間（英語版）への余接バンドル（英語版）の上で定義された．
Hitchin自身の定義[a9] は、スペクトル曲線に大きく拡張されました[a8]．
そこの基礎となるものは、1970 年代の代数的完全可積分系での多重性の発見である。そのような系は、Lax方程式（英語版）で与えられる.
この系は、パラメータ に依存し、スペクトル曲線は、パラメータ空間のn-重 被覆空間で、ループ代数（英語版）の余随伴(co-adjoint) 軌道にある．
このことはアドラー-コスタント-シメス(Adler-Kostant-Symes)のシンプレクティック商（英語版）の方法により得られる．[a1] を参照．
ニージェル・ヒッチンは の標準バンドル（英語版）の全空間の上の固有値の曲線を定義し、この曲線のヤコビ多様体（英語版）の上のフローを
線型化した。
このアイデアは膨大な量の代数幾何学を巻き起こした：安定ペアのモジュライ空間 [a12] ；有理型（英語版）ヒッチン系 [a3] と [a4] ；
[[主 -バンドル]]（英語版）のヒッチン系 [a5]；幾何学的ラングランズプログラム（英語版）への応用を持つ量子化されたヒッチン系 [a2]．
さらに、曲線 をモジュライ空間の中で動かすことで、ヒッチン [a10] はバンドル空間の上の射影的な接続を構成することで、幾何学的量子
化へ到達した．
熱作用素（英語版）に関連する方法は、熱方程式をランク1の場合のリーマンテータ函数（英語版）を特徴づける熱方程式へと一般化さる．
熱作用素の係数は、ヒッチン系のハミルトニアンによって与えられる．
ヒッチンのハミルトニアンと接続との明確な公式は、種数2の場合には、[a7],[a6] で議論された．(KP-フロー（英語版）も参照)を持ったH
itchin のハミルトニアンは、[a4] と [a11] で与えられた。
- 275 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:25:07.46 .net
- さて、Wittenに代表される弦の理論家は、理論物理学に限らず数学に対しても
少なからぬ影響を与えてきた．彼らの研究のいくつかは数学者に大きな衝撃を与
え、それらを理解しあるいは証明しようとする努力によって数学に長足の進歩を
もたらしたのである．その例としては結び目や_ 次元多様体の量子不変量、曲面
上のベクトル束のモジュライ空間の幾何やVerlinde公式、4次元多様体のSerberg
Witten不変量やインスタントンの数え上げに関するNekrasov予想などがあり、
枚挙にいとまがない．
弦理論は失敗した現象論として生まれたが、やがて最も高貴な力である重力
と、人類の自然に対する最も基本的な理解である量子論を調和させ、この世界
にはたらく全ての力と元素を奥の奥で統べている究極の理論であるという宗教
に成長した．しかし、近年の数学に対する弦理論のインパクトを考えると、む
しろ弦理論は物理学ではなく数学を統一しようとしている様にすら見える．実
際、これまでにも既に弦理論はRiemann面のモジュライ空間とモンスター群論、
KdV方程式、Donaldson理論といった似ても似つかないものを結び付けてきた．
また、KontsevichによるPoisson多様体の変形量子化に代表される一連の仕事は、
Riemann面のモジュライ空間が全ての結合代数の変形をも背後から支配している
ことを示しているように見える．そこで、ここでは（多少の無理は承知で）次の
ようなスローガンを唱えてみたい：
・弦理論とは、Riemann面のモジュライ空間が全数学を闇から支配している
と信じる宗教である．
この背後にある仕組みを理解することが、数学の立場から弦理論を研究する者に
求められていることではないだろうか．
（引用おわり）
・近年の数学に対する弦理論のインパクトを考えると、むしろ弦理論は物理学ではなく数学を統一しようとしている様にすら見える．
・弦理論とは、Riemann面のモジュライ空間が全数学を闇から支配していると信じる宗教である．
- 276 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:26:22.68 .net
- 80対20の法則 rule ＠IT情報マネジメント用語事典
- 277 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:26:40.57 .net
- 果や結果の8割は、その要素や要因の2割に基づくという一般法則
2:8の法則」「80-20ルール」「にっぱちの法則」などともいい、
- 278 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:27:09.27 .net
- パレートの法則（Pareto's law）、パレート原則（Pareto's principle）と同義とする場合もある。
「全所得の8割は、人口の2割の富裕層が持つ」（パレートの法則）、
「故障の8割は、全部品の2割に起因する」（パレート原則）、
「文章で使われる単語の8割は、全単語数の2割に当たる頻出単語である」（ジップの法則）、
「売り上げの8割は、全顧客の2割に依存している」、
「ソフトウェア開発工数の8割は、全コードの2割の部分に割かれている」
など、さまざまな現象・場面に見られる。
くから一種の経験則として知られていたが、2000年にゼロックス・パロアルト研究所（当時）のレダ・A・アダミック（Lada A. Adamic）がこ
うした現象をべき法則（power law）の一部として解釈できることを示した。
複雑ネットワークの分野ではスケールフリーネットワークにおける一般的現象であると解釈されている。
そういう意味では、証明の背後にある数学的構造を理解し、証明のあらすじを理解することが重要だろう
アルティンのガロア本を有難がるむきがあるが、入門書としては分かりにくいと思う。どこが重要な20なのか、証明のあらすじが見えない
。ガロア理論をある程度理解した人が見ると良いかもしれないが
その答えは、結局は人それぞれに考える必要があると思うが
一つは、自分がどういう立場にあるかということ
数学研究者の立場なのか、あるいは数学を応用する立場なのか
証明の背後にある数学的構造を理解し、証明のあらすじを理解し、証明の細部は必要に応じ自分で構築できる。そういう勉強法もあるだろう
グロタンディークは、他人の理論は分かりにくいと、全てを再構築した
一方で、数学的に厳密に証明することには、大きな意義がある
数学的に厳密に証明するために考え出される数学的道具は、証明を超えて様々な分野で使われるようになる
それが、数学が物理を凌駕するところだろう
- 279 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:28:12.68 .net
- 1994年のチューリッヒでの国際数学者会議の報告で、コンツェビッチは次のような予想をした．
カラビ-ヤウ多様体のペア X と Y のミラー対称性は、代数多様体 X から構成された三角圏（英語版） (X 上の連接層（英語版）の
導来圏（英語版）)と、もう一つの Y のシンプレクティック多様体から構成される三角圏(深谷圏（英語版）)の同値性として説明されるのではないか．
エドワード・ウィッテンは、最初にN=(2,2)の超対称性場の理論を位相的ツイストすることで、位相的弦理論（英語版）のAモデル
とBモデルと呼ばれるモデルを記述した．
これらのモデルは、リーマン面から普通はカラビ-ヤウ多様体である固定された対象空間上への写像に関係する．
数学でのミラー対称性予想の多くは、Y 上のA-モデルと X 上のB-モデルの物理的な同値関係とみなせる．
リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表わす．開いた弦については、超対称性を保存する境界条件を
導入する必要がある．
A-モデルでは、この境界条件として追加された構造（ブレーン構造と言う）を持った Y 上のラグランラジアン部分多様体（英語版）から導出される．
B-モデルは、境界条件として X の上の正則（もしくは代数的）べクトルバンドルを持つ部分多様体から導出される．これらは適当な圏
を形成する対象で、AブレーンやBブレーンということもある．
圏のモルフィズムは2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられる．
A-モデルとB-モデルの閉じた弦は、単純に弦理論の全体の一部（トポロジカルセクター）と考えられ、また同様に、これらのモデルの
ブレーン構造は、Dブレーンという力学的対象全体の位相的な近似と考えられる．
しかし、弦理論のこの部分から出てくる数学的結果は深く、また難しい問題であ
「フラットランドの量子重力」の中で、WittenさんとMaloneyさんの最近の話がでてきます．
2次元重力の単純なバージョンでは、ホログラフィックな原理の予言が正しくないようですと示唆しています」とセンセーショナル
な記載がありますが、このの元来の議論です．
プレプリントは難しいので、この解説（少し古いのですが、）ノートにありますので、日本語化して掲載します．私の勝手なコメントを入れました．
- 280 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:29:14.05 .net
- 弦理論から見た幾何学 超弦理論 大栗博司のブログ
高木貞治先生は、私の高校/尋常中学の先輩なので、このような機会をいただいたことは特に光栄でした。高木先生は類体論を確立して、
「クロネッカーの青春の夢」と呼ばれる数学の予想を解決されたことで有名です。
また、『近世数学史談』を読んで数学者になろうと思った人も多いと思います。この本では、楕円関数論をめぐるガウス、アーベル、ヤコ
ビの活躍が山場ですが、私は高校生の時に読もうとして挫折しました。
その7年後に、２次元の共形場の量子論の研究で楕円関数が出てきたときには、敗者復活戦のつもりで勉強しなおしました。
私の高木レクチャーの題名は Geometry As Seen By String Theory （弦理論から見た幾何学） としました。
紀元前３００年ごろにアレキサンドリアのユークリッドによって編纂された『原論』の第１巻が「点とは部分を持たないものである」という定
義から始まっていることからもわかるように、幾何学の基本単位は点です。
一般相対性理論と量子力学を統一する理論の候補である超弦理論は、１次元に拡がった弦を基本単位にしているので、幾何学に新しい見
方を導入しつつあります。そこに焦点を置いた講演にしました。
このような数学者と物理学者の交流によって、統一理論が完成することを期待しています。
高木レクチャーでは、講演会の前にあらかじめ講義録の草稿を作ることを頼まれ、それが当日に左のような美しいブックレットになって配布されました。
そして、講演中の質問やその後にいただいたご意見を考慮して、講義録をまとめることができました。これはよいシステムだと思いました。講
義録をまとめるのに半年もかかって主催者の方々にご迷惑をかけることがなければ、もっとよかったと思います。
私はこの講演会を機会に日本数学会に入会しました。定理を証明する論文を書いたことがないので、場違いかもしれませんが。
（非可換）類体論、谷山志村、ラングランズ、楕円曲線、K3曲面、モンスタームーンシャインと頂点作用素、リーマンゼータと量子カオス
全てが、”弦理論とカラビヤウと双対”に結びついているのか
- 281 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:30:34.33 .net
- 私はこの講演会を機会に日本数学会に入会しました。定理を証明する論
文を書いたことがないので、場違いかもしれませんが。
- 282 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:30:50.82 .net
- 大栗先生の数学勉強法を想像してみるに、必要な数学をなんでも貪欲に、しか
し細かい証明は後回しで使いながら理解する
そういう物理学者風の勉強方ではなかったかと思う
- 283 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:31:04.68 .net
- 証明は大事だが、物理学のためには数学の証明は必須ではない
そんな勉強法ではなかったろうか
数学において、スペクトル理論（spectral theory）とは、正方行列の固有ベクトル、固有値に関する理論の無限次元への拡張を指す。
スペクトル理論の名称は、ダフィット・ヒルベルトが自身のヒルベルト空間論の定式化に際して、“無限個の変数を持つ二次形式”に対応
量子力学において、離散スペクトルの特徴をスペクトル理論を用いて説明できることが思いがけず知られるようになるが、それは後の時代の話である。
スペクトル理論の定式化は主に3つの段階に分けられるが、いずれも重要である。
ヒルベルトによる最初の定式化の後、物理学の要請に応える形で、主にフォン・ノイマンが抽象ヒルベルト空間とその上での正規作用素の
スペクトル理論を発展させた。
また、これに基づくさらに進んだ理論には、抽象的に与えられるバナッハ環の概念などが含まれる。
このような理論の発展は、可換バナッハ環に関するゲルファント表現の理論を導き、さらにその非可換版としての非可換調和解析を生んだ。
これらの違いはフーリエ解析とのつながりに見ることができる。実数直線上のフーリエ変換は、ある意味では微分作用素としての微分の
しかし、物理現象を説明しようとすると、（ゲルファントの三つ組のような）一般化された固有関数を扱う必要が生じる。
一方で群環を構成するのは容易であり、微分のスペクトルがフーリエ変換の基本性質を記述していることが、ポントリャーギン双対によって確認できる。
積分方程式・フレドホルム理論・コンパクト作用素
スツルム-リュービル理論・水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
スペクトル定理・エルミート作用素・スペクトル分解・汎函数計算
等スペクトル理論・ラックス対
作用素のスペクトル
アティヤ＝シンガーの指数定理
スペクトル幾何学
スペクトルグラフ理論
- 284 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:31:53.33 .net
- 構造化プログラミング(こうぞうかプログラミング)とは、命令的プログラムの文脈において、階層的に抽象化されたプログラムの組み合わせとして
プログラムを記述する手法である。1967年、エドガー・
ダイクストラらによって提唱された。
歴史
コンピュータが実用化され、その有用性が認められるようになるにつれ、その上で動作するプログラムは次第に大規模なものとなっていった。大
規模なプログラムを矛盾なく正当に動作するように記述することは一般にとても困難である。
1960年代ではプログラムはフローチャートによる設計が広く採用されており、goto文も広く使われていた[2]。その一方でgoto文の多用はプログラ
ムの質を下げるという性質や、多くのプログラムはgotoを使わずに記述できるという性質が経験則として知られていた。
例えば1959年にはハインツ・ツェマネクはgoto文に関する疑問を抱いており、後のダイクストラの考えに影響を与えた[3]。
また1960年からD. V. Schorreはgoto文を使わず、フローチャートではなくインデントで構造を表したアウトラインテキストでプログラムを記述して
いた[2]。
そして1966年コラド・ベームとジュゼッペ・ヤコピーニによって、任意のフローチャートは基本フローチャートの組み合わせによる等価なフローチ
ャートに変換できるという定理が示された[4]。この定理は後に構造化定理と呼ばれるようになった[誰によって?]。
ヤコピーニは3種の基本構造(順次・反復・分岐)に分解する手法と2種(順次・反復)に分解する手法を示したが、今日単に構造化定理と言った場
合前者を指す。
そのような背景の元、1968年にダイクストラは“Go To Statement Considered Harmful”[3]という記事を発表し、大きな反響を呼んだ[5]。この記
事が構造化プログラミングの提唱であるとする場合も多い[誰によって?]。
「構造化プログラミング(Structured Programming)」という語は1969年に開催されたカンファレンス“Software Engineering Techniques”においてダ
