数学の先生　「ベクトルの内積について、わかりやすい解説をします」　←意味不明なんだが誰か解説して [623653551]

1 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:13:17.06 ID:dtr3sflg0●.net ?2BP(2000)

http://img.5ch.net/ico/purin.gif
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20200107/k10012237321000.html

　　　　　　売上個数　　単価
りんご　　　100コ　　　　80円
みかん　　　200コ　　　30円

この時ベクトルの内積は　100*80　+　200*30　＝14000　である

↑
言いたいことはわかるけど、別の公式コサインが出てくる理由とかまったくわからないんだけど

2 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:14:03.82 ID:cBh8aXts0.net

内積ってなんだよ

3 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:15:51.91 ID:YOG2rrNO0.net

向きが合ってないと駄目なんだよ
単純な話

4 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:17:38.28 ID:EYAK6VHuM.net

ログの計算でも底をそろえるだろ。
三角関数の計算も角度はそろえる。
それと同じことだ。

5 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:19:52.00 ID:Ljyoe/xD0.net

数学って生まれつきだよな
分からんものは何やっても分からん

6 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:22:04.27 ID:wYyB0/hQa.net

遺伝だよ
猿に数学教えても理解できないのと一緒

7 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:25:37.79 ID:YNW6CqDY0.net

ベクトルの絶対値の2乗を簡単に計算できるように代数的に拡張しただけ

8 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:27:12.36 ID:aQOo4pghx.net

コレ角度は初めから合ってるから単なる足し算
意味がない

9 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:27:14.63 ID:t8zs8Rft0.net

高校だとコサイン出てくるのが内積の定義
それを座標平面上で予言定理使ってごちゃごちゃ計算すると成分の積の和になる そのりんごのやつは定義から導いた定理

10 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:27:20.24 ID:XGAGR5jq0.net

ベクトルaとbの内積の定義は、a・b=|a||b|cosθだけど、

　a・b=(|a|cosθ)*|b|

と考えたほうが意味は分かりやすい
ベクトルの始点をそろえてbベクトルに垂直な方向から光を当てたとき、
aベクトルの影がbベクトルのところにできるけど、その長さが右辺の括弧の中
両ベクトルが0ベクトルでないなら、

　影ができない⇔ベクトルaがベクトルbに垂直になっている

ということが分かる。
このように、内積は「直角からのズレ」を表していると解釈できる
もっというと、「三平方の定理からのズレ」を表していて、余弦定理がまさにそれ

　c^2=a^2+b^2-2abcosθ

θ=90°なら三平方の定理に一致するし、何よりこの式は、

　|c|=|a-b|

の両辺を2乗して展開した式に外ならない。

11 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:29:25.04 ID:p3I2+1PP0.net

内積がベクトルの掛け算ってのはわかるが
外積はベクトルの何なんだろう？

12 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:29:28.64 ID:QlJnLYk2a.net

内積が総売上って意味かい

13 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:30:22.46 ID:fSKuAFQB0.net

内積ってベクトル同士の掛け算よみたいなこと教えられたけどこれ説明違うよね？

だってベクトル同士の掛け算なら複素数でやるわけだし…

14 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:30:23.21 ID:p3I2+1PP0.net

大学では内積の定理からcosが定義されると知って驚愕した

15 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:30:35.78 ID:OXoigOXma.net

物理の仕事で説明しろ

16 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:32:48.77 ID:XGAGR5jq0.net

>>11
外積こそがベクトルの掛け算
内積はベクトルとベクトルからスカラーを定義する双線型形式

17 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:32:51.42 ID:fSKuAFQB0.net

>>11
例えば、→と↑の内積は0だけど、→が1で↑がiで表したら→と↑の掛け算の結果はiだよね
だから内積と掛け算ってのは違うものだと思うのだがじゃあ内積が何かとなったら分からん…
あると便利だから定義したとかなんかな

18 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:36:00.26 ID:p3I2+1PP0.net

>>13
複素数同士の掛け算は
回転移動or拡大

19 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:39:32.43 ID:4TAKA0ti0.net

どんどん掘り下げていくと結局ノルム空間で内積の公理3つ満たす演算の事だとしかならなくなるが

20 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:39:53.04 ID:z68OOHjp0.net

内積はスカラーの掛け算
外積はベクトルの足し算だよ

21 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:40:26.23 ID:YNW6CqDY0.net

>>16
外積がベクトル演算ぽいのって3次元限定じゃね？

22 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:42:15.30 ID:w1GQEEQc0.net