イクストラが提唱した[1][注釈 2]。
- 285 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:32:21.22 .net
- 一方、goto文を使わずに3つの基本構造による代替を行うと、理論上は同値であっても実際にはプログラムの実行速度や記憶容量の点で
性能が劣化する場合がある[2]。また、特殊な場合にはgotoを使った方がプログラムを見通しやすくなると考える人もいる。
例えばドナルド・クヌースも、著書「文芸的プログラミング」の中でそのような例をいくつかあげている。
こうした理由から、goto文を撲滅するのではなく上手に使い分けるべきだと考える人もいる[誰?]。
goto文論争が不毛なのは、「構造化プログラミングの観点からgoto文を使うのは望ましくない」という結論は真だが、「goto文を使わなければ
構造化プログラミングになる」というわけではない点である。
構造化プログラミングの本質は、状態遷移の適切な表現方法とタイミングを見極めることであり[要出典]、これはプログラムの良し悪しを決め
る永遠の命題であるといっていい[要出典]。
現在C言語を除く主流派の言語では、そのままのgoto文はほとんど見られなくなった。替わりにbreak文、continue文、もしくは例外処理のよ
うな特殊脱出(去勢されたgotoとも呼ばれる[要出典])をサポートし、単純な構造化制御だけでは弱いと考えられる部分を補っている。
また、Scheme等でサポートされている継続は「引数付きgoto」と呼ばれることもある[誰によって?]。
またクロージャやコードブロック、継続のような強力な制御機構を持つ言語ではそもそも抽象度の低いgoto文を使う必要性は低い。例えば
Haskellにおいてはモナドを利用して例外や非決定性計算などの様々な制御構造を表現できる[要出典]。
またSmalltalkやIoにおいても制御構造はブロックを扱うメソッドとして表現している[要出典]。
一方で、例えば1999年から設計されたD言語はgoto文を含んでいる[8]。また、PHPも2009年にリリースされた5.3において制限された形では
あるがgoto文が追加された[9]。これはgoto文を支持する者[誰?]が少なからず存在する事実を示す例である。
- 286 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:32:55.82 .net
- 現代数学の難しさ－その３ | サラリーマンのすらすらＩＴ日記 2011/10/02
抜粋
今回は代数トポロジーの難しさについて書いてみます。
トポロジーを専攻していただけあって、さすがに大学時代に代数トポロジーの難しさは克服したのですが、初めは非常に難しかった。
難しい理由の一つは、トポロジーの議論が進むにつれて、あまりにも整備された理論での議論になってきて、なぜそういう議論に
なるのかがわからない点です。
ポアンカレが19世紀から20世紀にかけて導入したホモロジー群の考えは、
多様体（図形）を「単体」という図形の基本となる三角形に分割して、面とその境界である辺、さらに辺の境界である点に分けて（さらに高
次元の単体も含む）それらの関係を考察したもので、今の代数トポロジーの基盤になりました。
ところが今の代数トポロジーの本を読むと、初めは単体分割の議論から始まりますが、突然チェイン複体の議論になり、そこから完全系
列が導き出されて、その完全系列を使ってホモロジー群を計算するという議論に移ってしまいます。
チェイン複体以降の議論は幾何学的な様相はほとんどなく、もっぱら代数的な議論に変わってしまいます（そういった代数的な議論は、後
にホモロジー代数という分野として発展していきます）。
この、いつのまにか幾何学から代数学に移ってしまう議論に、初めは戸惑ってしまいますし、また、ポアンカレが探求してきた根源的
（プリミティブ）な議論はどこへやらという感じです。
ポアンカレ以降の数学者が整備して、今のホモロジー論になったわけですが、大学の講義では整備された議論だけを扱います。
まあプリミティブな部分は自習してくださいということでしょうか。
さらに問題なのは、大学3年次の初めに習うこのホモロジー群を使った議論が、同じ3年次に代数学の講義で習う群論と同時進行か
あるいはそれより先にあることです。
これは聞いた話ですが、ある大学院ではコホモロジーに関する講義を行う時間が取れないため、コホモロジー論は自習してもらって、
既知のこととしてその先の講義があるとのこと。これはまずいのではないでしょうか。
- 287 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:33:20.80 .net
- 位相的弦理論の分配関数と数え上げ 菅野浩明 名古屋大 2006 SSS2006LecC
2006 年度原子核三者若手夏の学校素粒子論パート講義C 講義録
講義録作成：東大本郷（木村圭助, 栗山実, 齋藤遼, 柴正太郎, 白井智, 初田泰之, 林博貴, 八木太, 山崎雅人, 横山修一）
0 Why topological string?
（司会）講義の方に移りたいと思います. 講師は名古屋大学の菅野さんで, 「位相的弦理論の分配関数と数え
上げ」というタイトルでお話し頂きます. ではよろしくお願いします.
どうもありがとうございます. 名古屋大学の菅野です. 今日と明日, 午前の時間を使って, 位相的弦理論につ
いての入門的講義をします.
最初にこの講義を引き受けたときは, もうちょっと最近の話題をと思ったんですけれども, 夏の学校と言う
わけで, 特にM1, M2 の方が多いでしょうから, ある程度入門的なところからやろうかと思います. 最終的に
どの辺までいけるのか, ちょっと時間の関係で分かりませんけれども, いけるところまでということでやって
いきます.
それから, string theory といってますが, 多分string がほとんど出てこないんじゃないかと恐れています.
だからstring theory を知らない人には, これのどこがstring theory なんだと言われるかもしれませんが, 場
の理論的な計算なども多く出て来るので, string theory を全く知らない人でも, 多少分かっていただけるので
はないかと思います.
最初に, どうして位相的弦理論を考えたいのか, どこが面白いのか, どういうふうに使われているのかという
ことからお伝えしていくことにしたいと思います.
2 Toy model
それで, どうして位相的弦理論かって言うことで, まず一つめは, 最近というか, 1990 年代以降に, 様々な
string のduality とか, 或いはゲージ理論においても強結合のdynamics などに興味がもたれている訳ですけ
れども, それらに関する一つのtoy model としての役割があります.
例えばstring duality として知られているものとしてどういうものがあるかというと, 一番有名なのは例
えばミラー対称性. 或いはT-duality. それから, electro-magnetic duality（S-duality）. 或いは, 最近特に
注目を
- 288 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:33:52.02 .net
- 「微分方程式」なる数学手法があるが、およそ役立たずの代表である数学にあって、私に言
わせれば、例外的に現代人にとって最も有用な技術であり、考え方であると思う。 と
ころが一般の人にはこれほどアカデミックな難物として敬遠されているものもない。「微分」
「積分」まで修めた者にのみ許される究極の秘術（？）として、「微分方程式」は世に崇め奉
られている。しかし、そんなことは決してない。
「微分方程式」を解析的に解いたり、その理論うんぬんは数学の専門家にまかせたらよい。
しかし、「微分方程式」で考えたり、その結果をグラフなどで眺めることは、誰にでもできる
し、現代人に必要な素養である。世の中の現実のデータは数学の関数ではない。銀行の勘定
項目やら、機器の測定値などさまざまなところから数値の羅列として、さらに具体的には
EXCELのファイルデータとして与えられることが日常である。
現代のコンピュータ時代に合った「微分方程式」の理解のしかたがあるはずである。そし
てこれはAPL、Jの考え方によって最もよく理解されると私は考える。
Jはプログラミング言語の一種で、正式名称はアルファベット1文字の「J」だがC言語と同様、「J言語」と一般には呼ばれている。
概要
Jは1989年、APLの提案者でもあるケネス・アイバーソンによりAPLの後継として提案された。
APLは数式の表記、特に配列の処理に優れており、多くの計算式を極めて単純に表記できる利点を持っていたが、・・・
JはAPLの反省をふまえて、APLと同様の計算を通常のASCIIコードのみで使用できるようにした、またこの言語独自の機能である「
演算子の合成」という機能が追加された。
これらの機能によりAPLのような表記の問題は解消されたが可読性はAPLよりもさらに下回ったという批判もある。
- 289 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:34:40.31 .net
- トポロジーを実質的に創始したポアンカレ
それは、三（多）体問題が解析的に解けないというポアンカレ自身の証明にその動機があるといわれている
- 290 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:34:53.77 .net
- 三（多）体問題が解析的に解けないが、そのまま放置するわけにはいかない
地球を含む太陽系の天体運動は多体問題だし、二体問題しか解けないのは大問題だと、
ポアンカレはおそらく思ったのだろう
- 291 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:35:28.12 .net
- で、解析解を離れていろいろ考えてトポロジーへ（下記）
微分位相幾何学もしくは微分トポロジー（英語：differential topology）は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。
歴史
微分幾何学はカール・フリードリヒ・ガウスやベルンハルト・リーマン等による曲率の研究に、位相幾何学（トポロジー）はゴットフリート・
ライプニッツやレオンハルト・オイラー等による位置の解析に端を発するが、
微分幾何学と位相幾何学の初期の学際はアンリ・ポアンカレによる三（多）体問題の解析がある。
三（多）体問題とは天体力学から派出したもので静かな空間に3つ（もしくはそれ以上）の物体が浮かんでいるときその物体はどのような運
動をするかという力学系（従って解析学）の問題である。
ポアンカレはこの力学系を定める微分方程式のベクトル場がある多様体を作ることに注目して、その多様体にトポロジー的知見から迫ること
でニュートンの時代からある難問を解いた。
ポアンカレはカオス的な振る舞いをする力学系を初めて発見した解析学者であり、トポロジーを1つの学問として定式化したトポロジストでもある。
純粋な多様体の問題に関する初期の例には前述のポアンカレやドイツの数学者フェリックス・クラインとその弟子パウル・ケーベ等による2次
元多様体（曲面）の幾何構造による分類がある。
幾何構造は曲率から生まれた概念でしたがって微分幾何学に関係する。彼等は全ての2次元多様体にそれと同相で（位相的に等しく）自然
な幾何構造をもつものがあることを証明した。
後にジョン・ナッシュはこれを発展させたナッシュのリーマン多様体埋め込み定理を証明した。これらは2次元の微分幾何学における最も大き
な成果である。
年代にはアーエイチ・ビングとエドウィン・モイーズによってそれぞれ独立に全ての3次元多様体が三角形分割できることが証明される。
多様体が三角形分割できるということは微分可能な多様体に同相変換可能だということ、つまり3次元トポロジーの研究に微分幾何学を応用できるということを示す。
この発見を皮切りに3次元の位相幾何学と微分幾何学の関係の研究が急速に発展することになった。
同じ頃1956年、ジョン・ミルナーがフランスのトポロジストでカタストロフィー理
- 292 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:35:57.94 .net
- 数論を含む純粋数学と理論物理学の双方の分野で顕著な業績を残した。20世紀において最も影響力のある数学者であるとともに、
初期のプリンストン高等研究所の重要なメンバーであった。
彼は一般相対性理論と電磁気学を結び付けようとした最初の人物の一人であり、アンリ・ポアンカレやヒルベルトの唱えた'普遍主義'について、同時代の誰よりも深く理解していた。
特にマイケル・アティヤは、数学上の問題に取り組む際、常にワイルが先行する研究を行っていたと述懐している[1]。
1918年に、彼はゲージの概念を導入し、現在ゲージ理論として知られている最初の例を与えた。
後の研究に大きな影響を与えた彼の著書『古典群』(The Classical Groups) では、不変式論について再考し、対称群、一般線型群、直交群、斜交群と、その不変式、群表現について考察した。
（『古典群 不変式と表現』 蟹江幸博訳、シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス 第15巻〉、
-431-71125-2。）
語録
ワイルの以下のコメントは、幾分冗談を交えたものであるが、彼の人柄をよく表している。
私の仕事は、常に真実を美と統一しようとするものであった。しかし、どちらか一方を選ばざるを得ない時には、美を選んだ。
数学の究極の基礎、究極の意味についての問題は、未だに解決されていない。どの方向に進めば最終的な答えが見つかるのか、あるいは最終
的な解が存在するかどうかすら分かっていない。
「数学化」は、言語や音楽と同様に、人間の高度に独創的な創造的活動の一つに過ぎず、その歴史的決定を完全に客観的に合理化するのは不
可能なのかもしれない。?Gesammelte Abhandlungen より
数学の問題は、それ自身で孤立して存在するものではない……
（非述語的定義の）循環論法は、通常の集合や関数の概念の曖昧な性質に基づいた解析学に浸透し、容易に修正できない誤りとなっている。
最近では、トポロジーの天使と抽象代数学の悪魔との葛藤が、すべての数学の研究で起きている。
- 293 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:36:49.07 .net
- 志村 五郎(著)『数学をいかに使うか』は、証明の楽しさを強調する数学者の方が多い中にあって、「使える」ことを重視するというやや異色の立場で書かれた本です。
もちろん証明を軽視しているわけではなく、本書の中でも必要に応じて証明が示されていたり、読者に向けた問題が出されていたりします。
要するに数学は学ぶにせよ教えるにせよ、決められた伝統的な段階をふんできっちりとやらなければならないものではない。特に「何でも厳密に」などと考えてはいけいない。これは教育上で言っているのであって、
厳密でなければならない場所はもちろんある。
数学に割ける時間は限られている以上、その有限な時間を最大限有効に使うためには、何が重要で何を教えるべきか、考え直したほうがよい
のではないかというのが、著者の主張であり、本書から読み取って欲しいと著者が願っていることでもあると思います。
厳密にやらなければいけいないことも後になって出てくるでしょうが、全体が見通せた上で取り組んだほうが取り組みは容易になるのではないでしょうか。普通の人には全てにおいて専門家になるなんで無理ですから。
net/study/common/concept.html
サイト作成の動機
「ディジタル信号処理」 とか 「数学解析」 のあたりは、 「工学数学と純粋数学の間を埋めたい」とかそういう理由。
工学側の「何でこうなるかは分からないけど、使えればいいや」ってのも、 純粋理論寄りの「何に使えるのか分からない」ってのもあまり好きで
はないんで。 「何でこうなるのか」も「何に使えるのか」も疎かにしない文章が書けたらいいなぁと。
その他、趣味と自分用メモのつもりで書いているものも多々あります。
個人的な信念ではあるんですが、 「何事も他人に教えられるようになって初めて一人前」と思っているんで、 「自分が勉強するために他人に
教える」というスタンスでやってます。
実際、他人に教えることを意識して勉強したり、 他人の目に触れることを意識して文章を書くことで、 ただ闇雲に読み書きするよりも
深い理解が得られていると思っています。
- 294 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:37:40.36 .net
- 以外の対称操作の集合は次のように群の公理を満たしている。
1.結合法則:任意の操作a, b, cについて(a×b)×c = a×(b×c)が成立。
2.単位元:任意の操作aが恒等操作eについてa×e = e×a = aとなるようなeが存在する。
3.逆元:任意の操作aに対し、a×a-1 = a-1×a = eとなるa-1が必ず存在する。
この群のことを与えられた図形の点群という。
例えば底面が正三角形の三角錐（正四面体ではない）では、頂点から底面に下ろした垂線は3回軸である。また、この垂線と三角錐
の稜線を含む面（3つある）は鏡映面である。
したがって、この図形では、対称操作として、恒等操作、120度時計回りの回転操作、120度反時計回りの回転操作、3つの鏡映操作が可能である。
この6つの対称操作が群をつくることは、どの2つの連続操作も1つの操作で表現されることからわかる。
点群を記述するのにはシェーンフリース記号かヘルマン・モーガン記号（国際記法）のいずれかが用いられる。例えば底面が正三角形
の三角錐の点群はシェーンフリース記号では C3v、ヘルマン・モーガン記号では 3m と表記される。
結晶点群・空間群
正五角形で平面を埋め尽くすことはできない。例えば72度回転する回転操作は並進操作とは両立しない。このように点群の中で並進操作と
両立するものは限られており、3次元の場合は32種しか存在しない。
結晶においては並進操作が成り立たなければならないから、この32種の結晶に許される点群を特に結晶点群という。
結晶点群に含まれる対称操作に並進操作を加えた場合も群を作る。これは空間群と呼ばれる。空間群は全部で230種類ある。
空間群（くうかんぐん、英: space group[1]）は、結晶構造の対称性を記述するのに用いられる群である。
群の元となる対称操作は、点群での対称操作（恒等操作、回転操作、鏡映操作、反転操作、回映操作、回反操作）に加え、並進操作（すべて
の点を平行に移動させる操作）である。
空間群は全部で230種類あり、すべての結晶はそのうちの1つに属している。ただし、原子の配列は原子の性質や化学結合によるため、大
半の結晶構造は100種類程度の空間群に含まれる。
- 295 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:38:26.45 .net
- mepage3.nifty.com/tsuyu/column/bravais.html
結晶系とブラベー格子の違い －ブラベー格子(Bravais Lattice)の意味
単位格子を上下、左右、前後の３方向に繰り返していけば、結晶ができあがる。このとき単位格子を回転させてはいけなくて、あくまでも単位
格子を平行移動させるだけである。
だから単位格子は必然的に円錐や三角錐でなく、立方体、直方体などの平行六面体となる。
この平行六面体がどのような形をしているか、つまり単位格子がどのような対称性をもっているかで７種類の結晶系に分類することができる。
対称性の高い方から、立方晶（等軸晶）、正方晶、三方晶（菱面体晶）、六方晶、斜方晶（直方晶）、単斜晶、三斜晶である。
このように単位格子自身が持つ対称性では７種類に分類されるのだが、これにさらに並進対称性も考えて分類すると１４種類となる。これが、
ブラベー格子である。並進対称性とは、どう平行移動させたときに元と重なるかである。
単位格子である限り、単位格子の一辺分の長さをその辺に平行に平行移動させれば、元と重なるから（当たり前）、単位格子は一辺分の並進
対称性は必ず有しているといえる
種類が増えるのは、面心や体心にも原子が存在した場合のためである。例えば立方晶の面心に原子があれば、単位格子一辺分も動かさなく
ても、例えば（a/2, a/2, 0）動かすだけで、元と重なる。
これは動かす距離が一辺分より小さいから（一辺の整数倍で表現できないから）、面心に原子がないものとは別に考える必要がある。面心に
原子があるものと、ないものでは並進対称性がちがうのである。
ちなみに面心や体心以外の場所に原子を追加してもブラベー格子にはならない。そのような原子は他の原子と同じ環境にない（そ
の原子を中心に見たときの配列が違う）からである。
このように考えていくと、７種類の結晶系すべてについて、体心に原子がある場合、面心（６面全部）に原子がある場合、底心（２面の
中心）に原子がある場合と場合分けして考える必要が出てくるわけだが、単位格子のとり方を変えると
底心正方晶 → 普通の正方晶
面心正方晶 → 体心正方晶
など同等のものが多数存在するため、重複を消すと全部で１４種類となる。
順番に考えていくと、いい頭の体操である。
- 296 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:39:22.35 .net
- ガロアの時代 今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない
体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算（積と和）で閉じた集合として捉えられていない
そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う
>>11
さて、ガロアは
V、V'、V''、・・・・、V''*
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
１．この方程式は、例えば一般の５次方程式なら根の置換は１２０個あり
２．V、V'、V''、・・・・、V''*も、１２０個あり（５次の置換で異なる値をとるから）
３．F(x)は１２０次の方程式
４．そんなものを考えてどうなる？
５．どっこい、F(x)の１２０次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ
例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に添加すると
ガロア方程式は、二つに分けられるだろう
''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて
V、V'、V''、・・・・、V''**として
F'(x)＝（x-V）（）・・・・（x-V''**）を作ることができる
残りの積は、奇置換に属するものの積
こう考えることにより
ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる
これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ
- 297 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:40:44.65 .net
- Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業
わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用)
これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。
問題を見てすぐに解答、解説を読みます。
英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。
最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。
1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ～って感じで読むだけで超高速で終わらせます。
2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。
3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
…こんな感じで7周ぐらいやってみてください。
これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。
拾えるものだけ拾うって言うのは
○こういう意味だから、こうなのか
○これとあれは似てる
○こういう計算になるから、こうなる
○語呂合わせ などです。
最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさな
いで意味を拾えるだけ拾っていきます。
ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計
算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。
繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。
こんな勉強法が良いのでは？ 数学の本が最後まで読めないという勉強法は古いように思う
証明の細部は飛ばして、まず全体像をつかむ、定理と証明の組み立ての構図をつかむ、その後、細部の証明を読む
全体像がつかめていれば、証明は自分で見出すことも可能だろう
数学の勉強が、非Nativeの語学勉強法に似ていると思えば
わんこら式数学の勉強法も、語学勉強法に似ているといえるかも
- 298 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:41:38.80 .net
- フェルマー予想と ABC予想. 山崎隆雄（東北大学）
- 299 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:41:55.18 .net
- 整数と多項式には多くの共通する性質がある。和・差・積
が定義される（しかし商は必ずしも定
- 300 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:42:03.47 .net
- 義されない）ということを出発点として、約数・倍数・素数・素因数分解などの基本概念が平行
した方法で扱えることが顕著である。そこで、整数論の有名問題、特にフェルマー予想を取り上
げて、その多項式に対する類似を考える。講義では、この問題に対して「ABC 定理」を経由し
た証明を解説する。このABC 定理は多項式に対する定理であるが、その整数における類似を考
えると、これがabc 予想という未解決問題にたどり着く。その周辺の話題を紹介する。
この原稿は、以下で行った講義が元になっている：
・現代数学講演会（２００７年１２月１８日、於仙台第一高等学校）
・ＪＭＯ夏季セミナー（２００８年８月２６日、於山梨県清里高原「ヴィラ千ヶ滝」）
・数学概説Ｂ（２００９・２０１０年、於東北大学）
・科学者の卵養成講座（２０１０年６月１２日、於東北大学）
・現在執筆中のIUTeich理論の論文の進捗状況について報告する。前回（＝
2009年02月）の報告では、理論を3篇の論文に分けて執筆中であると書いた
が、その後3篇が次の通り4篇に増えた。
これは、別に数学的内容が増えたことによって起こったことではなく、む
しろ理論をきちんと定式化することによって理解がより精密になり、それ
によって理論を前と比べてある程度簡略化することができているが、理論
を詳しく解説しながら、1篇の長さを100ページ余りに抑えようとすると、
さらなる分割が必要になることが判明しただけのことである。
現在は、IUTeich II をほぼ半分書き終えたところである。つまり、この
プロジェクト全体が「4.0」だとすると、そのうちの「1.5」位まで書き
進んでいることになる。IUTeich I は、2月頃一旦書き終えたが、その後
ある部分を書き直したり、また新たな節を追加したりしたことによって
全体のペースが少し落ちてしまった。現在のところ、大体「1篇に1年
（弱？）位」掛かるというペースなので、書き終わるのは2012年の夏頃
という計算になる。（もちろん保障はできないが!）
- 301 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:42:41.41 .net
- /mathsoc.jp/publication/tushin/1001/tamagawa2.pdf
［p 進タイヒミュラー理論］
複素数体上の双曲的代数曲線とそのモジュライ空間の一意化理論としては, （ケーべ
の一意化定理, ベアス理論などを含む）タイヒミュラー理論が古典的に確立されていま
す. 一方, p 進体上の（偏極）アーベル多様体とそのモジュライ空間の一意化理論として
は, セール・テイト理論が１９６０年代に確立されています. しかしながら, p 進体上の
双曲的代数曲線とそのモジュライ空間の一意化理論は, 望月さんの研究以前には満足の
いくものがほとんどありませんでした. （マンフォード一意化理論はありましたが, こ
れは, タイヒミュラー理論ではなくショットキー一意化理論の類似です.）
タイヒミュラー理論は, 通常の定式化では純に複素解析的なものであり, p 進的類似
を求めることは不可能に思われます. そこで, 望月さんは, タイヒミュラー理論の固有束
による定式化に着目し, これを足がかりにしてp 進タイヒミュラー理論を構築していき
ました. その際, 技術的な核となったのは, 正標数代数多様体の上のクリスタルの理論や
p 進代数多様体のp 進ホッジ理論などです. その結果, 代数曲線とそのモジュライ空間
の望ましいp 進一意化理論が完成し, 曲線のモジュライ空間上の標準フロベニウス持ち
上げと標準座標, 曲線の標準持ち上げ, 曲線の数論的基本群のPGL2 への標準表現, な
ど斬新かつ基本的な対象たちが続続と発見されました. これらの結果は, 約２００ペー
ジの大論文[1] と５００ページ超の大著[2] にまとめられました.
p 進タイヒミュラー理論の応用としては, 望月さん自身によって, 曲線のモジュライ
空間の既約性の別証明や, 遠アーベル幾何（絶対p 進グロタンディーク予想）への応用
などが得られています.
- 302 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:43:16.11 .net
- 遠アーベル幾何（anabelian geometry）とは, １９８０年代初頭にA. Grothendieck
が提唱した数論幾何の新しい方向で, 狭義には, 有理数体上有限生成な体上の「遠アー
ベル」な多様体の幾何がその基本群の上の（外）ガロア表現によって完全に復元される
という, いわゆるグロタンディーク予想を意味します. 双曲的代数曲線に対するグロタ
ンディーク予想は, 中村博昭さん（現岡山大）と筆者によって部分的に解決されていま
したが, 望月さんはこれを完全に解決し, 更に, p 進体上でも同様の結果が成り立つこと
を示しました. この際, p 進体上の代数多様体に対するp 進ホッジ理論が中心的な役割
を果たしました. 望月さんのこの結果は, 現在に至るまで遠アーベル幾何の最高峰をな
し, 広く数論幾何学者全体に影響を与えていると思います. 特に, Grothendieck 自身が,
遠アーベル幾何は素体上有限生成な体に固有なものと考えていこともあり, また, アー
ベル多様体のテイト予想の類似からも, p 進体上でグロタンディーク予想が成立するこ
とは意外であり, 望月さんの結果のインパクトは大きかったと思います.
望月さんの遠アーベル幾何における成果は, Inventiones mathematicae 掲載の１００
ページ超の大論文[3] などにまとめられました. なお, 望月さんは, 「代数曲線の基本群
に関するグロタンディーク予想の解決」の題目で, １９９７年度日本数学会賞秋季賞を
（中村氏, 筆者と共同で）受賞しています. また, 望月さんは, p 進タイヒミュラー理論と
遠アーベル幾何に対し, 内在的ホッジ理論の枠組みで統一的な視点を与え, これについ
ての総合的な報告を, １９９８年（２９歳で！）国際数学者会議の招待講演にて行いま
エフェクティブモーデル予想, abc 予想などのディオファントス幾何の重要未解決問
題は, スピロ予想を通じて, 楕円曲線のモジュライ空間の代数体の整数環上のセクション
の研究と解釈でき, すなわち, 代数体の整数環上の（一般化された）楕円曲線の研究と
解釈できます. この解釈により, このような大域的対象に対する望ましいホッジ理論が
あれば, ディオファントス幾何へのアプローチができることが期待できるため, 望月さ
んは, そのような理論の構築を目指し, 代数体上の楕円曲線の内在的ホッジ理論である,
- 303 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:43:37.11 .net
- ホッジ・アラケロフ理論を完成させました. より具体的に言うと, 楕円曲線のp 進ホッ
ジ理論では, 楕円曲線のp 進テイト加群が中心的対象でしたが, これを有限個の等分点
だけ考えることにより離散化し, 等分点集合（位相幾何的ないしエタール的な対象）に,
楕円曲線の普遍拡大上の関数（ドラーム的な対象）を制限することにより, ある種の大
域的な比較同型をダイナミックに構成・証明しました. また, これに伴い, 数論的小平・
スペンサー写像という斬新な対象も発見されました. ディオファントス幾何への応用を
見据えた望月さんのこの大理論の完成は, 内外にインパクトを与え, また, 純粋に楕円曲
線のホッジ・アラケロフ理論自体も, G. Kings ら岩澤理論の研究者などから注目されて
います.
これらの結果に関する膨大な（複数の）論文は, RIMS プレプリントより入手可能で
あり, また, 望月さん本人によるコンパクトな概説[4] も出版されています.
最近の望月さんは, 自身のホッジ・アラケロフ理論の研究を大きく展開（転回？）さ
せて, 圏論を基礎とする全く新しい幾何学の壮大な理論の構築とその数論的応用を精力
的に研究されています. 望月さんのこれまでの研究も, ディオファントス幾何への応用
を強く意識しながら大理論を構築する, というスタイルが特徴的でしたが, 現在の研究
は, ディオファントス幾何をより直接的な研究対象としており, abc 予想などの重要未解
決問題の解決が近いことを, 望月さん本人も確信しておられるようです. そのため, 望月
さんの現在の研究は, 内外の研究者から熱い注目を集めており, 筆者も, 松本眞さん（広
島大）, 藤原一宏さん（名大）らとともに, 望月さん自身を講師として不定期に勉強会
を開いています.
また, 望月さんのこのようなディオファントス幾何への新しいアプローチから, p 進
体上の遠アーベル幾何の絶対版（基礎体のガロア群も固定しないで考えたもの）が数論
的に重要であることが示唆されています. この方向では, 望月さんは, 例えば, p 進タイ
ヒミュラー理論における標準曲線においてこの絶対p 進グロタンディーク予想が成立す
ることを証明しました. より一般の双曲的曲線については, 望月さんと筆者の間で議論
が現在進行中です.
- 304 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:44:28.05 .net
- 望月さんが（筆者の２か月後に）数理解析研究所助手として就任されて以来, 遠アー
ベル幾何を中心にして, 二人でたくさんの議論をしてきました. （というと聞こえがい
いですが, 主に望月さんのアイディアを聞かせていただいてきたという感があります.）
望月さんの数学は常に斬新で刺激的で, 筆者のこれまでの研究も, そこから大きな影響
を受けています. 現在も, 望月さんから「ちょっとした観察があるので聞いてほしいので
すが」というような控えめなメールをもらうことがよくあり, しばしばその観察
普通の研究者（例えば私）であれば, ディオファントス幾何に関する結果をなるべく
早く形にして２００６年のフィールズ賞に間に合うようにと考えるでしょうが, 望月さ
んは, 賞に対しては全く無欲（というか, むしろやや否定的）で, 十分時間をかけて基礎
理論を満足のいくような形で完成させることに力を注いでいます. また, （A. Wiles が
フェルマ予想に挑んでいた時などと違い）大予想の証明に向かう途中の理論についても,
全てプレプリントなどで公開しています. それを見て誰かが先に証明してしまうのでは
ないかという周囲の心配もどこ吹く風, 「自分の理論を理解して先に証明してくれるの
であればむしろありがたい」とおっしゃっています.
現在３６歳の望月さんが, これからどれだけの研究成果を人類に遺してくれるのか,
非常に楽しみにしています. （同時に, これからどれだけこのような文章を書かせてい
ただくことになるのか, 少し不安に感じています....
>普通の研究者（例えば私）であれば, ディオファントス幾何に関する結果をなるべく
早く形にして２００６年のフィールズ賞に間に合うようにと考えるでしょうが,
双曲的代数曲線に対するグロタンディーク予想は, 中村博昭さん（現岡山大）と筆者によって部分的に解決されていま
したが, 望月さんはこれを完全に解決し, 更に, p 進体上でも同様の結果が成り立つことを示しました.
特に, Grothendieck 自身が,遠アーベル幾何は素体上有限生成な体に固有なものと考えていこともあり, また, アー
>ベル多様体のテイト予想の類似からも, p 進体上でグロタンディーク予想が成立するこ
>とは意外であり, 望月さんの結果のインパクトは大きかったと思います.