虚数もそんな話だし

23 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:42:59.12 ID:wtbZHf680.net

https://i.imgur.com/Ed8NyGA.jpg
https://i.imgur.com/ZNAa1ej.jpg
https://i.imgur.com/wRhSnoB.jpg
https://i.imgur.com/NR2I5Wt.jpg
https://i.imgur.com/OgFDZwz.jpg
https://i.imgur.com/1n6Jzq9.jpg

24 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:43:09.35 ID:Ti63Fzsu0.net

ちょっとunityでゲームでも作ってみようかと思ったらいきなりベクトルとか虚数とか出てきてあちゃーってなるよね

25 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:53:11.45 ID:9rjk3zbkr.net

フーリエ級数（三角関数）みたいな直交関数系が、内積の概念を拡張したものだとわかったときの「世界が広がった感」が好き

26 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:54:36.89 ID:p3I2+1PP0.net

>>20
＞＞外積はベクトルの足し算だよ


？？？

27 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 14:57:00.25 ID:z68OOHjp0.net

外積が何だったのか全く思い出せないんだ

28 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 15:15:43.73 ID:nDKcFe1xM.net

http://o.5ch.net/1ln11.png

29 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 15:47:13.83 ID:dtr3sflg0.net

>>1の疑問に誰か答えて

30 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 15:54:30.80 ID:WGGqkOpwM.net

内積って単にベクトルをスカラーの掛け算のように扱えるから
その利便性から要請されて導入されたものだと勝手に理解してたわ

31 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:02:52.42 ID:tYFeykBu0.net

底辺ベクトルの長さと斜辺のベクトルの長さを比べるときに使うみたいなイメージ

32 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:28:37.16 ID:zP8iqkwD0.net

>>29
http://izumi-math.jp/G_Kakuta/in_pro/in_pro.htm

33 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:28:58.39 ID:LiroCgapd.net

けんじゃもめんの話はためになふ

34 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:29:37.75 ID:+UlT8K3Z0.net

子供はケンモウに来るなよ

35 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:30:33.23 ID:BHzgZ8+D0.net

複素数で考えると楽なんじゃないか
適当だけど

36 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:30:47.98 ID:VAcADDTG0.net

ベクトル解析を勉強し始めたときはえらく難しく感じたが
慣れたら超簡単に感じる
要は慣れ

37 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:34:48.11 ID:1M1pQ7cK0.net

sinとcosってちゃんと教えたほうがいいよな
俺もそうだけど結局定義がわからんからいろんな関数に出てくるすごいやつという認識で止まる

38 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:40:12.11 ID:7EWs9R/30.net

>>10

前半はそこまで詳しくやんなくてもスカラー変換と考えればいいじゃんと読んでたら
後半すげぇな

俺の高校の駅弁卒数学教師なんてベクトルの内積とか加法定理とか公式書いて覚えろだったから
質が違うと実感する

39 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 17:40:29.91 ID:ESdW9KlEr.net

>>37
こことここを割り算して出るのがcosだよとかそんなんだからな、、、

40 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 18:25:16.79 ID:peFMO2TrM.net

対称性
線形性
半分正定値性

を満たす、ベクトル空間上の２つの元から実数への関数が内積だよ。

41 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 19:11:17.85 ID:olMe8ygW0.net

⟨φ|ψ⟩

42 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 19:22:06.95 ID:h+VOVwEFD.net

簡単だよ

内積とは

あるベクトルAがあるとき
別のベクトルBの成分がどれくらい入ってるか、

ってこと。


例えば、Aが東向きでBが南向きなら、直角に交わってて、AにBの成分はゼロ
(東向きの矢印に南方向の要素はゼロ)

Aが東南向きでBが南向きなら、Aには少しずつだけ南の成分入ってるので内積はプラスの数

Aが東北向きでBが南向きなら、Aには南と逆向きの成分入ってるので内積はマイナスの数。


こんな感じもので、ベクトル空間というより広い概念にうつっても、これは変わらない(例えばフーリエ係数とか)


ちなみに同じベクトル同士の内積はそのベクトルの大きさの二乗と定義する

43 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 19:23:11.81 ID:h+VOVwEFD.net

>>42訂正 少しずつだけ→少しだけ

44 ：番組の途中ですがアフィサイトへの＼(^o^)／です ：2020/01/07(火) 19:29:34.70 ID:mP/aDHISa.net

内積はどうにか例えばなして説明できるとして、外積はどうにもならん