- 305 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:44:47.54 .net
- （内容抜粋紹介）
ここで2-進数の世界の遠近感を述べます：
2; 4; 8; 16; ・ ・ ・ ; 2n; ・ ・ ・ という数の列は0 に近づいてゆく
これはなんとも奇妙なことで、全く理不尽だと感じられるかもしれません。どうしてこんなことになるのだと聞きたくもなろうと思います。
残念ながら、この「どうして」という質問には有効な答えを用意できません。数学的に誠実に答えるなら「そう決めたから」という答えにならない答えしかできないのです。
p-進数の世界では事情が変わってきます。
例えば√(-2) は3-進数の世界に入っているのです。
反対に√2 は3-進数の世界には入っていません。
√2 が有理数でないことを知るには3-進人間の方が有利な立場にあります。それは、3-進人間にとっては
次のように推論できるからです。
・√2 は3-進数でない（3-進人間にとっては簡単）
・「3-進数でなければ有理数でもない」という関係より√2 は有理数でもない
他方、実数人間にとっては
√(-2) が有理数でないということは、ごく簡単に分かることでした。その推論を復習すると、上でみた3-進人間の推論と全く同様です。
・√(-2) は実数でない（実数人間にとっては簡単）
・「実数でなければ有理数でもない」という関係より
√(-2) は有理数でない
√(-2) は3-進世界には存在するから3-進人間にはこの推論が使えません。
前節の表をみると、実数人間と3-進人間では難しいことと易しいことが正反対になっていることが分かります。
ということは、実数人間がある問題（例えば「√2は有理数か？」）を難しいと感じたとき、3-進人間に聞いたら簡単に教えてくれることがありうるわけです。
もちろんその逆もあり得ます。ここで、他にも2-進世界や17-進世界など、たくさんの数の世界があることを思い出しましょう。
これらの世界の人がみんなで力を合わせれば、もっとずっと難しい問題でも、簡単に解けてしまうのではないでしょうか。
- 306 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:45:29.85 .net
- 1994年、ニューヨーク大学物理学教授だったアラン・ソーカルは、当時最も人気のあったカルチュラル・スタディーズ系の評論雑誌の一つ
『ソーシャル・テキスト』誌に、
『境界を侵犯すること：量子重力の変換解釈学に向けて』(Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of
Quantum Gravity)と題した疑似論文を投稿した。
この疑似論文は、ポストモダンの哲学者や社会学者達の言葉を引用してその内容を賞賛しつつ、それらと数学や理論物理学を関係付けた
ものを装っていたが、実際は意図的にでたらめを並べただけの意味の無いものであった。
ソーカルの投稿の意図は、この疑似論文がポストモダン派の研究者によってでたらめであることを見抜かれるかどうかを試すことにあった。
疑似論文は1995年に受諾され、1996年にソーシャル・テキスト誌にそのまま、しかもポストモダン哲学批判への反論という形で掲載された[2]。
当時同誌は査読制度を採っておらずこうした失態を招き、編集者は後にこの件によりイグノーベル賞を受賞している。また後に査読制度を取り入れた。
「疑似論文」に用いた数学らしき記号の羅列は、数学者でなくとも自然科学の高等教育を受けた者ならいいかげんであることがすぐに見抜けるお
粗末なものだったが、それらは著名な思想家たちが著作として発表しているものをそっくりそのまま引用したものだった。
なお、ソーカルの疑似論文が載ったのは、科学論における社会構築主義に対する批判への再反論を掲載するため、「サイエンス・ウォーズ特集号
」との副題のついた『ソーシャル・テキスト』の特集号[3]であった。
したがって、『ソーシャル・テキスト』の編集者に取っては、『考えられるかぎり最悪の自滅行為』[3]であったといえ、以後、サイエンス・ウォーズとの
言葉はソーカルに対する賛否両論の立場から用いられるようになった。
日本における影響
日本では山形浩生らがソーカルらの批判に応じて、浅田彰の著書「構造と力」の一部の記述を同様の仕方で批判した[25]。
略
この点について疑似科学批判の活動で著名な数学者の黒木玄は「大したことじゃない」としつつも、論点に関しては、山形を支持している。[27]
- 307 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:46:38.13 .net
- 野村総合研究所で開発コンサルタントとして勤務する傍ら評論活動を行っている。
また先鋭的なSFや、前衛文学
- 308 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:46:51.98 .net
- 経済書や環境問題に関する本の翻訳を多数手がけている。
w.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/index-j.html
- 309 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 03:46:59.41 .net
- 数学の学び方に関する常識
黒木玄著、「数学の学び方に関するヒント――数学科の学生の皆さんへ――」 (1996年度前期)
hoku.ac.jp/~kuroki/Articles/hint.html
まず、これは何度も強調していることだが、正攻法は、数学の良い本を一冊選び、それを熟読することある。そのために適した本は、
論理的な説明が詳しく書いてあって、しかも重要な例に関する説明がしっかり書いてあるものである。
一つ以上の分野を完全に修得するためには、このような勉強の仕方が不可欠である。講義や演習の単位を取るためだけに、あまり面白く
もない純粋に教科書的な本の一部をつまみぐいするという類の勉強の仕方も、ときには必要ではあるが、
そのような勉強の仕方のみでは決して深い理解を得ることはできない。最近、そのような勉強の仕方をしている学生が大勢になっているよう
に感じられるので、数学を楽しんでいる私は大変残念に思っている。
論理的に厳密に理解すること。これは数学における基本であるが、論理的に厳密に理解するとはどういうことかを修得するという作業が最も
苦しい段階であると思う。
しかし、これを避けていては、どのような数学をも真に理解することはできない。論理的に厳密に考えることが、息をするのと同様にできるよう
になるよう努力しなければいけない。
(もちろんのことだが、論理をフォローしただけで理解したような気になってはいけない！)
数学書を読んでいてわからなくなった場合は、先に進むことと後に戻ることの両方を考えなければいけない。
数学書の多くは定義・例・定理・証明・系 (または例) のような順番に書かれていることが多い。
定義や定理の内容を理解せずに先に読み進むことは、必ずしも不真面目な態度ではない。理解してない部分を明僚に認識し、理解してないこと
を忘れなければ良いのである。
例えば、抽象的な定義を直観無しでは記憶に止めることさえ困難な場合がある。そのような場合は定義の文章を何度も読むだけではなく、先に
進んでどのような例がその定義に適合するのか調べてみた方が良い。
- 310 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:38:43.48 .net
- 私のところで研究する内容は広い意味で作用素環論と関係があればよく，私の研究内容と近いものをやる必要はまったくありません．
自分が面白いと思うことをやるのが一番です．また積極的に外国に出かけていくことを推奨しています．
最近大学のポストへの
就職はたいへん厳しくなっていますが，英語で授業ができれば世界でのチャンスが大きく広がります．
数学を愛している人に来てほしいと思います
- 311 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:39:21.08 .net
- 私のところで大学院入学を志望する方へ
抜粋
まず一般的な勉強の仕方についてです．セミナーの準備の仕方については別のページに書きました．いろいろとそちらに書いてありますが，
一番重要なことを一言で言えば
安易にわかった気になってはいけない ということです．
ここで「わかる」というのは別に，数学全体の将来の発展を踏まえたある理論の位置づけというようなことを言っているのではなくて，
単に本に書いてあることについて，定義は何で，定理の仮定と結論は何で，どういう方法でどのように証明してあるか，といったことを理解する，
という意味です．
そんなことは本に書いてあるんだから簡単だ，と言う人は，とても優秀か，何もわかっていないかのどちらかでしょう．数学の本はそんなに簡単
にわかるものではありません．
わかってないのにわかったような気になっていては，本を何冊読んでもザルで水をすくっているようなものです．
大学教養程度を超えるようなレベルの数学の本を，こういう意味でちゃんと理解したという経験がなければ大学院で研究の準備に入ることは
難しいでしょう．
ただ誤解されないようにはっきり言っておきたいのですが，多くのことを知っていることは研究するための必要条件でも十分条件でもありません．
研究者の仕事は人が読んでくれるような本や論文を書くことであって，人が書いた本や論文を読むことではありません．
（しかしどれほどの天才でも自分で一からすべてをやることは無理なので，勉強することが必要になるでしょう．また，確立した用語や記号
の定義を知らなければ人に話が通じません．）
ただ，普通の研究者（の卵）が常識的に知っているようなことを知らなければやっぱり不利になることが多いでしょう．その不利を克服する
には何か特別な努力や才覚が必要になります．
しかし逆に言えばそういう何か特別なものがあれば，知識が足りなくても自力で何とかしていくことは可能だと思います．
当研究科の大学院生は数学者志望の人が圧倒的に多いのですが，大学のポストの数は少なく，ポストにつける人は
修士課程入学者の1/4～1/5程度であることは覚悟しておいてください．
- 312 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:39:51.12 .net
- セミナーの準備のしかたは個人ごとに自分にあったやり方でやればいいので，別に特定のやり方を押し
付けるつもりはありませんが，一つの例としてやり方を説明します．
まず，当然書いてあることを理解することが第一歩です．書いてあるのはすべて，なぜなのか徹底的に考えなくてはいけません．
「本に書いてあるから」とか「先生がそう言うから」などの理由で，なんとなく分かったような気になるのは絶対にアウトです．
そして「全部完全にわかった」という状態になるまで，考えたり，調べたり，人に聞いたりするのをやめてはいけません．
まだ準備は終わりではなく，始まったばかりです．
本を閉じてノートに，定義，定理，証明などを書き出してみます．すらすら書ければO.K.ですが，ふつうなかなかそうはいきません．
それでも断片的に何をしていたのかくらいは，おぼえているでしょう．そうしたら残りの部分については，思い出そうとするのではなく，
自分で新たに考えてみるのです．
そうして，筋道が通るように自分で再構成する事を試みるんです．
これもなかなかすぐにはできないでしょう．そこで十分考えたあとで，本を開いてみます．するといろいろな定義，操作，論法
の意味が見えて来ます．
これを何度も，自然にすらすらと書き出せるようになるまで繰り返します．普通，2回や3回の繰り返しではできるようにならないでしょう．
さらにそれができるようになったとしましょう．今度は，紙に書き出すかわりに頭の中だけで考えてみます．
全体の流れや方針，ポイントは頭の中だけで再現できるものです．
このようにして，何も見ないでセミナーで発表できるようになるんです．
数学の論理は有機的につながっていて，全体の構造を理解していれば，正しく再現できるようになります．
以上のような準備をきちんとするには当然，膨大な時間がかかります．1回の発表のために50時間くらいかかるのは，何も
不思議ではないし，100時間かかっても驚きはしません．
実験系統の院生は，朝から晩まで(あるいは晩から朝まで)実験しているんですから，数学だってたっぷり時間をかけないと
身につかないのは当然です．
- 313 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:40:13.91 .net
- 数学の論理は有機的につながっていて，全体の構造を理解していれば，正しく再現できるようになります．”
”紙に書き出すかわりに頭の中だけで考えてみます．全体の流れや方針，ポイントは頭の中だけで再現できるものです．”
”断片的に何をしていたのかくらいは，おぼえているでしょう．そうしたら残りの部分については，思い出そうとするのではなく，
自分で新たに考えてみるのです．
そうして，筋道が通るように自分で再構成する事を試みるんです．”
「数学書を読んでいてわからなくなった場合は、先に進むことと後に戻ることの両方を考えなければいけない。」>
「定義や定理の内容を理解せずに先に読み進むことは、必ずしも不真面目な態度ではない。理解してない部分を明僚に認識し、理
解してないことを忘れなければ良いのである。」
すぐには全部わからんのよ
とすれば、わんこら式で先まで全部読んで
何回も読んで
断片的に何が書いてあったかを思い出して、残りの部分については，思い出そうとするのではなく，自分で新たに考えてみる
自分で構成できないところを、また読む
そんな勉強法もありだろう
- 314 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:40:53.48 .net
- 数学の難問「ＡＢＣ予想」、京大教授が解明か
現代の数学に未解明のまま残された問題のうち、「最も重要」ともいわれる整数の理論「ＡＢＣ予想」を証明する論文を、
望月新一京都大教授（43）が18日までにインターネット上で公開した。
整数論の代表的難問であり、解決に約350年かかった「フェルマーの最終定理」も、この予想を使えば一気に証明できてしまう。
欧米のメディアも「驚異的な偉業になるだろう」と伝えている。
ＡＢＣ予想は1985年に欧州の数学者らによって提唱。
ＡとＢの２つの整数とこれらを足してできる新たな整数Ｃを考え、それぞれの素因数について成り立つ関係を分析した理論で、整数の
方程式の解析では「最も重要な未解決の問題」ともいわれる。
英科学誌ネイチャーによると、望月教授はまだほとんどの数学者が理解できていないような新たな数学的手法を開発し、それを
駆使して証明を展開している。
そのため「論文の正しさを判定する査読に時間がかかるだろう」という。一方で望月教授は過去に優れた実績を残しており、「証明は
間違いないのでは」とする数学者のコメントも引用した。
望月教授が開発した手法は将来、この予想以外の整数論の問題を解く強力な道具になるとも期待されている。論文は合わせて４編
で500ページあり、望月教授は自身のホームページで公開した。
望月教授は米プリンストン大数学科を19歳で卒業、京大助手などを経て現職。2005年３月に日本学士院の学術奨励賞を受賞した
- 315 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:41:30.01 .net
- 平方数ではない3つの数字A、B、Cを用意する。
15や17は平方数ではないが、9や16は平方数。
A、B、Cの関係はA + B = Cであり、A < Bとなる。
それぞれの数字を素因数分解し、そこで取りだした素因数を乗算する。
例えばA = 3、B = 125とした場合C = 3 + 125 =128になり、それぞれを素因数分解すると
A = 3
B = 125 = 5^3、素因数のみを取り出すと5
C = 128 = 2^7、素因数のみを取り出すと2
それぞれを乗算すると3 * 5 * 2 = 30
求めた解をr乗する。rは1より大きい整数（r > 1）
rを2にすると
30^2 = 900
求めた解とCの比率はほぼ全てが1より大きく、常に0よりも大きい。
900 / 128 = 7.03125
カリフォルニア大学のBrian Conradは”これは素数AとB、A + Bに深い繋がりがある事を解き明かしている”と述べている。
ABC予想は1985年にJoseph OesterleとDavid Masserによって提案されました。
ニューヨーク、コロンビア大学の数学教授Dorian Goldfeldは”ABC予想が真実だと証明されればフェルマーの最終定理にも
関係してくる様々な数学的問題が一気に解決されるだろう。
もし望月教授の証明が正しければ、21世紀で最も驚異的な成果になるだろう”と述べています。
- 316 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:42:10.12 .net
- 「abc予想」とはこんなもの？：望月新一博士はグロタンディークの後継者のようだ！？
今回は、この望月博士の数学分野についてちょっとメモしておきたい。しかしながら私は理論物理学者であり、数学的に厳密な
お話はできない。そういう立場からの解説は、数学者によるものを参考にしてもらおう。以下のものである。
望月新一さんの数学 玉川安騎男（ 京大数理研）
これを読めば、望月博士が非常に控えめであり、純粋に数学研究に打ち込んでいる様子が見てとれる。すばらしい人物のようである。
ご本人による日本語解説はこれ。
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」 望月新一 （京都大学数理解析研究所）
さて、まず「abc予想」とは何か？
Serge Lang "Algebra"
というアメリカの現代代数学の有名な教科書に書かれている。私もこの教科書は拙論文
Universal Algebraic Varieties and Ideals: Field Theory on Algebraic Varieties
を作る時に四苦八苦し、理解できないところは想像力をかき立てながら読んだものである。もう１５年も前のことである。
この本の中にこんなことが書かれている。(一般の人に解り易くするために、私が数式を使わず言葉で表現した）
メーソンの定理(Mason's theorem)
互いに素の（つまり、お互いに割り切れない）係数が整数の数式が３つあり、それらをa,b, cと呼ぶ時、もしa + b = cが成り立
つ場合には必ず次のことが成り立つ：
それぞれの最大次数をM, N, Lとすれば、これらの中で最大の次数は必ずこれら３つの数式をかけ算したabcとしてできる新しい
数式の異なる解の個数?１以下になる。
このa + b = cのa, b, cを素の数式ではなく、素数に焼き直したものが「abc予想」と呼ばれる予想である。ただし素数の場合、多項式の
根（解）はないので、「新しい素数abcを割ることのできる素数の積以下となる」と変える。
メーソンの定理は数式の場合だからだいたい１ページの証明で終わる。しかし、これが素数になると、素数の性質はリーマン予想の
ようにいまだによくわかっていないために、証明が極めて難しくなるのである。
- 317 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:42:46.74 .net
- 「abc予想」とはこん望月新一博士はグロタィークの者のようだ！つづき
- 318 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:43:08.93 .net
- 私はかねてからこのグロタンディーク博士の仕事を理解したいという夢を持って来た。
いまもそうである。
- 319 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:43:37.06 .net
- なぜなら、アインシュタインの相対性理論はまさしく１９世紀の大数学者リーマンが作り出したリーマン幾何学に基づいてできたからである。
もしリーマンの発想を超えることができるとすれば、言い換えれば、アインシュタインの一般相対性理論を超えることができるとすれば、
グロタンディークの幾何学を基礎にするほかないはずだからである。
数学者の孤独な冒険―数学と自己の発見への旅 (収穫と蒔いた種と)
において
「私はアインシュタイン革命に匹敵する革命を数学の中で起した」
という謎めいた一文を書いているからである。この意味は、グロタンディーク博士がアインシュタインやリーマンの考える幾何学と
はまったく異なる考え方で幾何学を再構成できることを発見したという意味である。（スキームというやり方である。）
ならば、だれだってそれを理解したいと思うはずなのである。
そこでもちろん私は数百ページあるグロタンディークの本をコピーし必死で読もうとしたが、残念ながらフランス語のために全く
読めずに今日に至ったというわけである。すでに１０数年も経ってしまったのである。
そこへ、今回なんともっともグロタンディーク的な数学者が京都大学にいるということを知ったわけである。そして、しかもいくつ
か日本語で解説している。早速私は飛びついていくつか読んだのである。
ワンダフル！
の一言である。私はグロタンディークが発明した「モチーフ」という数学概念は、上の自伝を読んで知っていたが、どうしても細
かいところがよく理解できなかった。
それが、望月博士のモチーフの解説、それもたったの３ページの解説ですべて分かったのである。以下のものである。
- 320 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:44:23.66 .net
- コンセビッチ それ以前も私は多くの問題を取り上げ、まだ論文にしていない研究課題を数多く進めてきました。正直に言えば何でも屋の数学者
なのです。
斎藤 そうですね。そういう傾向のあることは分かります。しかし、どうやってテーマを選ぶのですか? 多分無意識にでしょうが、やりたいことの大
きな描像をお持ちなのでしょうか。それとも単に目の前に見いだした問題を解こうとするのですか。
コンセビッチ 問題を解こうとはしません。私は自分で現状の定式化を試みるだけなのです。ウィッテン予想は、私が実際に解いた数少ない問題
の一つです。
斎藤 良く分かります。少なくとも今日のセミナーで、あなたは多くの側面を理解する新しい一般的枠組みを話してくれました。私の側からは、ある
消滅サイクル上の周期の研究のように見えましたが、勿論あなたの話には他の多くの側面がありました。
私の場合はある種の原始形式に対する周期写像を記述するという目標がありますが、あなたの場合は?
コンセビッチ いえ、私には特別の目標といったものはありません。単に場の量子論の物理の数学を理解することです。過去20年間、それは常
にインスピレーションの宝庫でした。
斎藤 それは素晴らしいですね。さて、今日の話の本題に入ってきましたが、数物連携宇宙研究機構では物理学と数学の交流が行われています。
この物理と数学の交流についてどのようにお考えですか。
コンセビッチ 大変うまくいっていると思います。1940年代、50年代、60年代と理論物理学と数学の間には余り交流がありませんでした。しかし、
の後様々なアイディアが双方向に流れ始めました。
基本粒子であるクォークに関するゲージ理論は、数学におけるベクトル束の接続に関連しています。そして、超対称性と可積分系がありました。
色々な時期と色々な方向の交流の後で、ウィッテンの時代になったのです。
その前には量子群、共形場理論、それに初期のトポロジカルな理論がありました。非常に実りの多い関係です。交流の方向は決して一方通行
ではありません。物理から数学へ向かうだけではなく、数学から物理へ向かう方向もあるのです。
- 321 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:44:58.65 .net
- ではあなたはそれが物理の方で使えるだろうとは期待しなかったのですか。
コンセビッチ しませんでした。私がこの理論に到達したのは、ミラー対称性という現象の究極的な定式化に見えたからです。
しかし、物理学者たちは実際にはそれを違う枠組に持ち込みました。
弦理論の模型において物理量を計算できるような可能性をもつものです。
斎藤 あなたの仕事に見られる典型的なポイントの一つですね。
しかし、私の見るところ、あなたは多くの仕事で、一つの徴候を聞いただけで問題の核心を捕らえ、次に何らかの一
般的で大きな枠組みを提示していると思います。
それがあなたの仕事に関する私の全般的な印象です。
コンセビッチ そうですね。私はそういう段階では実例について調べたりはしません。
斎藤 どうやってそういう風に研究できるのですか?
コンセビッチ いや、時には自分で一つか二つの実例を調べることもありますが…
斎藤 あなたは何か実例を思い描きながら、しかし一般的理論を構築するのですね。
コンセビッチ はい。一般的に言えば、実例は時に人を誤らせるものだということを知りました（笑）。
実例の性質はしばしば特殊に過ぎますから、ずっと具体的実例を研究していたのでは一般的な性質は見つけられません。
斎藤 グロタンディークも実例を考えずに非常に大きな枠組みを作ることの出来る人としてとても有名ですね。
実際、その枠組みは深く数学を捕らえたもので、無意味なものなどありません。
あなたも同じようなことをされていますね。問題の核心を捕らえた大きな枠組みを提示する点です。
実に驚くべき能力で、そういうことをするのは限られた数学者だけです。
そこで、再度伺いますが、あなたは一体どのようにしてそうするのですか?
コンセビッチ よく分かりませんが、単に経験の問題で、何も特別なことはないのではないかと思います。
友人の一人と私は、冗談めかして自分たちを「一般論のスペシャリスト」と呼んだりします。
- 322 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:45:13.30 .net
- コンセビッチ はい。一般的に言えば、実例は時に人を誤らせるものだということを知りました（笑）。
実例の性質はしばしば特殊に過ぎますから、ずっと具体的実例を研究していたのでは一般的な性質は見つけられません。
斎藤 グロタンディークも実例を考えずに非常に大きな枠組みを作ることの出来る人としてとても有名ですね。
実際、その枠組みは深く数学を捕らえたもので、無意味なものなどありません。
あなたも同じようなことをされていますね。問題の核心を捕らえた大きな枠組みを提示する点です。”
は、矛盾しない
インスピレーション、大きな枠組み
これがキーワード
数学が、定義、定理の積み上げだと思い込んで（それは真理の一面ではあるが）
そのレベルにとどまっていては、インスピレーション、大きな枠組みは見えてこない
- 323 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:45:40.08 .net
- abc-triple
：正の整数 a,b,c について、a + b = c かつ a, b は互いに素である三つ組み (a, b, c)
rad(n)
：正の整数 n の、素因数の積。
Ex. rad(504) = rad(2^3 * 3^2 * 7) = 2 * 3 * 7 = 42
504の素因数は、2と3と7だからrad(504) = 2*3*7 =42
abc予想
：任意の abc-triple は、c < {rad(abc)}^2 を満たす。
2012年8月、京都大学教授の望月新一は abc 予想を証明したとする論文を発表した。望月は証明に
用いた理論を宇宙際タイヒミュラー理論と呼んでおり、他にもスピロ予想とヴォイタ予想の証明などを含む応用があるという。
以上のことをより詳しく説明していただけないでしょうか。いま、世間の話題です。一般の方も興味あると思います。
どうかお願いいたします。
- 324 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:46:26.74 .net
- 数学者の風景
藤永 博（経済学部教員）抜粋
ガロアのアイディアを応用して突破口を開いたワイルズであったが、次のステップで行きづまる。岩澤理論を問題解決に資するよう
に発展させることができず無力感を味わう。
しかし、コリヴァギン?フラッハ法との出会いが次の大きなステップとなる。この方法を拡張し、ワイルズは証明を完成させる。そして
、1993年の世紀の講演。数学者の間で飛び交う短い電子メールの記録を挿入して、物語をスリリングに展開していく。
第 VII 章「小さな問題点」は講演後の展開で、第 I 章の続きである。ここでも電子メールの記録の挿入が効果的である。「小さな
問題点」を解消できず、ワイルズは苦境に立たされるが、彼を救ったのは、一度はその応用をあきらめた岩澤理論であった。
コリヴァギン?フラッハ法と岩澤理論は相互に補完する形で機能したのである。
それまでのワイルズの努力がすべてフェルマーの最終定理の証明に収束することになった。「小さな問題点」が解決する瞬間の
描写は感動を誘う。
広中平祐が特異点解消の問題を解いたときも、「それまでやってきた仕事が忽然として「特異点解消」に収束していった」という
（『生きること学ぶこと』 広中平祐著 集英社）。
心理学者シャーロット・ビューラーは、私たちは知らず知らずのうちに方向づけられていると述べている。目的をもって絶えずその
実現に向かって努力し続けると、どんなに無関係と思われる仕事でも最終的にはその目的の達成に何らかのかたちで寄与するという。
- 325 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:47:04.17 .net
- 問題発生
ワイルズの提出した200ページを超える論文に、6人のレフリーがついた。（通常は1、2人）ところが８月になって、
問題が見つかった。かれの必死の努力にもかかわらず半年が過ぎ、とうとう１２月に次のような声明を発表した。
「不完全な部分を発見したが、近い将来に克服されると思う。２月に始まるプリンストン大学での講義において完全
な証明を述べる予定である。」
同作業
1994年１月から、レフリーの一人で且つ教え子でもあるリチャード・テーラー（ケンブリッジ大）との共同作業が
始まった。しかし、夏になっても二人の仕事に進展はなかった。
敗北宣言が脳裏をかすめ、弱音を吐くようになったワイルズをテイラーはもう１ヶ月頑張ってみましょうと励ました。
美しい瞬間
ワイルズは欠陥のある第３章（コリバギン・フラッハ法の関する部分）を捨てる気持ちになっていた。9月19日彼は、
せめて慰めにその敗因を調べていた。
「突然、まったく不意に信じがたい閃きに打たれました。コリバギン・フラッハ法だけでは駄目だが、岩澤理論と合わせる
と上手く行くことに気づいたのです。」
ワイルズはテーラーに電話で伝え、テーラーはそれをもとに厳密な証明を作り上げた。１０月に２つの論文が提出された。
・モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理（アンドリューズ・ワイルズ著）
・ある種のヘッケ環の理論的性質（リチャード・テーラー、アンドリューズ・ワイルズ著）
論文の審査に数ヶ月を要したが、今回はなんの問題もなかった。2つの論文は、1995年5月数学専門誌「数学年報」の掲載された。
この号は発売日前に売り切れとなった。(参照3：p192）
参考文献
足立恒雄著「フェルマーの大定理が解けた」1995、講談社
富永裕久著（山口周監修）「フェルマーの最終定理に挑戦」1996、ナツメ社
A・D・アクゼル著（吉永良正訳）「天才数学者たちが挑んだ最大の難問」1996（1999訳）、早川書房
E・T・ベル著（田中勇・銀林浩訳）「数学をつくった人びと」1937（1997訳）、東京図書
- 326 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:47:33.37 .net
- テイラーさんは、その後重要問題をいくつも解決して大数学者になった
ワイルズさんとの共同作業が良い影響を与えたと思う
- 327 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:47:49.50 .net
- 宇宙際タイヒミュラー理論自体の正しさが揺るがなければ、
abc予想自体どうでもいい話だろ。
トリビアなエピソードでしかない。
- 328 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:49:03.73 .net
- 受賞研究題目「爆発現象の漸近解析」
“Asymptotic analysis of blowup phenomena”
溝口紀子氏は、べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式をはじめとする非線形放物型偏微分方程式の爆発現象の研究に
おいて目覚ましい成果を挙げてきた。
微分方程式の解の最大値がある時刻Tに近づくと無限大に発散するとき、その解は時刻Tで爆発するという。
べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式は燃焼現象を記述するモデルとみなされ、解の爆発は「発火」を意味する。
1960年代半ばに藤田宏氏によって先駆的な結果が発表されて以来、爆発は微分方程式の分野で最も活発に研究されてき
たテーマのひとつである。
微分積分学の授業で教わるような、座標変数と時刻の関数として陽に表すことができる解は強解または古典解とよばれる。
解が爆発すれば、その時点で、発散した値からの解の延長は不可能であり、解は強解としての意味を失う。
しかし、関数に適当な試験関数を乗じて方程式を積分することで得られるような、微分の概念を広げた方程式を満たす解が
存在する可能性があり、このような解は元の方程式の弱解とよばれる。
爆発後弱解としても延長不可能な爆発を完全爆発、爆発後も弱解としては延長可能な爆発を不完全爆発とよぶ。
燃焼を例にとると、完全爆発は「完全燃焼」に、不完全爆発は「不完全燃焼」に対応すると考えられる。
半線形熱方程式の爆発に関する研究は長年完全爆発を対象としてきたが、1990代後半になって、ある条件のもとではこの弱
解は有限時刻で爆発することが証明され、
この時点ではじめて不完全爆発する解の存在は認識されたが、不完全爆発する解の爆発後の振る舞いについては未解決のまま
残されていた
- 329 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:49:28.28 .net
- 「その任意の根が他の根の有理式（k上の）で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある
しかし、ここでは狭義にガロア分解式を根とするF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）をガロア方程式と呼びたい
それが、ガロアの頭の中にあったものだったろうから（ガロア論文で扱われているのはこれだ）
そして、判別式の平方根を添加することで
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)
と二つに分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した
F’’(x)：奇置換に属するものだけを取り出した
となる
そして、これを素数Pのべき根に一般化すれば
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・・F’p(x)
とp個に分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：ある部分群に属するものだけを取り出した
F’’(x)・・・・F’p(x)：ある部分群の共役に属するものだけを取り出した
となる
これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう
- 330 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:50:01.76 .net
- 『ADHM 構成』歴史おぼえがき 2002 年8月
(抜粋)
素粒子論は湯川秀樹の中間子論に始まる．彼の理論には二つの特徴があった．一つは新粒子を導入したこと，もう一
つは場の理論の枠内にとどまったことである（『場の理論』は平坦な抑揚で読むこと）．
一方，西洋を中世から近代へと移行せしめた『オッカムの剃刀』という格率のせいなのか，ヨーロッパの物理学者たちは
新粒子の導入に慎重であり，
また，若き日に量子力学の開拓者たちであった彼らは，subatomic な領域に足をふみいれるにあたり，自分たちがつくり
あげた量子力学を惜しげもなく捨てるというより過激な方向にむしろ魅力を感じていた．
東洋人であって西洋近代の格率のもとにいなかったことと，時期的・地理的要因により量子力学に後から追随する位置に
いたことが，湯川を独創的にした，という見方もある．（小平邦彦の複素多様体論についても同様のことが言えるかもしれない．）
３．現代数学という衝撃
話をもどそう．つづいて物理学者たちの競争は多重インスタントンへと向かう．アノマリーの Jackiw や当時まだ無名の
Witten も参戦してきた．そんな中， 4 人の数学者が 4 次元ユークリッド空間上の多重インスタントンを完全に分類した論
文を Physics Letters に提出した．
それが ADHM である．物理学者にとって重要かつホットな問題に対し，そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事
提出される，というのは過去に例のないことではなかったか．
しかもその手法が，それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の，それも層係数コホモロジーの
言語で書かれた現代的なものであった．
Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる．この衝撃が若き日の Witten の眼を
現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される．
- 331 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:50:31.57 .net
- 眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌
- 332 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:50:48.77 .net
- ガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
- 333 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:51:07.57 .net
- （１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア
群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理
論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。
忘れ去られたアイデア
代数方程式とならんで大切なのが微分方程式*4である。科学の多くの問題が微分方程式記述できることからもその重要性が推察できよう。
代数方程式においてガロア理論が重要な役割をはたすのを見て、リー*5はガロア理論を微分方程式に対してもつくろうとい
う着想をもった。微分方程式のガロア理論は微分ガロア理論とよばれている。つまり、リーは微分ガロア理論をつくろうと考えた。
ところがこれは難しい問題である。その理由は2つあって、1つは理論が本質的に無限次元*6であること（略）
有限次元の理論さえなかった当時、リーは有限次元の理論からつくり始めなければならなかった。リーのアイデアの実現は
20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。
私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつける
ことにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。
数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠
りから覚めて復活したのである。
1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、う
れしいことである。
- 334 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:52:10.14 .net
- If this was always the case, things would be very simple: Galois theory would just be the study
of the “shapes” formed by the roots of polynomials, and the symmetries of those shapes. It would be a
branch of planar geometry.
But things are not so simple. If we look at the solutions to x^5- 2 = 0, something quite different
happens:"
ail.sub.jp/algebra/Radicals/ロア群と可解群[物理のかぎしっぽ]
円分体で復の引用はしないので、ここを開けて見ること）
x^n=aという２項方程式による最小分解体Eが、基礎体Fに対しE=（ζ、β） （ζ：１のn乗根、β：aのn乗根（実数））となり
ここに”注”があって
”直観的イメージとして，半径βの円上に解がグルリと並んでいる様子を想像して下さい．最初の解をβとすると，次の解は ζβ で表わされます．
ζの偏角は ２π/n 度です． ζβから始めて順次ζを掛けていくことで，全ての解を表わせるようになっています．”
と、図と共に示されている。
言わずと知れた、２項方程式x^n=aの解は、半径βの円の等分点になっているという事実を説明しているのだ
そして、EとF に対して中間体B=F（ζ） （ζ：１のn乗根を基礎体Fに添加した中間体）を考えると、ガロア群G（E/B）が
巡回群になることが示されている引用おわり）
ここを上記と合わせて読んで下さい。アルティンのガロア本>>32と同じことを書いていると思うのだが、こちらの方が分かりやすい
前前スレ68
http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf
方程式論の歴史（平成１４年）
このP19がちょっと普通の教科書と違う
「一般にx^n=1の形の方程式を円分方程式という．
これらの複素数は，右図のガウス平面上で原点を中心
とする単位円上の点と対応し，位数ｎの巡回群をなす．」
x^n=1ではなく、（x^n-1）/(x-1)=0とした既約な式を円分方程式とするのが普通（但しnは素数。素数でない場合はもう少し複雑）
よって位数ｎの巡回群をなす．
- 335 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:52:56.64 .net
- 深谷賢治 理学研究科教授
、昭和56年東京大学理学部を卒業し、同58年同大学院理学系研究科修士課程を修了後、同理学部助手に採用、同教養学部、
理学部助教授を経て、平成6年京都大学理学部教授に就任し、現在に至っています。
同教授の初期の研究は、「長さ」や「面積・体積」などが定まる空間、リーマン多様体に関わるものであり、リーマン多様体が退化する
現象すなわち崩壊現象を研究されました。
山口孝男教授（現筑波大学）との共同研究である「基本群と曲率」への応用は、大域リーマン幾何学の基本定理の一つです。測度付
き距離空間の収束概念は、崩壊現象とラプラス方程式の関係の研究から生まれました。
同教授は、次にゲージ理論の数学的研究を行い、平成5年に2･3･4次元にまたがる位相的場の理論を、ある（A無限大）圏からの函手
として定式化することを提唱され、この圏は、後に深谷圏と呼ばれるようになります。
平成6年にロシア人数学者コンセビッチは、深谷圏の定義を使い、ホモロジー的ミラー対称性予想を提唱し、ミラー対称性はシンプレ
クティック多様体の深谷圏と複素多様体の連接層の導来圏の対応であると予想しました。この予想は、その後の研究の指導原理と
なっています。
平成8年には、従来複素解析関数あるいは多項式の範疇で考えられていた「特異点をもつ空間」の概念を、微分可能関数に広げ
る「倉西構造」とその多価摂動の概念を小野 薫教授（現北海道大学）と創始し、ハミルトン力学系の周期軌道についてのアーノルド予想に応用しました。
深谷圏の最も一般的で数学的に厳密な定義は困難で、その後10年を超える研究を要しましたが、
倉西構造、A無限大構造のホモロジー代数などに基づく、フレアーホモロジーや深谷圏の最も一般的な形での定義は、平成21年に
Y.-G. Oh教授（現Wisconsin大学Madison校）、太田啓史教授（現名古屋大学）、小野 薫教授との共同研究で完成しました。
これら一連の研究に対して、同教授にはこれまでに朝日賞、日本学士院賞、井上学術賞、日本数学会春季賞などが授与されました。
今回の日本学士院会員への選出は、これまでの同教授の一連の業績が評価されたものであり、大変喜ばしいことです。
- 336 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:53:40.97 .net
- 深谷賢治氏は、数学の一分野であるシンプレクティック幾何学における顕著な業績で知られています。深谷氏は、有限の大きさをもつ
周期ハミルトン系には必ず周期解が存在するという予想（アーノルド予想）を、小野薫氏との共同研究で証明しました。
さらに同氏らはこのアイディアを革新的に深め、深谷圏の理論に発展させました。
深谷圏は、点という概念やその上の関数の積の交換法則をすてて新しい空間像を作ろうとする数学的枠組みとして大きな研究の流れ
を作りつつ、既存の数学の問題を解くのにも役立っています。
また深谷圏は、超弦理論で発見されたミラー対称性の数学的研究でも重要な役割を果たしており、さらに複素幾何学において層の圏が
果たした役割をシンプレクティック幾何学で担うと期待されています。
同氏は幾何学の普及にも尽力し、同氏の描く幾何学の雄大な構想は、学術論文ばかりでなく多くの専門書、啓蒙書を通して、若い世代
にも大きな影響を与えています。
【用語解説】
シンプレクティック幾何学 古典物理学の解析力学から始まった幾何学。天体で周期的な現象がおこるのは，エネルギーが保存される
からであるが、エネルギーが保存される系をハミルトン系といい、シンプレクティック幾何学の研究対象となる。
２０世紀後半からの大域シンプレクティック幾何学の発展はめざましく、現在もっとも活発に研究されている幾何学の分野の一つである。
周期解 微分方程式の解で、周期的に同じ形が繰り返される解のこと。
圏 数学の対象となるものの中で、一定の性質を共有するものを集め、それら全体をまとめて研究するために考えられた概念である。カ
テゴリーともいう。
交換法則 ３×２＝２×３のような法則。関数の積に対してもなりたつ。 ○ミラー対称性 元来理論物理学（超弦理論）で発見された。
数学的にはシンプレクティック幾何学と複素幾何学のある種の双対性と理解されている。
複素幾何学 複素数を変数とする関数を研究するために考えられた幾何学。
層 岡潔（１９０１年－１９７８年）やジャン・ルレー（１９０６年－１９９８年。フランスの数学者）などの研究から生まれた概念で、複素関数
論や代数・複素幾何学の基本概念である。
- 337 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:53:58.37 .net
- コアメーバとトーラス同変なホモロジー的ミラー対称性
1.弦理論私見
弦理論はもともと双対共鳴模型と呼ばれ、ハドロン（すなわち陽子や中性子、
中間子などの強い相互作用をする素粒子）を記述するための現象論として誕生
したが、Yang Mills理論が強い相互作用の正しい理論としての地位を確立すると
ともに、Kelvin 卿の渦原子模型のように科学史の脚注として忘れ去られる運命に
あるかと思われた．
しかし、弦理論は滅びなかった．失敗した現象論として始まったこの理論は、
自然科学（すなわち、実験によって検証できる科学）としてはいまだかつて一度
も成功したことがないにもかかわらず、その美しい数理的構造によって多くの理
論家を引き付けてきた．弦理論の（場の量子論と比較した）特徴は整合性を壊さ
ずに理論を弄ることの難しさにあり、また、理論の致命的な矛盾が見つかっては
奇想天外な解決策によって不死鳥のように蘇るという紆余曲折に富んだ歴史を持
つ．例えば、ボゾン的弦理論の共形アノマリーと呼ばれる深刻な困難は時空の次
元を26次元 にすることで回避できる．この26という数字はLeech 格子の次元
24 に2を足したものであり、この事実はBorcherdsによるmoonshine 予想の解決
にとって本質的である．
弦理論における最大の謎は果たしてこの理論が本当に存在するか（つまり、内
部に矛盾を持たないか）である．無矛盾性のために必要な条件は非常に強いので、
それらが全て満たされるためには「奇跡」が沢山起こる必要がある．しかし、知
られている限りで必要な奇跡は全て実際に起こり、弦理論の存在に対する強力な
証拠の一つになっている．（以下略）
- 338 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:54:11.11 .net
- 三角圏を使った定式化が本質的であるもう１つの例として，Kontsevich
[8] が1994 年の国際数学者会議で提出した次の予想がある：
予想(ホモロジー的ミラー予想). 任意の3 次元Calabi-Yau 多様体M に対し，あ
る3 次元Calabi-Yau 多様体W が存在して，M の連接層の導来圏とW の深谷圏
の導来圏が三角圏として同値になる：
- 339 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:54:37.59 .net
- 中村真（京大理）
AdS/CFT対応とその非平衡物理学への応用可能性
- 340 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:55:36.18 .net
- ガロア拡大は、体の構造を調べる道具ですが、そのガロア群が重要な情報を持っています。
また、ガロア拡大体の中間体は、ガロア群の部分群と対応しています。
体は一般に無限の要素を持つので、扱いが難しいですが（もちろん有限体もあるけど）、対応するガロア群の部分群は
有限集合なので、扱いやすいのです。
このように、体を群と結びつけて代数構造を調べる方法論が「ガロア理論」です！！
ガロア理論を用いれば、５次以上の方程式に解の公式が無いことが分かったり、定規とコンパスによる作図の
問題を考えることができます。
ちなみに、ガロア群がアーベル群（可換群）になっているガロア拡大をアーベル拡大といいます。
上の例では、画像はアーベル拡大です。
この拡大体画像は円分体画像の部分体になっています。画像は1の8乗根画像です。
逆に、有理数体の任意アーベル拡大は円分体の部分体になることが分かっています。
これが、クロネッカー＝ウェーバーの定理と呼ばれるものです。
クロネッカーは、基礎体を有理数体から虚二次体に変えたらアーベル拡大はどうなるか、と考えました。
これが、クロネッカーの青春の夢（Kronecker's Jugendtraum）です。
この問題は、高木貞治の類体論により、解決されました。
虚二次体のアーベル拡大は、J-不変量と呼ばれる保型関数の特殊値を添加した体になります。
有理数体のアーベル拡大は指数関数の特殊値を添加したものでした。
では一般の代数体に拡張したら？
これが、ヒルベルトの23の問題の12番目、
「任意の代数体のアーベル拡大は、解析関数の特殊値を添加して構成できるか」です。
この辺の話は、僕も流れを知っているくらいで詳細は全く分かりません。。。
ネットで調べてみると、この問題は現在未解決で、全然分かってないみたいです。
- 341 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:56:06.00 .net
- 隠れた対称性なんて言葉は無意味。
素直にガロア群と言えばいい。
無意味な言葉に酔ってるんじゃないよ
（引用おわり）
これはそうではないと思うんだよね
１．ガロア理論に限らないが、ある数学理論を勉強して、それを「ｘｘ理論とは、要はｙｙだと」自分なりに要約できるレベル
まで理解する。そこは大事だと思うんだよね
ガロア理論＝ガロア群の理論。これでも良いんだが、”隠れた対称性”という理解まで進むことが大事だと
２．方程式のガロア理論は、多くの人にとって終着点ではなく、通過点であり出発点なのだ
ならば、ガロア理論の個々の定理と証明を追い、それで終わりでは次につながらない
”隠れた対称性”という理解まで進むことが大事だと
３．方程式のガロア理論とは
１）一つの切り口は、代数拡大の体の理論とその自己同型の成すガロア群との対応理論
２）一つの切り口は、ある基礎体を係数とする代数方程式の体の拡大と、べき根拡大との関係を群論を使って解明する理論
３）一つの切り口は、代数方程式の根について、個々の根を考えるのではなく、根全体＝代数拡大体と捉え、代数拡大
の性質を解明する理論（それに群論を使う）
方程式の根による代数拡大体を考えたとき、基礎体に対してある対称性を持つ。それがガロア群で解明できるのだ
一般５次方程式。これが実は120次の線形空間への拡大と見ることができる（by アルティン）
一般５次方程式と120次の線形空間への拡大との関係は、群論を通してで無ければ見えない。これを梅村は”隠れた対称
性”>>21と言ったと思うんだよね
これがおいらの解釈だが、解釈は各人それぞれで良い。各人が学んだガロア理論の深さによっていろいろあって良いと思う
だが、”隠れた対称性”>>21が分からんは論外だ。勉強し直してこい
- 342 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:57:01.82 .net
- 代数学の基本定理」によれば,
複素数体の中にその"代数方程式の解＝零点"が必ず存在する,ことはわかっています。
"解が存在する。"ことと,"解法が存在する。"ことは,
全く別のことなのですね。
ところで,５次以上の任意の代数方程式の解について,ベキ根による
解法は存在しなくても,それ以外の方法で解を求める一般的な解法
というものは存在しないのでしょうか？
- 343 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:57:49.73 .net
- ガロワ理論(下)デイヴィッド・A. コックス (著)
カスタマーレビュー
最終章では、レムニスケートの等分に関するアーベルの定理とレムニスケート関数がガウス整数環に虚数乗法を持つという素晴らしい定理が
解説されている。
ここで、高木先生の『近世数学史談』の第20章と第21章を参照されれば、面白さは間違いなく倍増するだろう。
またぞろガロア理論の入門書かあ、と思いつつも、著者が David Cox ということもあり、念のため調査。紀伊國屋書店の紹介ページでは Google
プレビュー という機能があって、中身をかなり立ち読みできる。
目次を眺めていると、おお?、レムニスケートの等分に関するアーベルの定理が紹介されている。さすが Cox である。期待を裏切らないねえ?。
一番最後の第15章はタイトルがずばり「レムニスケート」である。レムニスケートの定義から始めて、ガウスが円周等分したのと全くパラレル
にレムニスケートの等分が考えられること、それに関するアーベルの先駆的仕事を紹介している。
一般の楕円関数ではなく、レムニスケート関数に限定し、加法定理、倍角公式など。倍角の公式は整数倍だけでなく、「ガウスの複素整数」倍
に対しても作ることが出来る。
これが所謂虚数乗法。これを利用して、レムニスケートの等分点を添加した体のガロア群がアーベル群であることが示される。途中で、ガウス
整数を係数とする多項式についての、アイゼンシュタインの既約性定理なども原典を引きながら紹介される。
もちろん表現方法は現代的なのだが、内容においてガウス、アーベル、アイゼンシュタインが何をどのように導いてきたのかが良く分かるような
説明になっているようだ。
まあ、内容を大体知っているから、立ち読みで分かったようなことを書いている(汗)わけである
- 344 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:59:00.74 .net
- 言いたかったのは、ガロア理論は研究の道具になるということ。
>数学教育を否定する気はないが、講義は数学を身に付けるための御助け舟と考えた方がいい。
>講義だけでは身に付かないようなことは沢山あるよ。
同感す
>そして、本当に教育する気があるなら、参考書に藤崎か永田を挙げる筈。
うーん、研究者になるなら英語か仏語の本を読むべきかも・・
いずれにしろ、講義をやるのに位相体をやらないのはもったいない。
>面白いのは、標数0の位相体だぞ。
あー、それはそうなんだけど
学科では役割分担とおそらく半期の限られた時間で講義を完結させるという制約があるからね。必然テーマを制限せざるを得ないのだろう
役割分担の例は、下記
tokyo.ac.jp/kyoumu/ gakubu_jyugyou kamoku_ich iran.ht ml
東京大学大学院数理科学研究科 GRADUATE SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES
ここに数十の講義内容があるけど例えば下記。（なので、講義内容は多少調整するのでしょう。というか何年もやっているから
自然に調整されている）
幾何学Ⅱ河澄 響矢 授業の目標・概要：位相空間および位相空間対の特異ホモロジー群 について基礎的事項を解説する。
関連して、基本群、 有限胞体複体、多様体の基本類、特異コホモロジーを扱う。
代数学ＸＨ 斎藤 毅 授業の目標・概要：代数的整数論で代数体の拡大の分岐の理論は古くから調べられてきた。
これを数論的スキームへ拡張することは懸案であったが、ここ10数年の研究で満足のいく理論が整備されてきた。その中から
進層の リーマン・ロッホ公式や、剰余体が一般の局所体のガロワ群の分岐群などをとりあげて解説する。
幾何学ＸＢ 金井 雅彦 授業の目標・概要：これはリー群および等質空間に関する入門講義である．基本的な定義や例を学んだ後に，
リー群とそのリー環との間にある関係について学ぶ．次の話題は等質空間である．
- 345 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:59:37.52 .net
- 高木貞治先生の初等整数論講義って大学の授業ではどれくらいの時間をかけて終わらせるんですか？
とりあえず１週間で若干わからないことがありますが、４０ページくらい終わらせました（独学です）。
本当かどうかは知りませんが、「大学の授業では（初等整数論講義のような本を）高校の進学校以上のスピードで進んでいく」とここで聞きました。
本当ですか？また大学では初等整数論講義にどれくらいの時間をかけているのか教えてください。
質問日時：2010/3/20 19:48:33
ベストアンサーに選ばれた回答
sedrft1さん
大学であの本をテキストに使っているところは少ないかなぁという気がします。（もちろんあることはあると思いますが）
大学では代数の初歩として群・環・体というのを勉強していくんですんね。そのあとで代数的整数論を専攻する人はゼミに入っていくんですけど。
だから人によっては整数論を勉強しないで卒業する人もいます。数学科卒なのに高木先生の本読まないで卒業する人もいます。日本が生んだ
偉大な類体論の祖である高木貞治を知らずに卒業する数学科の学生がいるというのは何とかしてもらいたいです。
まあそれはさておき、大学の数学科の授業は難しいですよ。１年は微積と線形代数で数学ⅢCでやった延長みたいな感じなんで
まだいいですけど、２年から位相空間なる授業が始まると難しくて勉強投げだす人も出てきます。
（まあそれでもなんとかみんな頑張って単位とるんですが…。）
やたら抽象的で分かりずらい固そうな名前が出てきて、覚えることばっかです。群も初めて勉強した時、私は難しいなと思いました。
これも高校の数学とは思考の仕方が違うような感じを受けたものです。
とにかく難しいことは難しいです。時間も１コマ90分で15週くらいしかありませんからね。どんどん先へ進んでいくしかないわけです。
復習は各自おまかせといった感じです。
- 346 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 04:59:53.75 .net
- そこで著作物の内容を Web 上で公開していくプロジェクトが開始されました.
ここがプロジェクト・ホームになると思います.
- 347 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:00:08.01 .net
- 演習問題もできるだけ入試問題からとって，再構成しています．大学入試問題のなかで整数を取
りあげいてる意味のある問題を紹介し，関連して学べるようにします．
- 348 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:00:47.57 .net
- 素粒子物理学者が書いた重力の本 大栗博司のブログ
幻冬舎新書から『重力とは何か』の見本がとどきました。店頭にも並んでいるそうです。
見本を眺めて、「こういう本はこれまでなかったな」とあらためて思いました。
いったいどこが違うのだろうかと考えてみたところ、これまで「重力」や「相対論」の一般向けの解説書は、
もっぱら天文学の先生方が書いてこられたからではないかと思い当たりました
天文学の問題を考える上では、今のところは相対論を疑うべき理由はありません。
そこで、天文学の先生が解説書を書かれると、相対論は完成した理論であり、それを一般の人にどのように説明
するかというアングルになることが多いのではないかと思います。
これに対して、私は素粒子物理学の出身なので、重力は「自然界の４つの力」の一つであり、いずれは素粒子の
統一理論に組み込まれなければいけないと考えます。
そのためには、相対論といえども乗り越えなければいけない。そこで本書では、発展途上の重力研究の現状をお
伝えすることを目的としました。
第２章と第３章で特殊相対論と一般相対論の解説を行いますが、後に相対論の限界を議論することを念頭におきました。
その準備として、アインシュタインがどのような思考を経て理論を構築したのかを、できるだけ明確に書くようにしました。
そして第４章で、ブラックホールや宇宙の始まりを理解しようとすると、相対論の限界が見えてくる。
さらに、折り返し地点の第５章で量子力学が登場し、二十世紀の物理学の二本の柱である「相対論」と「量子力学」
の融合という後半のテーマにつながります。
略
- 349 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:01:32.56 .net
- アインシュタインは統一理論も考えていたが、重力子が繰り込み不可能であることに起因して、非常に困難であると考えられていた時期があった
が、「超弦理論（超ひも理論ともいう）」はこの繰り込み不可能（＝無限大が出現して意味ある計算を不可能にする）の困難が解消されるばかりか、A
dS/CFT対応の意味を考えると
「超弦理論」は、数学的実在性を感じさせる
アルベルト・アインシュタインは一般相対論の論文を発表した後、重力と電磁気力の統一を試みたが、当時は完成させることはできなかった（
現在では、超弦理論に重力と電磁気力は含まれている）。
また、電磁気力と弱い力を統一した電弱統一理論は、統一場理論の一例である。
素粒子の世界では効果が小さすぎて観測の困難な重力も含めて、4つの力を全て統一しようという試みは、世界中の理論物理学者がこぞ
って研究しているにも拘らず、現在のところまだ完成にはほど遠い。
これは、重力相互作用のゲージ粒子である重力子が繰り込み不可能であることに起因している。
しかし、物質の基本的な構成物である素粒子を「点」とせず、ある種の「ひも」とすればこの問題は解決できるかもしれないことがわかった。
（なお、この「ひも」は宇宙論における「宇宙ひも」とは別の概念である）。この弦理論で超対称性を仮定したものを「超弦理論（超ひも
理論ともいう）」という。
AdS/CFT対応（-たいおう、AdS/CFT correspondence）とは1997年にJuan Maldacenaによって提唱された理論で、 AdS(Anti de Sitter)時空
上の重力の弱結合領域と共形場理論 (Conformal Field Theory) の強結合領域との双対性のことである。
具体的には、10次元時空として5次元AdS時空（AdS5）と5次元球面（S5）の直積空間を考える。
AdS5時空の境界は4次元ミンコフスキー時空（M4）であり、上記の共形場理論とはAdS5×S5時空の等長変換群SO(4,2)×SO(6)を対称性
として持つ境界M4上の超対称ゲージ理論のことである。
また、AdS/CFT対応は、4次元超対称ゲージ理論の強結合領域での相関関数の計算が、AdS5を背景時空とする5次元超重力理論の弱
結合領域で計算できることを示したという面で画期的であった。
- 350 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:01:59.52 .net
- 与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群
をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
- 351 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:02:14.42 .net
- 単刀直入にいえばゲージ理論におけるヤン・ミルズ方程式のソリトン解です。
場の量子論におけるトンネル効果に対応するものです。
ある真空から別のある真空への遷移などを表します。
- 352 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:02:30.41 .net
- 物理学から幾何学へ?モジュライと径路積分 中村郁 数理科学NO. 506, AUGUST 2005
（抜粋）
ドナルドソン不変量はインスタントン?1）という,
時間方向にも空間方向にも局在する”素粒子”（局
所的にのみ存在し，残りの部分ではゼロという波）
のモジュライ空間の研究から生まれたもので，ひ
とつの多項式である．
*1） インスタントンという名前は，空間的にも時間的にもイン
スタントな(つまり瞬間的な) 素粒子，というところから来
ている．
一般に，複素構造が同じなら可微分同型である．
可微分同型ならば位相同型である．しかし，逆は
どちらも一般には正しくない．このK3 曲面とホ
モトピーK3 曲面の場合はちょうど微妙なところ
にあって，このふたつが可微分同型であるか否か
は，1970 年以来未解決の難問のひとつであった．
しかし，1986 年Donaldson によってドナルドソ
ン不変量が構成されると間もなく，Friedman と
Morgan によってそれぞれの曲面のドナルドソン
不変量が計算され，その結果，ふたつの曲面は可
微分同型ではないことが証明された．Donaldson
の理論はこのほかにも驚くべき多くの新しい結果
をもたらした．
- 353 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:03:07.10 .net
- 西洋哲学と中国文学の教授の父親のもとに生まれる。食べるものに困るくらい貧窮した家庭だったらしく、水道や電気などもつながっていなかった。
数学者ではあるが幼い頃から数学が得意だったわけではなく5歳の頃に受けた公立学校の入学試験にはそれが原因で落ちている。
高校の頃に幾何学を学び、それがきっかけで代数学などの数学のさまざまな分野に興味を持ち始めるようになった。
この頃、父親が亡くなり経済的に非常に厳しくなったためこれらは書店で本を立ち読みして勉強したという。
1969年に香港中文大学を卒業。カリフォルニア大学バークレー校で陳省身に学び、1971年に博士号を取得。同年プリンストン
高等研究所でポスドクとなる。
1972年にニューヨーク州立大学ストーニブルック校准教授。
1974年にはスタンフォード大学教授、1979年にプリンストン高等研究所教授、1984年にカリフォルニア大学サンディエゴ校教授。
1987年より現職であるハーバード大学教授に就任。2003年、浙江大学より、名誉博士号を授与される。
関数解析学を使ってカラビ予想を解決し、K3曲面にアインシュタイン方程式の解が存在することを示した。
この解決から導きだされるカラビ-ヤウ多様体は数学の極めて広範な領域にインパクトをもたらし、その影響は数学にとどまらない。
特に素粒子物理学における超弦理論の発展に多大な寄与をなしているが、ヤウ自身は自分の理論がなぜ物理学で役に立つのかわからない、
といった趣旨のコメントをしばしばしている。
ポアンカレ予想を巡って
当時、未解決問題だった幾何化予想を研究していたリチャード・ハミルトンと交流があり、後に問題解決にとても
大きな役割を担うことになるリッチフローを応用するよう彼に薦めたのも丘である。
- 354 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:03:35.62 .net
- ヒッグス場によって質量を獲得するメカニズムをヒッグス機構と呼ぶ[1]。
ジュネーブ郊外に建設されたCERNのLHCの衝突実験で、およそ10兆回に1回しか生成されないと言われている。
2011年12月、ヒッグス粒子が「垣間見られた」と発表された。
その後、2012年7月4日、同施設において新たな粒子を発見したと発表された。質量は125.3±0.6GeV、標準偏差は4.9である。
これが捜し求めていたヒッグス粒子であるかは確定的には表現されておらず、さらに精度を高める実験が続けられる[12]。
ヒッグス機構では、宇宙の初期の状態においてはすべての素粒子は自由に動きまわることができ、質量がなかったが、
自発的対称性の破れが生じて真空に相転移が起こり、真空にヒッグス場の真空期待値が生じることによってほとんどの
素粒子がそれに当たって抵抗を受けることになったとする。
これが素粒子の動きにくさ、すなわち質量となる。
質量の大きさとは宇宙全体に広がったヒッグス場と物質との相互作用の強さであり、ヒッグス場というプールの中に物質が沈ん
でいるから質量を獲得できると見なすのである。
光子はヒッグス場からの抵抗を受けないため相転移後の宇宙でも自由に動きまわることができ質量がゼロであると考える。
ニュース等では「対称性の破れが起こるまでは質量という概念自体が存在しなかった」などと紹介される事があるが、正確ではない。
電荷、フレーバー、カラーを持たない粒子、標準模型の範囲内ではヒッグス粒子それ自体および右巻きニュートリノはヒッグス
機構と関係なく質量を持つことが出来る。
また、重力と質量の関係･すなわち重力質量発生のしくみは空間の構造によって定められるものであり、標準模型の外部である
一般相対性理論、もしくは量子重力理論において重力子の交換によって説明されると期待される。
ヒッグス粒子の存在が意味を持つのは、ビッグバン、真空の相転移から物質の存在までを説明する標準理論の重要な一部を
構成するからである。
もしヒッグス粒子の存在が否定された場合、標準理論（および宇宙論）は大幅な改訂を迫られることになる。
- 355 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:04:03.69 .net
- カラビ-ヤウ多様体は(K3 surface)（英語版）の高次元のバージョンの複素多様体で、コンパクトな
ケーラー多様体(Kahler manifold)（英語版）で標準バンドル(canonical bundle)（英語版）が自明な多様体として定義されます．
しかし、他にも同値ではない多くの同様な定義があります．
それらはCandelas et al. (1985)では、"カラビ-ヤウ空間"も呼ばれました．
最初にE. Calabi (1954, 1957)で研究され、シン＝トゥン ヤウ (1978)が、これらがリッチ平坦な計量を
持つであろうというカラビ予想を証明したことから命名されています．
超弦理論では時空の余剰次元が6-次元のカラビ-ヤウ多様体であると予想され、ミラー対称性の考えを導きます．
- 356 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:04:33.76 .net
- 複素次元が1の場合は、唯一のコンパクトな例がトーラスで、パラメータが一つで形成されます.
トーラスのリッチ計量は実際、平坦計量(flat metric)（英語版）ですから、ホロノミーは自明な群SU(1)です. 1次
元カラビ-ヤウ多様体は複素楕円曲線であり、代数多様体です.
複素次元が2の場合は、K3曲面が唯一のコンパクトで単連結なカラビ-ヤウ多様体です．非単連結な例は、アー
ベル多様体(Abelian variety)（英語版）になります.
エンリケス曲面と超楕円曲面は、第一チャーン類が実係数コホモロジー群としてはゼロとなりますが、
整数係数コホモロジー群としてはゼロになりませんので、リッチ計量の存在についてのヤウの定理が適用できなく、
カラビ-ヤウ多様体として考えられない場合もあります．
アーベル曲面はカラビ-ヤウ多様体の分類から除外されることもあり、その理由はホロノミーが自明で、SU(2)に同型
とならずにSU(2)の固有部分群となるからです.
複素次元が3の場合は、（20年前から非常に大きい数であろうと想定されていますが、）有限個の族が存在するのでは
とヤウ氏は想定していますが、カラビ-ヤウ多様体の分類の問題は未解決です．
3次元カラビ-ヤウ多様体の例の一つは、CP4の中の非特異な5次の3次元多様体(quintic threefold)（英語版）で、CP4 の
同次座標での同次5次多項式のゼロ点すべてからなる代数多様体です．
もうひとつの別な例は、バース-ニエト(Barth?Nieto)の5次多様体(Barth?Nieto quintic)（英語版）のスムースなモデルです.
5次多様体のZ5 作用による離散的な商もカラビ-ヤウ多様体となり、多くの文献から注目を集めました．
これらの一つがミラー対称性により、元々の5次多様体に関連付けられています.
すべての正の整数n に対して、複素射影空間CPn+1の同次座標での非特異な同次n+2 多項式のゼロ点集合はコンパク
トなカラビ-ヤウ多様体です．
n=1 の場合は楕円曲線であるのに対し、n=2 の場合はK3曲面となります．
べてのハイパーケーラー多様体(hyperkahler manifold)（英語版）は、カラビ-ヤウ多様体です．
- 357 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:05:12.59 .net
- 超弦理論への応用
- 358 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:05:19.22 .net
- カラビ-ヤウ多様体は超弦理論で重要です. ほとんどの伝統的な超弦モデルで、弦理論で予想される次元10は、認識可能な4次元が6次元
のファイブレーション(fibration)（英語版）の一種を持つと提起されています．
カラビ-ヤウn -次元多様体でのコンパクト化(compactification)（英語版）は、元の超対称性(super symmetry)（英語版）のいくつかを破らない
ので、重要なのです．
さらに詳しくは、ラモン-ラモン場(フラックス)(Ramond?Ramond field or flux)（英語版）のないところでは、カラビ-ヤウ3-次元多様体（実次元は
6です）は、もしホロノミーが完全にSU(3)に一致していれば、元の超対称性の1/4を破りません．
さらに一般的には、ホロノミーSU(n) をもつn-多様体でのフラックスのないコンパクト化は、もとの超対称性の21?n を破ることはなく、
これがタイプIIのコンパクト化の場合にはスーパーチャージの26?n に対応し、タイプIのコンパクト化の場合にはスーパーチャージの25?n に対
応しています．
フラックスを持っている場合は、超対称性条件はコンパクト化する多様体は一般化されたカラビ-ヤウ多様体(generalized Calabi Yau)（英語版）
となります．
この考え方はHitchin (2003) で導入され、これらのモデルはフラックスコンパクト化(compactification)（英語版）として知られています.
本質的には、カラビ-ヤウ多様体は弦理論の｢見えない｣6次元（空間次元）の空間をを形成します．現在観測可能である長さよりも小さいため
に、それらを検知することができません．
大きな余剰次元(large extra dimension)（英語版）として良く知られていることは、ブレーンワールド(brane world)（英語版）モデルでしばしば出
てきますが、
カラビ-ヤウ多様体は大きいのですが、D-ブレーン(D-brane)（英語版）を横切り交叉する部分の上に私たちが閉じ込められていることを
意味しています．
F-理論(F-theory)（英語版）の様々なカラビ-ヤウ4次元多様体でのコンパクト化は、いわゆる弦理論ランドスケープ(string theory landscap
e)（英語版）の中で大きな数の古典解を見つけ出す方法を物理学者に提供します．
- 359 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:05:44.65 .net
- さて、可解性を考えると、べき根による拡大との関係が問題になる
（べき根による拡大で問題のαが導けるか？）
べき根による拡大とは？
x^p=a (aは有理数。pは素数とする)
を考える
x=α＝a^(1/p) (aの1/p乗で、p乗根と考えてください)
このガロア群を考えてみると、共役根も考えないといけないので、当然１の原始p乗根ωpが出てくる
（草場公邦 P141ご参照)
で、基礎体をQ(ωp)（＝１の原始p乗根ωpを添加した体）に選ぶと、このガロア群はｐ次の巡回群になる
根が、α、αωp、・・・、αωp^(p-1) のｐ個の根の入れ替えなので、αをα、αωp、・・・、αωp^(p-1) の
どれかに写す（恒等写像含む）という写像で尽くされる
では、逆に１の原始p乗根ωpを添加した体で、ガロア群がｐ次の巡回群のとき、体はべき根拡大か？
これは成り立つ。（草場公邦 P143ご参照)
このとき本質的に使われるのが、ラグランジュの分解式なのだ
ラグランジュの分解式をつかって、ある拡大体の要素のｐ乗が基礎体Q(ωp)になるものを構成する。そうして、
べき根拡大なることをいう
- 360 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:06:18.85 .net
- 自然哲学における理解を解説する。
アリストテレスは、自然学の基礎的概念として、事物の場所「トポス topos」としての空間概念を用い、物事の運動kinesisを説明した。
トポスは「接触面」として、諸元素に対して能動的な作用を及ぼす実在であって、それぞれの本性により、火は上方に、土は下方の場所へと
運動する、とした。
後にアリストテレスの自然哲学はクラウディオス・プトレマイオスの天文学と合体し、性質的な差異と階層構造をもつ有限宇宙が想定された。
月下界には月下界特有の性質・法則があり、月の向こう側の空間には、そこ独特の性質・法則があると考えられていた。
空間というのは、位置によって性質が異なる、と一般に考えられていたのである。人々は、空間は位置により性質が違うから、地上のもの
落下するが、惑星は落ちないまま円運動を続けている、と考えていた。空間は相対的なものであった（宇宙論を参照）。
絶対空間は、英国の自然哲学者ニュートンが唱えた空間概念で、連続的で均質な無限の広がりを想定している。[4]
これは、ドイツのライプニッツによる批判の対象となった。ライプニッツは、相対空間という概念を提示した。
ライプニッツによれば、空間とは諸物の関係であり、空間の存在は、その中の諸物の関係を、幾何学などにより合理的に説明できれば証
明されるとした。
これは、空間の性質を、諸物の位置ならびに位置相互にある距離として表現するものであった。ニュートン（およびその支持者）とライプニ
ッツ（およびその支持者）の間には、激しい論争が闘わされ、何度も書簡（第1-5書簡）のやりとりがなされた[2]。
その後、アインシュタインの相対性理論の登場によって、空間それ自体を、宇宙のビッグバンによって作られた客観的実在であるとし、
絶対空間と相対空間は、この客観的実在としての空間がもつ2つの属性でありどちらも妥当なものである[要出典]、とされるようになった。
現在の学校の初学者向けの物理の教科書（例えば、高校生向けのそれ）においては、19世紀後半から20世紀前半に行なわれた再構成後
の古典力学における空間を教える内容になっており、あたかも現象の起きる舞台となる空っぽの容器のようなものとして扱っている。
- 361 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:06:50.05 .net
- 学における空間（くうかん、英: space）は、集合に適当な数学的構造を加味したものをいう。
黄金時代以後
ブルバキによれば、（モンジュの「画法幾何学」が公表される）1795年から（クラインのエルランゲン目録が示される）1872年までの期間は
「幾何学の黄金時代」と呼ばれる[8]。
このころ解析幾何学は大いに発展して、古典幾何学の定理を変換群に関する不変量を通じた計算に置き換えることに成功しており[9]
、実際に古典幾何学の新たな定理が職業数学者よりもむしろアマチュアの手によって発見されている[10]。
しかしこれは、古典幾何学の地位が失われたことを意味するものではない。ブルバキによれば、「自律し生きた科学としての役割は終
えたが、古典幾何学は当代の数学の普遍的な言語へと姿を変えた」[11]のである。
1854年、リーマンの有名な就任講演によれば、n 個の実数でパラメータ付けられた任意の数学的対象は、そのような対象全体の成す
n-次元空間の点として扱うことができる[12]。
現代の数学者はこの考え方をごく普通に踏襲し、さらに強力に推し進めて古典幾何学の用語法をほとんどどこにでも用いる[11]。
この手法の一般性を十分に理解するためには、数学というものが「数や、量あるいはそれらの描像の組み合わせではなく、思考の対象
をこそ目的とする、純粋に形式の理論」[details 1]であることに注意する必要がある[5]。
函数は重要な数学的対象であり、普通は無限次元の空間を成す。このことは既にリーマンが指摘していた[13]ことであり、20世紀
には函数解析学によって精緻化されている。
現在では、空間というものは、点として扱われる選ばれた数学的対象（例えば、別な空間上の写像や別の空間の部分空間、
あるいは単に集合の元など）と、それらの点の間の選ばれた関係とからなるものと理解される。
- 362 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:07:05.01 .net
- 内井惣七（教授）プロフィール
Prof. Soshichi Uchii
論理学をベースとし、科学の具体的題材に即した哲学的問題の解明を目指す。
- 363 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:07:22.72 .net
- According to Subjects Comments
Logic and related fields Philosophers without logic is a fake
Philosophy of science in general Don't forget hardcore philosophy of science
- 364 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:07:50.22 .net
- シャーロック・ホームズの推理学 講談社現代新書 88/11/20
論理学の学者である著者がホームズ譚を見て、その第一作「緋色の研究」の中で、シャーロック・ホームズが論理学に関する用語を使っ
て自分の推理の過程を説明する様子に驚いたとのこと。
ホームズが論理学に言及した言葉というと、著者がまず例に挙げるのはここ。
「ただ一滴の水から」 と筆者は言う。「論理学者は大西洋やナイアガラ瀑布を見たことがなくても、それらが存在しうることを推論できるであろう。
同様に、人生もまた大きな一連の鎖であり、われわれはその環の一つを示されると、全体の本性をも知ることができるのである。
他のあらゆる学芸と同じく、推論と分析の学も、長く辛抱づよい研究を積み重ねることによってのみ習得できるものであり、しかも、この学
問の最高の域に達するためには、一生を費やしても十分とは言えない」─ 『緋色の研究』第一部・第二章
この考え方が論理学の発想なのだそうな。
また、ホームズが展開する推理の過程、情報の収集方法、そしてその展開、これは論理学の手法なのだそうです。
なわち、観察して本質を見抜くこと、そして推理すること。演繹的消去による推理から、消去による帰納的推理の手法。剰余法。仮想
と事実の突き合わせ。確率論的方法論。
そして確率の逆算法。統計的手法。複合的な仮説とその検証。
当て推量ではない、蓋然性を秤にかけて、もっとも確からしいものを選ぶ領域、想像力を科学的に用いること。
これらの事実の検証から、著者は断言します。 いずれにせよ、ホームズの「論理学」に関する研究をなおざりにしたということは、い
かなるシャーロッキアンにとってもとても自慢できることでは無かろう。
ホームズは『四つの署名』 第一章で、「緋色の研究」に関するワトスンの報告のしかたについて、次のようにクレームをつけている。
「多少の事実は端折らなければならない。あるいは、少なくとも、事実を取り扱うときには近世というものを忘れてはいけないんだ。
あの事件で物語るに値する唯一の点は、結果から原因へと言う興味深い分析推理によって、事件を解決に導いたということだけなんだよ」
- 365 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:08:21.99 .net
- ニュートンのバケツとわたしの遍歴
絶対空間の存在を示す証拠としてあげた、有名な「バケツの実験」というのがある。回転するバケツの中で水が遠心力に
よって縁で盛り上がるという現象が、絶対空間の必要性を指し示すというわけである。
この議論、何でもないように見えて、実は大変に手強いのである。また、空間や時間の問題がどれほど難しいかということ
を具体的に示すには手頃な話題でもある。
そこで、第３章では、この実験をテーマとして、二十世紀に至るまでにどういう紆余曲折があり、相対性理論とどのように関わるかという話をしたい。・・
相対論を中心とした、空間と時間の哲学を論じることは、わたしの長年の目標のひとつであった。
わたしが科学哲学を志したのは、ハンス・ライヘンバッハの『科学哲学の形成』（原著1951，邦訳1954）を読んで感銘を受
けたからであり、彼がもっとも大きな貢献をしたのは、この空間と時間の哲学の分野であった。
・・この事態を少しでも改善し、日本の次世代の科学哲学への橋渡しとなりうるものを少しでも残しておきたいと思って仕上げ
たのが、『アインシュタインの思考をたどる』（ミネルヴァ、2004）という前著だった。
ライヘンバッハやその後の時空論を勉強できる機会（可能性）は、実は、遠い昔、わたしのアメリカ留学中（1968-71）に一度あった。
後で勉強しようと思ってテキストや文献だけは用意して帰国したが、・・進化論と生物学の哲学、十九世紀の科学方法論、シャ
ーロック・ホームズ研究、・・など、
他の分野での研究と学生指導等の義務とに時間をとられてままならず、集めた文献も多くは時代遅れになってしまった。
しかし、心強いことに、この分野に興味を持つ若い学生が（きわめて数少ないながら）現れてきたし、
ホーキング、ペンローズ、ホイーラー、キップ・ソーン、アラン・グース、ジュリアン・バーバー、テイラーとホイーラーなどによる魅
力的な啓蒙書や教科書も続々と現れてきた。
そこで、わたし自身ができることはもうたかが知れているが、日本の次の世代の研究者が少しでも差を縮められる手がかりにな
うにと願って、本書を書いている次第である。
- 366 ：クーベルタン男爵さん：2018/02/28(水) 05:09:08.99 .net
- 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論
を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱
気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、
ラグランジュ分解式と思います。
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